九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）重难点08解直角三角形之“叠合式”模型（解析版）

重难点08解直角三角形之“叠合式”模型【知识梳理】【考点剖析】1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．（1）求B处到小岛C的距离（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.73）解：（1）由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗杆AB的高度约为18.4米．3.如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度．(结果保留整数，eq\r(3)≈1.73)解：如图，作AD⊥CB交CB所在直线于点D.由题意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝120m.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴tan60°＝eq\f(AD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)AD＝40eq\r(3)m，∴BC＝CD－BD＝120－40eq\r(3)≈51(m)．答：大桥BC的长度约为51m.4、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形，∴BE＝AC＝150，CE＝AB，根据题意可知：∠DAB＝45°，∴DB＝AB＝CE，∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，∴DE＝CE•tan37°，即DB﹣150≈0.75DB，解得DB≈600（米）．答：广州塔BD的高约为600米．5、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）解：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，则四边形DGCH为矩形，在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴．∴DH＝CG＝3m，∴AH＝2DH＝6m，设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝xm，∴CH＝DG＝（x+6）m，在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，∵tan30°＝，∴，解得，x＝≈15.3．答：大树BC的高度约为15.3米．【过关检测】一、填空题1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．

【答案】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC•sin60°()∴船C到海岸线的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．2．（2023·湖北黄石·校考一模）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．二、解答题3．（2023秋·九年级单元测试）如图所示，在一个坡度的山坡的顶端处竖直立着一个电视发射塔．为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地处测得电视发射塔的顶端的仰角为40°，若测得斜坡长为米，点到点的水平距离米，求电视发射塔的高度．（参考数值：，，，结果保留整数）【答案】85米【分析】如图，根据坡比设BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根据勾股定理列出关于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定义求出AE问题得解．【详解】解：如图，作交DC的延长线于点，在中，∵，设，则，，根据勾股定理得，解得，∴（米），（米），∴（米），在中，∵，∴，∴（米），答：电视发射塔的高度约为85米．【点睛】本题考查了坡比的概念、仰角概念及锐角三角函数定义，要求学生能借助仰角、坡比构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．4．（2022春·北京东城·八年级校考阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，CM＝BC•cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长．5．（2020秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在社会实践活动中，某数学兴趣小组想测量在楼房CD顶上广告牌DE的高度，他们先在点A处测得广告牌顶端E的仰角为60°,底端D的仰角为30°，然后沿AC方向前行20m，到达B点，在B处测得D的仰角为45°（C，D，E三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这广告牌DE的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：，）.【答案】广告牌的高度为54.6米.【分析】由题可知：，，，先得到CD=CB，在三角形ACD中，利用正切列出关于CD的等式并解出，从而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角形ACE中利用正切得到CE的长度，最后用CE-CD即为所求.【详解】解：∵又，在中，即答：广告牌的高度为54.6米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的关键.6．（2022春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．【答案】米【分析】设，由题意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高为米．【详解】解：设，由题意可知：，，∴∴，在中，∴，∴解得：，∴山高为米．【点睛】本考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．7．（2021·贵州铜仁·统考三模）如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得银杏树CD的仰角为30°，当向树前进40米到B处时，又测得树顶端C的仰角为75°．请求出这棵千年古银杏树的高．（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）【答案】27.3米【分析】通过解直角△ACD得到：AD=CD；通过解直角△BCD得到BD=【详解】设CD=x米．在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=x，∴BD=AD-AB=x-40，在Rt△BCD中，tan75°=，∴2+=，解得x≈27.3，答：这棵千年古银杏树的高为27.3米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2020·天津和平·三模）学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，是高为的测角仪，在处测得塔顶端的仰角为40°，向塔方向前进在处测得塔顶端的仰角为63.4°，求纪念塔的高度(结果取整数)．参考数据：．【答案】纪念塔的高度约为．【分析】根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG，再在中列出算式求出AG的长，计算即可．【详解】解：根据题意，．在中，，．．在中，，．．答：纪念塔的高度约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2020·天津红桥·三模）如图，垂直于地面的灯柱被一钢缆固定，现需要在点C的上方的E处增加一条钢缆进行加固．已知，，求的长（结果取整数）．参考数据：．【答案】【分析】在中，根据∠CDB的正切函数得到BC=BD，在中，根据∠EDB的正切函数和余弦函数得到，，最后根据，得到，即可求解．【详解】解：根据题意，．在中，，∴．在中，，，∴，．∵，∴．∴．∴．答：的长度约为．【点睛】此题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题关键．10．（2020·河南·九年级统考学业考试）周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙的处，当他到达处时，妈妈看向他的仰角为，当他到达墙顶处时，妈妈看向他的仰角为(小岚妈妈的身高均忽略不计)，此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以的速度下落到处，再减速下落到地面，则他从处下落到处需要多长时间?(结果保留整数，参考数据：)

【答案】小岚从处下落到处需要【分析】在中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在中，利用三角函数解直角三角形可得AD，进而得到AC的长度，即可求解．【详解】解：根据题意可知，在中，即∴（m）在中，即答：小岚从处下落到处需要．【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．11．（2021秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．（1）求轮船从处到处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【答案】（1）海里/小时．（2）小时．【分析】（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过作，由题意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小时）．（2）如图，由题意，，点在的东南方向，∴△OCD为等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小时），经过小时后到达．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．12．（2020·河南·模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出，进而根据列出算式求出AG的长，计算即可．【详解】解：在中，，，在中，，，，，，．答：二七纪念塔AB的高度约为62米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2020春·内蒙古通辽·九年级校考期末）某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为30°，∠ACB＝90°沿AC方向行40米至D处，测得仰角∠BDC为45°，求此大厦的高度BC．（）【答案】54米【分析】先设BC＝x米；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ABC和Rt△BCD，解三角形可求得AC、CD的数值，再根据AD＝AC−CD＝40，进而可求出答案．【详解】解：设BC＝x米，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∵∠BAC＝30°，∠BDC＝45°，AD＝40米∴CD＝x，AC＝＝x，∵AD＝AC−CD＝40，∴x−x＝40，∴x＝20（＋1）≈54米．答：该大厦的高度是54米．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．14．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，【答案】宣传牌的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、，则，，在中，斜坡的坡度，米，设米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣传牌的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．15．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析．【分析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：由题意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．16．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，以上结果均保留到小数点后两位）【答案】（1）1.66米；（2）这样改造能行．【分析】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．【详解】（1）在Rt△ABC中，，∴，Rt△ACD中，，，（米）答：改善后滑滑板会加长1.66米；（2）Rt△ACD中，，，∵．∴这样改造能行．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在直角三角形中正确利用三角函数，特别是特殊角的三角函数值是解题的关键．17．（2015·上海·统考中考真题）（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．（1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到米）（参考数据：）【答案】（1）米；（2）米【分析】（1）联结，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）从题中可得到的信息是，因此需要安装的隔音板至少要包含这一段．第（1）小题中已解得，故需要求出，在和中用两次的三角函数，即可解得和，代入计算即可．【详解】解：（1）连结，由题意得，，在中，；（2）由题意知，隔音板至少要从点装到点．在中，，∴，在中，，∴．∴．答：（1）此时汽车与点的距离为米；（2）高架道路旁安装的隔音板至少需要米．18．（2021·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，（1）求的度数；（2）已知在岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：、）【答案】（1）30°；（2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险.【分析】（1）在△ABP中，求出∠CAB、∠CBA的度数即可解决问题；（2）作CD⊥AB于D．求出CD的值即可判定.【详解】（1）∵，，∴.（2）过点作于，由题意，，，∴，∴,∴（海里）,在中，,∴,∵.所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．19．（2023春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】米【分析】延长CB交PQ于点D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．【详解】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴（米），（米），在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴（米），∴（米）．【点睛】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．（2023·广东·模拟预测）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心到斜坡底的水平距离为.在阳光下某一时刻测得米的标杆影长为，树影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求树高.(结果精确到米，参考数据：，，，≈1.73)【答案】AB≈16.1（m）.【分析】延长与的延长线交于点，过点作于，根据坡比的定义得到，tan∠DCH=，则∠DCH=30°，由可得，DH=1.6m，CH=DH=1.6m，再根据三角形相似的性质得到，，最后计算AB的长度即可解答.【详解】解：如图所示，延长与