2024届上海市高考模拟测数学试卷05（临考押题卷02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷05（临考押题卷02）一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．复数满足（为虚数单位），则.〖答案〗〖解析〗由题意可得，所以.故〖答案〗为：.3．函数的递增区间是〖答案〗〖解析〗由题意得，，即，又因的对称轴为，所以在上单调递增，故根据复合函数单调性得，函数的递增区间为.故〖答案〗为：.4．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为．〖答案〗〖解析〗由直线方程：得的倾斜角为，所以的倾斜角为，即的斜率为.故〖答案〗为：.5．已知，则的最小值为〖答案〗〖解析〗依题意，，所以且，所以，当时等号成立.故〖答案〗为：6．的二项展开式中的常数项为．（结果用数字表示）〖答案〗〖解析〗，由得，所以常数项为.故〖答案〗为：7．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率．〖答案〗〖解析〗根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况，事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故，若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即.所以.故〖答案〗为：8．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为.〖答案〗〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以，，解得，，又，所以.故〖答案〗为：.9．若数列满足，（，），则的最小值是.〖答案〗6〖解析〗由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递增，又，，所以的最小值是6，故〖答案〗为：6.10．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为．〖答案〗〖解析〗过点作于点，因为面底面，面底面，面，所以平面，则，当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点，因为面底面，面底面面，所以面，又面，所以，所以即为与半圆面所成角的平面角，在中，，所以，故〖答案〗为：．11．已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是．〖答案〗〖解析〗根据题意不妨设，为坐标原点，则，即点到的距离比到点的距离大2，根据双曲线的定义可知的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则，又，易知C点轨迹为，显然C点轨迹为点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设，则，由题意，当时，此时点横坐标最小，由点到直线的距离公式可知，而双曲线在渐近线下方，则，与双曲线方程联立，即，则，联立，即，由双曲线的性质可知满足的点横坐标无上限，故的取值范围是.故〖答案〗为：12．已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为．〖答案〗〖解析〗当对对任意，不等式恒成立时，又，，而，当且仅当时等号成立，故所以，即，要取最大值，则必有，两边平方整理得，所以当时，，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，综上所述：的最大值为.故〖答案〗为：.二、选择题13．已知，若，则是的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要〖答案〗A〖祥解〗由充分条件和必要条件的定义判断.〖解析〗时，有，满足，则是的充分条件；时，有或，不能得到，则不是的必要条件.所以是的充分非必要条件.故选：A14．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（

）A．B．当时，y的预测值为2.2C．样本数据y的第40百分位数为1D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变〖答案〗D〖解析〗，所以样本点的中心坐标为，将它代入得，，解得，故A错误；对于B，当时，y的预测值为，故B错误；对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误；对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.故选：D.15．已知函数，则以下正确的个数有（

）(1)有两个极值点；(2)的驻点为和；(3)有3个零点；（4）直线是曲线的切线.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个〖答案〗C〖解析〗对于(1)，因为，令，得，当，或，当时，，则的增区间为，，的减区间为，所以有两个极值点为与，故(1)正确；对于(2)，因为，，所以的驻点为和，故(2)正确；对于(3)，因为的增区间，，减区间为，又因为，，，所以有个零点，故(3)错误；对于（4），，得，又，则曲线的切线在点和的切线方程为和，则直线不是曲线的切线，故（4）错误；所以正确的个数是个.故选：C.16．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（）①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为；②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗C〖解析〗设点，对于①，若曲线表示点，则，化简可得，所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集所表示的图形的面积为，①对；对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为2的圆，设为曲线上一点，当点在曲线内时，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以，可得，此时；当点在曲线外时，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以，，可得，此时，当点在曲线上时，线段的长不存在最小值，综上所述，或，即或，所以，点集所表示的图形是夹在圆和圆的区域（但不包括圆的圆周），此时，点集所表示的图形的面积为，②错；对于③，不妨设点曲线为线段，且，当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆，当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆，故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是一个边长为2的正方形和两个半径为1的半圆所围成的区域，此时，点集的面积为，③对；对于④，若曲线是边长为9的等边三角形，设等边三角形为，因为，，则，由③可知，点集构成的区域由矩形、、，以及分别由点为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧，和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界），因此，，则，所以，点集所表示的图形的面积为，④对.综上所述：正确的序号为①③④，共3个.故选：C.三、解答题17．如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.(1)判断直线与直线的位置关系并证明；(2)求直线与平面所成的角的大小.解：(1)直线与直线的异面且相互垂直，证明如下：由面，，面，面，即直线与直线的异面；正直三棱柱中，，则面，且，可构建如下图示空间直角坐标系，令，则，即，所以，即直线与直线相互垂直.综上，直线与直线异面且相互垂直(2)由(1)知：面的一个法向量，，所以，则，故直线与平面所成角余弦值为，又线面角的范围为，所以直线与平面所成角大小为.18．已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的周长的取值范围.解：(1)由已知得，，则根据正弦定理得，，为锐角三角形，．(2)由正弦定理得，即，则，，因为，解得，得，所以，得．19．21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立；(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色.假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高.请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望.解：(1)由给定的数表知，，，，而，因此事件相互独立，所以，事件相互独立.(2)设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；；，则，因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，奖金额的可能值为：，奖金额的分布列：600300150奖金额的期望（元）.20．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)若，求线段中点的轨迹方程；(2)若直线的方向向量，当焦点为时，求的面积；(3)若是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项．(1)解：设，焦点，则由题意，即，故，将其代入抛物线中得：，即，所求的轨迹方程，(2)解：设，，由于直线的方向向量，所以直线的斜率为2，故直线，即，由得，，，到直线的距离为，(3)证明：点的坐标为、设直线，代入抛物线得，所以，因而，，因而，而，故，当直线轴时，，，，故综上可知：命题得证．

21．已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．解：(1)对任意，则，且，故是函数的一个控制函数；(2)因为，则，则，，，设，在上，在上，则在单调递减，在上单调递增，最大值，，，，，，，，则，，即，同理，，，即综上：，，在区间上的值域为，则在区间上有实数解.(3)①先证引理:对任意，关于的方程在区间上恒有实数解.这等价于，由(2)知结论成立.②(证控制函数的唯一性)假设存在“控制函数”，由上述引理知，对任意，当时，都存在使得.(*)下证：.若存在使得，考虑到是值域为的严格增函数，故存在使得.由(*)知存在使得，于是有，由的单调性知，矛盾.故对任意都有同理可证，对任意都有，从而.③(证控制函数的存在性)最后验证，是的一个“控制函数”.对任意，当时，都存在使得，而由的单调性知，即.综上，函数存在唯一的控制函数.上海市2024届高考数学模拟测试卷05（临考押题卷02）一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．复数满足（为虚数单位），则.〖答案〗〖解析〗由题意可得，所以.故〖答案〗为：.3．函数的递增区间是〖答案〗〖解析〗由题意得，，即，又因的对称轴为，所以在上单调递增，故根据复合函数单调性得，函数的递增区间为.故〖答案〗为：.4．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为．〖答案〗〖解析〗由直线方程：得的倾斜角为，所以的倾斜角为，即的斜率为.故〖答案〗为：.5．已知，则的最小值为〖答案〗〖解析〗依题意，，所以且，所以，当时等号成立.故〖答案〗为：6．的二项展开式中的常数项为．（结果用数字表示）〖答案〗〖解析〗，由得，所以常数项为.故〖答案〗为：7．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率．〖答案〗〖解析〗根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况，事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故，若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即.所以.故〖答案〗为：8．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为.〖答案〗〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以，，解得，，又，所以.故〖答案〗为：.9．若数列满足，（，），则的最小值是.〖答案〗6〖解析〗由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递增，又，，所以的最小值是6，故〖答案〗为：6.10．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为．〖答案〗〖解析〗过点作于点，因为面底面，面底面，面，所以平面，则，当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点，因为面底面，面底面面，所以面，又面，所以，所以即为与半圆面所成角的平面角，在中，，所以，故〖答案〗为：．11．已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是．〖答案〗〖解析〗根据题意不妨设，为坐标原点，则，即点到的距离比到点的距离大2，根据双曲线的定义可知的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则，又，易知C点轨迹为，显然C点轨迹为点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设，则，由题意，当时，此时点横坐标最小，由点到直线的距离公式可知，而双曲线在渐近线下方，则，与双曲线方程联立，即，则，联立，即，由双曲线的性质可知满足的点横坐标无上限，故的取值范围是.故〖答案〗为：12．已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为．〖答案〗〖解析〗当对对任意，不等式恒成立时，又，，而，当且仅当时等号成立，故所以，即，要取最大值，则必有，两边平方整理得，所以当时，，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，综上所述：的最大值为.故〖答案〗为：.二、选择题13．已知，若，则是的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要〖答案〗A〖祥解〗由充分条件和必要条件的定义判断.〖解析〗时，有，满足，则是的充分条件；时，有或，不能得到，则不是的必要条件.所以是的充分非必要条件.故选：A14．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（

）A．B．当时，y的预测值为2.2C．样本数据y的第40百分位数为1D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变〖答案〗D〖解析〗，所以样本点的中心坐标为，将它代入得，，解得，故A错误；对于B，当时，y的预测值为，故B错误；对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误；对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.故选：D.15．已知函数，则以下正确的个数有（

）(1)有两个极值点；(2)的驻点为和；(3)有3个零点；（4）直线是曲线的切线.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个〖答案〗C〖解析〗对于(1)，因为，令，得，当，或，当时，，则的增区间为，，的减区间为，所以有两个极值点为与，故(1)正确；对于(2)，因为，，所以的驻点为和，故(2)正确；对于(3)，因为的增区间，，减区间为，又因为，，，所以有个零点，故(3)错误；对于（4），，得，又，则曲线的切线在点和的切线方程为和，则直线不是曲线的切线，故（4）错误；所以正确的个数是个.故选：C.16．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（）①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为；②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗C〖解析〗设点，对于①，若曲线表示点，则，化简可得，所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集所表示的图形的面积为，①对；对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为2的圆，设为曲线上一点，当点在曲线内时，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以，可得，此时；当点在曲线外时，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以，，可得，此时，当点在曲线上时，线段的长不存在最小值，综上所述，或，即或，所以，点集所表示的图形是夹在圆和圆的区域（但不包括圆的圆周），此时，点集所表示的图形的面积为，②错；对于③，不妨设点曲线为线段，且，当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆，当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆，故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是一个边长为2的正方形和两个半径为1的半圆所围成的区域，此时，点集的面积为，③对；对于④，若曲线是边长为9的等边三角形，设等边三角形为，因为，，则，由③可知，点集构成的区域由矩形、、，以及分别由点为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧，和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界），因此，，则，所以，点集所表示的图形的面积为，④对.综上所述：正确的序号为①③④，共3个.故选：C.三、解答题17．如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.(1)判断直线与直线的位置关系并证明；(2)求直线与平面所成的角的大小.解：(1)直线与直线的异面且相互垂直，证明如下：由面，，面，面，即直线与直线的异面；正直三棱柱中，，则面，且，可构建如下图示空间直角坐标系，令，则，即，所以，即直线与直线相互垂直.综上，直线与直线异面且相互垂直(2)由(1)知：面的一个法向量，，所以，则，故直线与平面所成角余弦值为，又线面角的范围为，所以直线与平面所成角大小为.18．已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的周长的取值范围.解：(1)由已知得，，则根据正弦定理得，，为锐角三角形，．(2)由正弦定理得，即，则，，因为，解得，得，所以，得．19．21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立；(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色.假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高.请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望.解：