九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型（解析版）

重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型【知识梳理】“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD中，，AD//BC，BC=CD，E为梯形内一点， 且，将绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到，联结EF 交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM:MC的值为（） A． B． C． D．AABCDEFM【答案】C．【解析】旋转后，． ，， ，． 在中，，． ． ， ． 又 ．【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．例2、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(DB,EB).∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(CB,EB).又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.例3.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（1）略；（2）易证，得：．又，，．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．例4.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q．（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：≌；（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP=a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ图1图2Q【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）是中点，．，． ，．．（2），而，． ，， ，， ， ． 在中，， ，． 在中，．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．例5.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．【过关检测】一．填空题（共1小题）1．（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是．【分析】利用矩形的性质求出AC，利用三角形的面积、勾股定理求出DE、CE的长，再利用等角的余角相等说明∠BAE＝∠ADE、∠AEB＝∠DEF，得△DEF∽△BEA，最后利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴AC＝＝＝．∵S△ADC＝AD•CD＝AC•DE，∴DE＝．∵DE⊥AC，∴CE＝＝＝．∴AE＝AC﹣CE＝．∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCA．∵∠DCA+∠CDE＝∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE．∵BE⊥FE，DE⊥AC，∴∠FEA+∠AEB＝∠DEF+∠FEA＝90°．∴∠AEB＝∠DEF．∴△DEF∽△BEA．∴＝＝．∴DF＝×3＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．二．解答题（共7小题）2．（2022秋•杨浦区期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，联结BD，以BD为斜边作等腰直角三角形BDE（点E在直线BD右侧），联结CE．（1）如果∠A＝45°，求证：△ABD∽△CBE；（2）如果BC＝12，CD＝5，求线段CE的长．【分析】（1）根据∠A＝45°可得Rt△ABC是等腰直角三角形，根据角的和差得出∠ABD＝∠CBE，根据等腰直角三角形的性质可得＝＝，即可判定△ABD∽△CBE；（2）点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延长线于点N，设DE、BC交于点F，易得△DCF∽△BEF，＝，可推出△BDF∽△ECF，∠3＝∠4＝45°，可得四边形CMEN是正方形，设EM＝x，证明△DEN≌△BEM，得出BM＝DN，即5+x＝12﹣x，求出x，即可得CE的长，同理，可得出点D在线段AC的延长线上时，CE的长；【解答】（1）证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，＝＝，∴△ABD∽△CBE；（2）解：如图1，点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延长线于点N，设DE、BC交于点F，∵∠ACB＝90°，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DCF＝∠BEF＝90°，∠3＝45°，∠1＝∠2，∴△DCF∽△BEF，∴，＝∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF，∴∠3＝∠4＝45°，∵∠ACB＝90°，EM⊥BC，EN⊥AC，∴四边形CMEN是正方形，∠BME＝∠N＝90°，∴CN＝EM＝CM＝NE，在△DEN和△BEM中，，∴△DEN≌△BEM，∴BM＝DN，设EM＝x，∵BC＝12，CD＝5，∴5+x＝12﹣x，解得：x＝，在Rt△CME中，∠4＝45°，∴CE＝EM＝；同理，如图2点D在线段AC的延长线上时，CE＝；【点评】此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．3．（2021春•徐汇区校级期末）如图，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，若∠B＝60°．（1）△BAD与△CAE是否全等，请说明理由；（2）△ABC是否是等边三角形，如果是．请说明理由；（3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立请说明理由．【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD，即可得出结论；（2）先判断出AB＝AC，即可得出结论；（3）先判断出AB＝AC＝BC，即可得出结论．【解答】解：（1）△ABD≌△ACE；理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）△ABC是等边三角形，理由：由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AB＝AC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形；（3）CE＝AC+CD成立，理由如下：由（2）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，由（2）知，BD＝CE，∴BD＝CE＝BC+CD＝AC+CD，即CE＝AC+CD．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．4．（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．（1）求∠ADC的度数；（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）如图①，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝∠DHC＝90°，再证四边形ABHD是矩形，利用三角函数可得∠CDH＝30°，即可求得答案；（2）设AP＝x，则PD＝6﹣x，可证△DPC∽△PCB，求得：PC＝，BP＝，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图③，在AD上取点G，连接AG，使∠ABG＝30°，则∠AGB＝60°，可证△BPG∽△PFD，即可求得答案．【解答】解：（1）如图①，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝∠DHC＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°，∴∠A＝∠ABC＝∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝6，DH＝AB＝，∠ADH＝90°，∴CH＝BC﹣BH＝7﹣6＝1，∴tan∠CDH＝＝＝，∴∠CDH＝30°，∴∠ADC＝∠ADH+∠CDH＝90°+30°＝120°；（2）设AP＝x，则PD＝6﹣x，在图①Rt△CDH中，CD＝＝＝2，如图②∵∠BPC＝∠D＝120°，AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴△DPC∽△PCB，∴＝＝，∴＝＝，∴PC＝，BP＝，在RtABP中，AB2+AP2＝BP2，∴（）2+x2＝（）2，整理得：x3﹣6x2+3x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝5，x3＝﹣1（舍去），∴AP＝2或5；（3）如图③，在AD上取点G，连接AG，使∠ABG＝30°，则∠AGB＝60°，∴∠BGP＝120°，∴∠BGP＝∠BPF＝∠ADC＝120°，∵∠BPG+∠PBG＝∠BPG+∠DPF＝60°，∴∠PBG＝∠DPF，∴△BPG∽△PFD，∴＝，即＝，∴y＝x2+x﹣3，根据题意，0≤x≤6，y≥2，当x2+x﹣3＝2时，解得：x＝2或x＝5，∵＜0，∴当y≥2时，2≤x≤5，故y关于x的函数解析式为y＝x2+x﹣3，定义域为2≤x≤5．【点评】本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2023•静安区校级一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．（2021秋•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴