2024届山东省聊城市高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山东省聊城市2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2，即，则抛物线，焦点，当直线平行于轴时，，，当直线不平行于轴时，设直线，，联立方程组，得，，则，又，所以的最小值为4.故选：B.2.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数在定义域上单调递增，故，又，所以.故选：A3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；当，满足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.故选：B4.已知圆与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意设所求的圆方程为，则，即，解得，所以圆的方程为.故选：D5.设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗由题意得，则.函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到.由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点.所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为故选：C.6.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则，即，由，则，由，得，故，所以，则，故.故选：A7.设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗由，当时，，解得，当时，，则，整理，又数列为正项数列，则，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.因为，所以.故选：C8.设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，设，则，即为上的偶函数，又当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B二、选择题9.设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（）A.的实部为1 B.关于轴对称C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由实系数一元二次方程求根公式知：方程的两根为，则，所以的实部为0，故A错误；在复平面内对应的点分别是，他们关于轴对称，故B正确；由得，即，故C正确；由得，故D正确.故选：BCD10.在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（）A. B.C. D.随的增大先增大后减小〖答案〗CD〖解析〗由题意，则，所以，故选项A错误；，则，设当时概率最大，则有，即，解得，由，所以当时概率最大，则，即随的增大先增大后减小，故D选项正确；又，则，，所以，故选项B错误；，又，所以，故选项C正确.故选：CD11.已知圆锥为底面圆心的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，是底面圆周上的一个动点，直线满足，设直线与所成的角为，直线与所成的角为，则（）A.的取值范围为 B.该圆锥内切球的表面积为C.的取值范围为 D.〖答案〗BC〖解析〗如图：圆锥中，，，由题意，所以，所以，如图，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，易知，圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.因为，所以，所以，故圆锥的内切球表面积，故选项B正确；在圆锥底面上使，由于直线满足，不妨令，，符合题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，设，，所以，，,由异面直线向量夹角公式知：，，因为，所以，所以，所以，故选项A错误；所以，故选项D错误；，因为，所以，所以，所以，故选项C正确.故选：BC三、填空题12.已知集合，且，则实数的值为______．〖答案〗3〖解析〗，则，有或，解得或或，其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，所以实数的值为3.故〖答案〗为：313.两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有______种.〖答案〗15〖解析〗不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论：若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；综上，不同的分法共有种.故〖答案〗为：1514.已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗设，直线:，因为以为直径的圆过点，所以，即，联立，整理得，且，，，则，所以，整理得，即由到直线:的距离，又，即，而，因为，即，所以，又，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若在边上，且，求的周长.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以，即，即，解得，或（舍），由余弦定理，得，所以，所以的周长为.16.如图，在正三棱柱中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.（1）当时，求证：∥平面；（2）当时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.（1）证明：当时，，故点是的中点，连接，，因为点是的中点，是的中点，所以∥，因为点分别是的中点，所以∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.（2）解：存在，点为的中点.当时，，即，所以点在棱上，取的中点，连接，，则∥，在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，从而，，，设平面的法向量是，由，即，令，得设平面的法向量是，由，即，令，得令，得，解得，所以存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是，此时点为的中点.17.已知函数.（1）若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数的值；（2）设函数，讨论的单调性.解：（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为，由已知得，解得，所以公切线方程为，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，则，当时，，令，得，令得，这时，在上单调递增，在上单调递减；当时，，令，得，令得，这时，在上单调递减，在上单调递增；当时，令得或，，①当时，，这时在上单调递减；②当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调递增；③当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.18.今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况：日期12345678910销售额（万元）1919.319.62021.222423.824.62525.4由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59.（1）根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差；（2）计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）；（3）该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润（单位：元）情况如下表：246400600800已知成等比数列.设该公司销售两台电视机所获得的利润为（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润的分布列和数学期望.参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据.解：（1）根据线性回归方程，日期每增加一天，销售额约增加万元，把代入回归直线方程，得，因为，所以第4天残差为；（2）由得，比较接近于1，故销售额和日期的相关程度较强.（3）由成等比数列，得，且，设其公比为，则，所以，由题意可得的值分别为，则，，，，，又，取得最大值的条件即，此时，故分布列为：8001000120014001600期望.19.已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点.（ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；（ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）解：由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，设曲线的方程为，则，解得，所以，所以曲线的方程为；（2）（ⅰ）证明：因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为，因为在上，所以，由得，，设，则，由得，化简得，则，化简得，又因为，所以，所以点在定直线上.（ⅱ）解：因为直线过，所以，直线方程为，从而得，，由（ⅰ）知，，，所以，所以存在实数，使得.山东省聊城市2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2，即，则抛物线，焦点，当直线平行于轴时，，，当直线不平行于轴时，设直线，，联立方程组，得，，则，又，所以的最小值为4.故选：B.2.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数在定义域上单调递增，故，又，所以.故选：A3.“，且”是“，且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；当，满足，且，但是，故充分性不成立，所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.故选：B4.已知圆与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意设所求的圆方程为，则，即，解得，所以圆的方程为.故选：D5.设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗由题意得，则.函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到.由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点.所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为故选：C.6.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则，即，由，则，由，得，故，所以，则，故.故选：A7.设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗由，当时，，解得，当时，，则，整理，又数列为正项数列，则，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.因为，所以.故选：C8.设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，设，则，即为上的偶函数，又当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B二、选择题9.设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（）A.的实部为1 B.关于轴对称C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由实系数一元二次方程求根公式知：方程的两根为，则，所以的实部为0，故A错误；在复平面内对应的点分别是，他们关于轴对称，故B正确；由得，即，故C正确；由得，故D正确.故选：BCD10.在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（）A. B.C. D.随的增大先增大后减小〖答案〗CD〖解析〗由题意，则，所以，故选项A错误；，则，设当时概率最大，则有，即，解得，由，所以当时概率最大，则，即随的增大先增大后减小，故D选项正确；又，则，，所以，故选项B错误；，又，所以，故选项C正确.故选：CD11.已知圆锥为底面圆心的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，是底面圆周上的一个动点，直线满足，设直线与所成的角为，直线与所成的角为，则（）A.的取值范围为 B.该圆锥内切球的表面积为C.的取值范围为 D.〖答案〗BC〖解析〗如图：圆锥中，，，由题意，所以，所以，如图，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，易知，圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.因为，所以，所以，故圆锥的内切球表面积，故选项B正确；在圆锥底面上使，由于直线满足，不妨令，，符合题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，设，，所以，，,由异面直线向量夹角公式知：，，因为，所以，所以，所以，故选项A错误；所以，故选项D错误；，因为，所以，所以，所以，故选项C正确.故选：BC三、填空题12.已知集合，且，则实数的值为______．〖答案〗3〖解析〗，则，有或，解得或或，其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，所以实数的值为3.故〖答案〗为：313.两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有______种.〖答案〗15〖解析〗不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论：若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；综上，不同的分法共有种.故〖答案〗为：1514.已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗设，直线:，因为以为直径的圆过点，所以，即，联立，整理得，且，，，则，所以，整理得，即由到直线:的距离，又，即，而，因为，即，所以，又，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若在边上，且，求的周长.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以，即，即，解得，或（舍），由余弦定理，得，所以，所以的周长为.16.如图，在正三棱柱中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.（1）当时，求证：∥平面；（2）当时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.（1）证明：当时，，故点是的中点，连接，，因为点是的中点，是的中点，所以∥，因为点分别是的中点，所以∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.（2）解：存在，点为的中点.当时，，即，所以点在棱上，取的中点，连接，，则∥，在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，从而，，，设平面的法向量是，由，即，令，得设平面的法向量是，由，即，令，得令，得，解得，所以存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是，此时点为的中点.17.已知函数.（1）若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数的值；（2）设函数，讨论的单调性.解：（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为，由已知得，解得，所以公切线方程为，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，则，当时，，令，得，令得，这时，在上单调递增，在上单调递减；当时，，令，得，令得，这时，在上单调递减，在上单调递增；当时，令得或，，①当时，，这时在上单调递减；②当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调递增；③当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.18.今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况：日期12345678910销售额（万元）1919.319.62021.222423.824.62525.4由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.