常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0(n≠0).常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程A.变量分离方程定义：形如=f（x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f（x），φ（x）分别是x，y的连续函数。解法：分离变量法.（*）说明：a由于（*）是建立在φ（y）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.解：由题意分离变量得：即：积分之，得：故原方程通解为：（c为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。*例2.若连续函数f（x）满足，则f（x）是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：（变上限求积分求导）分离变量，解之得：由原方程知：f（0）=ln2，代入上解析式得：C=ln2，B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知解：令，则y=x，从而：，代入原方程，得：，整理得：，分离变量得：，两边积分之：，变量回代，并整理得：（c是任意常数）C.线性微分方程和常数变易法1.形式：形如的一阶方程称为一阶线性方程.当时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的.2.解法：利用常数变易法求解。其解为：.下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式（的系数为1），否则易出错.例7求方程的通解.解：首先求线性齐次方程的通解，分离变量得：，两边同时积分，得：，因而可设原方程的通解为：，则，将之入原方程，得：，即：，两边积分得：，而====从而：（这里没加常数），从而通解为：.D.伯努利方程及其解法形式：形如（）的方程称为伯努利方程.解法：在方程两边同时成乘以做代换，则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程，从而可用C中方法解决之.注意：n>0时，方程还有解y=0.例8.求方程的通解.解：方程两边同乘，得：，即：（2.12）令，则，将之代入（2.12）得：.（2.13）,记（2.13）之通解为：，于是：，将以上两式代入（2.13）得：，，变量回代得原方程之通解为：，此外，方程还有解y=0.例9.解方程.解：这是n=3时的伯努利方程，令z=，则方程可化为：，这是一阶线性方程，应用公式得：=这样，方程之通解为：，另外，方程有解：y=0.E.恰当微分方程与积分因子形式：对于一阶方程（2.14）如果其左端是某一函数的全微分，即，则称此方程为恰当微分方程.条件：若（2.14）中的在某一单连通区域D有一阶连续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程的充要条件为：，.解的形式：.解法：a.朴素化简法：由，得，再由，得由上式解得，在积分之既得.(当然这种解法具有对称性)b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55））c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无关求解.（旨在提醒有此法，一般不用）例10.求的通解.解：这里，此时：因此为恰当微分方程.a.朴素化简法.令（2.15）（2.16）对（2.15）关于x积分，得（2.17）对（2.17）两边关于y求导，并对照（2.16），得：，于是积分之，得：，将代入（2.17），得：，从而通解为：b.分项组合法.将上面方程重新组合得：，即：，亦即：，从而通解为:.（此种方法需要多观察）例11求解方程.解：因为：，故此方程为恰当微分方程.分项组合得：，即，从而方程之通解为：.5.定义：能使非恰当微分方程变成恰当微分方程的连续可微函数u（x，y）（），称之为该方程的积分因子.即，满足.积分因子(只与x，y有关)的求解：a.与x有关的积分因子.由得：，b.与y有关的积分因子.由得：.例12.求方程的通解.解：由于，故此方程不是恰当微当微分方程。又，故方程有只与x有关的.这样，在原方程两边同乘得：，分项组合得：，即：，故通解为：，（）例13.求解方程.解：由于，故此方程不是恰当微分方程.而，故方程有积分因子：，方程两边同乘，得：，分项组合得：，即：，.F.一阶隐式微分方程与参数表示.本节虽然考试会涉及到一些，但分量相对较小.大家可以少花些时间（做好，做懂课后习题即可）.在这里，此稿也就不说及其形式与解法了.三.一阶微分方程解的存在定理利普希茨条件：对于，如果存在常数L>0，使之在R（R：）上满足不等式，则其关于y满足利普希茨条件。如果在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则（3.1）存在唯一解，定义域区间上，连续且满足初值条件，这里：，.满足初值条件的皮卡的逼近函数序列：｛ （一致收敛，且为（3.1）的第n次近似解）误差估计：寻找解的存在唯一性定理的条件所满足的区域，就是寻找f（x，y）连续和满足利普希茨条件的区域，困难在于利普希茨条件的验证.除用定义外，还常用下面的结论：在D上存在且有界，则f（x，y）在D上满足利普希茨条件；若在D上存在且无界，则不满足李普希茨条件.例14.方程定义在区域R：上，是利用存在唯一性定理确定过点（0,0）的解的存在区间，并据此寻找误差不超过0.05的近似解的表达式.解：由于，在R连续且有界，于是f（x，y）满足利普希茨条件.又，从而解的存在区间为，由，故取L=2，则据题意有：=，由于当n=3时，，故可得出如下近似表达式：，=另外，教材88页第3题可以做一做.四.高阶微分方程大家可以对照课本掌握（*）或了解以下概念.n阶非齐次线性微分方程，n阶其次线性微分方程(P121)，解的存在性唯一定理(P121)，函数线性相（无）关性，函数的朗斯基行列式(P122)，*4.齐次线性微分方程的性质（1，P121.解的叠加原理；2，p123-124定理三四；3，p125定理5,6；p126推论）*5.非齐次线性微分方程的基本性质.（p127，性质1,2，定理7.至于常数变易法用具体题目体现）*6常系数齐次线性微分方程的特征方程（p137）7欧拉方程（p142），*8类型1，类型2的解法（p145）例15.求解方程.其基本解组为：.解：1，常数变易法：依题意原方程的通解为：，（1）则令（2）则，于是（3）将（1），（3）代入原方程有：（4）联立（2）（4）｛，解的：｛，积分之，得;｛(5)将（5）代入（1）得方程的通解为：2.公式法.方程之特征方程为：，故其对应的齐次线性方程的通解为：.依题意，方程有一特解：，代入原方程有：，，，故原方程的通解为：.例16.求解方程.解：方程之特征方程为：，解之得：.故方程之通解为：例17：求解方程：.解：由题意：，解之得：因此，方程之通解为：.例18：求解方程：解：特征方程为：.解之得：.故方程之通解为：例19：求解方程.解：特征方程为：解之得：故其齐次方程之通解为：知方程有特解形式：将之代入原方程有：.得通解为：例20：求解方程解：特征方程为：故其齐次方程之通解为：据题意知方程有特解形式：将之代入方程有：故原方程之通解为;大家注意p182.T1的高阶方程.五.线性方程组线性方程组的一般理论：（非）齐次线性微分方程组（p202）；p203定理3；p204定理4,5；p205定理5，基本解组（p206），基解矩阵（p208）；p208定理1,2；p121定理7；p212定理8；P222的结论，p227定理10；2题目P190例2；p201T1；p208例1；p213例2；p217T8,9；P244T4；p245T5,6.六.非线性微分方程掌握的知识点：P279奇点；p280（6.36）；p287关于p，q与a，b，c，d的关系；p288图（6.10）题目：p293T1.致参考