2024-2025版高中数学单元素养评价一解三角形素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2024·青岛高一检测)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=QUOTE,b=1,C=QUOTE,则a= ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.3【解析】选B.由余弦定理可得,cosC=QUOTE,即-QUOTE=QUOTE,整理可得a2+a-6=0解得a=2(负值舍去).2.已知在△ABC中,AB=2QUOTE,sinA=QUOTE,tanC=QUOTE,则BC= ()A.8QUOTE B.8 C.4QUOTE D.4【解析】选B.由AB=2QUOTE,sinA=QUOTE,tanC=QUOTE=QUOTE,可得cosC=QUOTEsinC,由sin2C+cos2C=1,可得(QUOTEsinC)2+sin2C=1,解得sinC=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE,可得BC=QUOTE=QUOTE=8.3.(2024·扬州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=QUOTE,则QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选D.A=60°,a=QUOTE,由正弦定理可得,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,所以b=2sinB,c=2sinC,则QUOTE=2.4.(2024·延安高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,b=QUOTE,则△ABC外接圆的面积是 ()A.2π B.π C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设△ABC外接圆的半径为r,则2r=QUOTE=QUOTE=2,解得r=1,所以△ABC外接圆的面积=π×12=π.5.(2024·烟台高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sinC),n=(QUOTEa+c,sinB-sinA),若m∥n,则B的大小为()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选D.因为m=(a+b,sinC),n=(QUOTEa+c,sinB-sinA),若m∥n,所以(a+b)(sinB-sinA)-sinC(QUOTEa+c)=0,由正弦定理知:(a+b)(b-a)=c(QUOTEa+c),即a2+c2-b2=-QUOTEac.由余弦定理知:2accosB=-QUOTEac,所以cosB=-QUOTE,因为B∈(0,π),所以B=150°.6.在△ABC中,D是边BC上一点,若AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AD=3,AB=3QUOTE,则BD= ()A.QUOTE B.2 C.2QUOTE D.3【解析】选A.如图所示.由诱导公式得sin∠BAC=sinQUOTE=cos∠BAD=QUOTE,在三角形ABD中,由余弦定理得BD=QUOTE=QUOTE.7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由3sinA=5sinB可得3a=5b,又因为b+c=2a,可令a=5t,b=3t,c=7t(t>0),可得cosC=QUOTE=-QUOTE,又0<C<π,故C=QUOTE.8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=(2c-a)cosB,c=2,a=1,则△ABC的面积是()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=(2c-a)cosB,利用正弦定理得sinBcosA=2sinCcosB-sinAcosB,整理得:sin(A+B)=sinC=2sinCcosB,由于sinC≠0,所以cosB=QUOTE,由于0<B<π,则B=QUOTE.由于c=2,a=1,则S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×2×1×QUOTE=QUOTE.【补偿训练】设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC),则A的大小为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,所以已知等式可化为(b+c)sinB=(a+c)(sinA-sinC),所以由正弦定理可得:(b+c)b=(a+c)(a-c),整理可得:b2+c2-a2=-bc,所以由余弦定理可得:cosA=-QUOTE,由A∈(0,π),可得A=QUOTE.9.在△ABC中,A=60°,a=3,则△ABC的周长为 ()A.6sin(B+30°)+3 B.4QUOTEsin(B+30°)+3C.6sin(B+60°)+3 D.4QUOTEsin(B+60°)+3【解析】选A.由正弦定理可得QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以b=2QUOTEsinB,c=2QUOTEsinC,因为A+B+C=180°,A=60°,所以C=180°-A-B=120°-B,那么△ABC的周长:a+b+c=3+2QUOTEsinB+2QUOTEsin(120°-B)=3+2QUOTEsinB+2QUOTE=3+3QUOTEsinB+3cosB=3+6sin(B+30°).10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若QUOTE=QUOTE,则△ABC的形态是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.由已知QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE或QUOTE=0,即C=90°或QUOTE=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.11.(2024·武汉检测)如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2QUOTE,DC=4QUOTE,则BC的长为 ()A.4QUOTE B.5 C.6QUOTE D.7【解析】选A.在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=2QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,sin∠ADB=QUOTE=QUOTE;∠BDC=90°-∠ADB,cos∠BDC=sin∠ADB=QUOTE;在△BCD中,DC=4QUOTE,BD=2QUOTE,由余弦定理得,BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=QUOTE+QUOTE-2×2QUOTE×4QUOTE×QUOTE=48,所以BC=4QUOTE.【补偿训练】如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ()A.20QUOTE海里 B.40QUOTE海里C.20(1+QUOTE)海里 D.40海里【解析】选A.连接AB,由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,∠ADB=60°,在△ACD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AD=20QUOTE,在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=QUOTECD=40QUOTE.在△ABD中,由余弦定理得AB=QUOTE=20QUOTE.12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2019c2,QUOTE+QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.QUOTE+QUOTE=tanCQUOTE=tanCQUOTE=tanCQUOTE=QUOTE=QUOTE.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,又因为a2+b2=2019c2,所以c2=2019c2-2abcosC,所以1009c2=abcosC,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,a=3QUOTE,b=2QUOTE,cosC=QUOTE,则△ABC的面积为.

【解析】因为cosC=QUOTE,0<C<π,所以sinC=QUOTE.所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×3QUOTE×2QUOTE×QUOTE=4QUOTE.答案:4QUOTE14.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A=.

【解析】因为b=2a,所以sinB=2sinA,又因为B=A+60°,所以sin(A+60°)=2sinA,即sinAcos60°+cosAsin60°=2sinA,化简得:sinA=QUOTEcosA,所以tanA=QUOTE,又0°<A<180°,所以A=30°.答案:30°【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=QUOTE,b=2,A=60°,则sinB=,c=.

【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得c=3(负值舍去).答案:QUOTE315.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acosA=bsinA,则sinA+sinC的最大值为.

【解析】因为acosA=bsinA,由正弦定理可得,sinAcosA=sinBsinA,因为sinA≠0,所以cosA=sinB,又B为钝角,所以B=A+QUOTE,sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A=-2QUOTE+QUOTE,所以sinA+sinC的最大值为QUOTE.答案:QUOTE16.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架飞机以72QUOTE千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后其次次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则飞机飞行的高度为(结果保留根号).

【解析】如图,由题上条件可得线AC平行于东西方向,AC=QUOTE=QUOTE千米;所以∠ABC=135°;∠BAC=30°;在△ABC中,QUOTE=QUOTE⇒QUOTE=QUOTE⇒BC=QUOTE=QUOTE.如图,D1C⊥平面ABC,在直角△BD1C中,tan∠D1BC=QUOTE=QUOTE⇒h=BC·tan∠D1BC=QUOTE×tan30°=QUOTE千米.答案:QUOTE千米三、解答题(共70分)17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC-QUOTEasinC=bsinB.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.【解析】(1)由正弦定理得a2+c2-QUOTEac=b2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB=QUOTE(0<B<π),因此B=45°.(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=QUOTE.故a=bQUOTE=QUOTE=1+QUOTE,c=bQUOTE=2×QUOTE=QUOTE.【补偿训练】(2024·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,因为sinC≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=QUOTEa,c=QUOTEa.由余弦定理可得cosB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)由(1)可得sinB=QUOTE=QUOTE,sin2B=2sinBcosB=-QUOTE,cos2B=cos2B-sin2B=-QUOTE,故sinQUOTE=sin2BcosQUOTE+cos2BsinQUOTE=-QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.18.(12分)在△ABC中,求证:QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE.【证明】左边=QUOTE-QUOTE=QUOTE-2QUOTE=右边.所以原式成立.19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C=sin2A(1)求A的大小;(2)若2sinBsinC+cos2A=1,推断△ABC的形态.【解析】(1)因为sin2B+sin2C=sin2A+sinB由正弦定理得b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为0<A<π,所以A=QUOTE.(2)因为2sinBsinC+cos2A=1,所以2sinBsinC=1-cos2A=1-(1-2sin2A)=2sin2即sinBsinC=sin2A,所以bc=a2所以b2+c2=2bc,(b-c)2=0,b=c,又因为A=QUOTE,所以△ABC为等边三角形.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,△ABC的面积为2QUOTE,求b,c.【解析】(1)因为3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC,所以3cosBcosC-3sinBsinC=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-QUOTE,所以cosA=QUOTE.(2)由(1)得sinA=QUOTE,由面积公式QUOTEbcsinA=2QUOTE可得bc=6①,依据余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,则b2+c2=13②,①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.21.(12分)(2024·盐城高二检测)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,点D为△ABC内一点,满意BD=CD=2,且·+5·=0.(1)求QUOTE的值;(2)求边BC的长.【解析】(1)设BC=a,AC=b,AB=c,由·+5·=0,得5×4cosA+5×2×2cosD=0,即cosA=-cosD,又A,D为三角形的内角,所以sinA=sinD;在△ABC中,由QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE;同理QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=2.(2)在△ABC中,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,同理cosD=QUOTE,由(1)可得QUOTE=-QUOTE,解得BC=a=QUOTE.22.(12分)如图所示,