2024-2025学年高中数学 第1章 立体几何初步 4 第1课时 空间图形的公理（公理1、2、3）（教师用书）教案 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步4第1课时空间图形的公理（公理1、2、3）（教师用书）教案北师大版必修2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步4第1课时空间图形的公理（公理1、2、3）（教师用书）教案北师大版必修2教材分析《2024-2025学年高中数学》第1章“立体几何初步”中的第4节，聚焦空间图形的公理，本节课时旨在引导学生深入理解并掌握公理1、2、3。北师大版必修2的内容设计，旨在使学生通过直观感知和逻辑推理，认识和理解点、线、面的基本关系，为后续深入学习立体几何打下坚实基础。课程紧密联系教材，通过具体实例和生活情境，强化学生对公理的理解与应用，培养空间想象能力和逻辑思维能力。核心素养目标本节课时围绕立体几何初步的核心素养目标，着重培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和空间想象能力。通过探究空间图形的公理1、2、3，使学生能够运用严谨的逻辑推理分析空间点、线、面的位置关系，培养几何直观，提高对立体图形的认识和理解。同时，结合实际问题，激发学生的空间想象力，使其能够将理论知识与实际情境相结合，形成解决空间几何问题的基本策略，为提升数学学科核心素养奠定基础。学习者分析1.学生已掌握了平面几何的基础知识，理解了点、线、面的基本概念，掌握了相关性质和定理，为学习空间几何打下了基础。

2.学生对几何学科的兴趣普遍较高，具有一定的空间想象力和逻辑推理能力。他们的学习风格多样，部分学生喜欢直观感知，部分学生擅长逻辑推理。

3.学生在学习空间图形的公理时可能遇到的困难和挑战包括：对空间点、线、面位置关系的理解不够深入，难以将平面几何的知识迁移到立体几何中；对公理1、2、3的逻辑推理过程感到困惑，难以灵活运用到实际问题中；空间想象力不足，导致对立体图形的认识不充分。教学中需关注这些难点，引导学生克服困难，提高学习效果。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有北师大版必修2的数学教材，提前布置学生预习空间图形的公理相关内容。

2.辅助材料：准备与空间图形相关的图片、三维模型图表、动态演示视频等，帮助学生直观理解抽象概念。

3.实验器材：准备几何模型、直尺、量角器等，供学生动手操作，加深对空间图形的理解。

4.教室布置：将教室划分为理论教学区、小组讨论区，便于学生进行合作学习和实验操作，同时确保教学环境安全、有序。教学过程首先，让我们一起来回顾一下我们在平面几何中学到的知识。你们记得平面几何中的点、线、面的基本性质和定理吗？这些知识将为我们今天的立体几何学习打下基础。

1.导入新课

（1）通过提问方式引导学生回顾平面几何中的基本概念。

请问，一个点在平面上的位置是由什么决定的？两条直线在平面内可以有什么位置关系？这些问题将引导我们进入今天的主题——空间图形的公理。

（2）展示一些生活中的立体图形，如建筑物、家具等，让学生从生活中发现立体几何的美。

2.知识探究

（1）让学生观察教材中的立体图形，引导学生从直观上认识和理解空间图形。

请同学们观察教材第32页的立体图形，思考这些图形有什么特点？它们之间有什么关系？

（2）引导学生学习公理1，理解“两点确定一条直线”在空间中的含义。

我们来看公理1：“空间中任意两点有且仅有一条直线”。这个公理是如何帮助我们认识立体图形的呢？请同学们分组讨论，举例说明这个公理在实际中的应用。

（3）通过实例和练习，让学生掌握公理2，即“直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”。

请同学们在纸上画出一条直线，再在直线外任取一点，尝试画出与已知直线平行的直线。你们发现，为什么只有一条直线与已知直线平行呢？

（4）进一步学习公理3，即“经过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行”。

我们继续探究公理3。请同学们思考，如何通过一个点和一个直线确定一个平面？这个平面与已知直线有什么关系？

3.应用拓展

（1）让学生利用公理1、2、3解决实际问题。

请同学们尝试解决教材第33页的例题1：“已知直线a和点B，求过点B且与直线a平行的直线b。”通过解决这个问题，你们能否总结出求解这类题目的步骤？

（2）组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法。

请同学们在小组内交流自己的解题思路，看看有没有更好的方法。接下来，我会邀请一些小组代表来分享他们的解题过程。

4.总结提升

（1）引导学生总结本节课所学的内容。

今天我们学习了空间图形的公理1、2、3。请同学们回顾一下，这些公理在解决实际问题中是如何帮助我们找到答案的？

（2）强调空间想象能力和逻辑推理能力在几何学习中的重要性。

在立体几何的学习过程中，我们要不断提高自己的空间想象力和逻辑推理能力。只有这样，我们才能更好地解决实际问题。

5.作业布置

（1）请同学们完成教材第34页的练习题1、2、3。

（2）预习下一节课的内容，准备学习空间图形的判定。知识点梳理1.空间图形的基本概念

-点、线、面的定义和性质

-空间中的直线、射线、线段

-平面的概念及平面图形的特点

2.空间图形的公理

-公理1：空间中任意两点有且仅有一条直线

-公理2：直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行

-公理3：经过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行

3.公理的应用

-利用公理1、2、3解决实际问题

-确定直线、射线、线段的位置关系

-确定平面图形的位置关系

4.空间想象能力和逻辑推理能力的培养

-通过观察、思考和练习，提高空间想象力

-利用逻辑推理分析空间图形的性质和关系

5.立体几何初步的解题方法

-分析题目的已知条件和所求目标

-运用公理和已知性质进行推理

-结合实际情况，确定空间图形的位置和形状

6.教材典型例题和练习题解析

-例题1：过点B且与直线a平行的直线b的求解

-练习题1：空间直线与平面的位置关系

-练习题2：空间直线与直线的位置关系

-练习题3：空间平面与平面的位置关系

7.立体几何在实际生活中的应用

-建筑设计中的立体几何元素

-家具设计中的立体几何原理

-艺术作品中的立体几何美感重点题型整理1.求过给定点且与给定直线平行的直线

例题：已知直线a和点B，求过点B且与直线a平行的直线b。

解答：首先，确定直线a和点B的位置关系。然后，根据公理2，通过点B作一条直线与直线a相交于点C，使得BC与a不重合。接着，在直线BC上选择一点D，使得BD与a平行。最后，连接点B和D，得到直线b，即为所求。

2.判断空间直线与平面的位置关系

例题：已知直线a和点A，判断点A是否在直线a所在的平面上。

解答：根据公理3，经过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行。因此，我们可以通过以下步骤进行判断：

a)确定直线a和点A的位置关系。

b)经过点A作一条直线b，使得a与b不重合。

c)如果直线b与直线a所在的平面相交于点A，则说明点A在直线a所在的平面上。

3.求解空间直线与直线的交点

例题：已知直线a和直线b，求它们的交点。

解答：首先，确定直线a和直线b的位置关系。如果它们不平行，那么它们一定有一个交点。我们可以通过以下步骤求解：

a)在直线a上取一点C，作一条与直线b平行的直线c。

b)在直线b上取一点D，作一条与直线a平行的直线d。

c)直线c与直线d的交点即为直线a与直线b的交点。

4.判断空间平面与平面的位置关系

例题：已知平面α和平面β，判断它们的位置关系。

解答：根据平面与平面的性质，它们可能有以下几种位置关系：

a)平行：如果平面α和平面β没有交点，则它们平行。

b)相交：如果平面α和平面β有且仅有一条直线相交，则它们相交。

c)重合：如果平面α和平面β完全重合，则它们重合。

5.求解空间平面与直线的交线

例题：已知平面α和直线a，求它们的交线。

解答：首先，确定直线a和平面α的位置关系。如果直线a不在平面α内，则它们一定有一个交线。我们可以通过以下步骤求解：

a)在直线a上取一点B，作一条与平面α平行的直线b。

b)在平面α内取一点C，作一条与直线a平行的直线c。

c)直线b与平面α的交线即为直线a与平面α的交线。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课的教学中，我尝试将生活情境引入课堂，让学生从实际生活中感受立体几何的应用，提高他们对几何学习的兴趣和积极性。

2.我采用了小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题，培养他们的团队协作能力和几何直观。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对空间想象能力的培养还不够，这在一定程度上影响了他们对立体几何知识点的理解和掌握。

2.在课堂组织方面，对个别学生的关注程度不够，可能导致他们在学习过程中遇到困难时得不到及时帮助。

（三）改进措施

1.针对学生空间想象能力不足的问题，我将在今后的教学中加强对学生空间想象力的培养，如增加实物模型展示、让学生动手操作等，帮助他们更好地理解立体几何的知识点。

2.针对课堂组织方面的问题，我将更加关注每位学生的学习状态，及时发现问题并给予指导。同时，加强对学生的个别辅导，确保他们在学习过程中能够跟上进度。

此外，我还将在课后积极与同事交流，分享教学心得，不断优化教学方法，提高教学质量。同时，鼓励学生积极参与课堂讨论，充分发挥他们的主体作用，提高课堂效果。在今后的教学过程中，我将不断反思、改进，力求为学生提供更优质的教学服务。板书设计①重点知识点：

-空间图形的公理1：空间中任意两点有且仅有一条直线

-空间图形的公理2：直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行

-空间图形的公理3：经过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行

-直线与直线、直线与平面的位置关系

-平面与平面的位置关系

②重点词句：

-点、线、面：基本概念与性质

-直线、射线、线段：空间中的特殊直线

-平面图形：特