北师大版七年级数学下册举一反三系列7.5期末专项复习之三角形十九大必考点同步练习(学生版+解析)

专题7.5三角形十九大必考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1三角形的个数】 1【考点2判断能否组成三角形】 2【考点3确定第三边的取值范围】 3【考点4利用三角形的三边关系化简或证明】 3【考点5三角形的三边关系的应用】 4【考点6根据三角形的中线求面积】 5【考点7根据三角形的中线求长度】 6【考点8与三角形的高有关的计算】 7【考点9网格中的三角形】 8【考点10三角形的稳定性】 9【考点11与角平分线有关的三角形内角和问题】 10【考点12与平行线有关的三角形内角和问题】 12【考点13与折叠有关的三角形内角和问题】 13【考点14全等图形的概念】 15【考点15全等三角形的对应元素判断】 15【考点16全等三角形的性质（求长度）】 16【考点17全等三角形的性质（求角度）】 17【考点18全等三角形的判定条件】 18【考点19证明两个三角形全等】 19【考点1三角形的个数】【例1】（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．【变式1-1】（2022·河南南阳·七年级期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1-2】（2022·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（

）A．10 B．15 C．21 D．28【变式1-3】（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．【考点2判断能否组成三角形】【例2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．4cmC．4cm，5cm，9cm D．5cm【变式2-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角形三边长的是（

）A．2cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，10cmC．三条线段之比为1：2：3 D．3a，5a，4a（a＞0）【变式2-2】（2022·湖南·八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（A．2cm B．8cm C．12cm【变式2-3】（2022·江苏·江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．7个【考点3确定第三边的取值范围】【例3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（）A．5m B．9m C．11m D．13m【变式3-1】（2022·河南新乡·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（

）A．2 B．4 C．7 D．14【变式3-2】（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【变式3-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【考点4利用三角形的三边关系化简或证明】【例4】（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简a−b−c−b−c+a+A．b+a−3c B．b+c−a C．3a+3b+3c D．a+b−c【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞12（AB+AC【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【考点5三角形的三边关系的应用】【例5】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（

）A．10 B．8 C．7 D．5【变式5-1】（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝8m，那么A，B间的距离不可能是（

）A．12m B．15m C．18m D．21m【变式5-2】（2022·广东·饶平县三饶中学八年级期中）如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米．一个行人P在马路MN上行走，当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米．【考点6根据三角形的中线求面积】【例6】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且SΔABC=4cm2，则A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2【变式6-1】（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，SΔCDE=2，则△ABCA．4 B．8 C．10 D．12【变式6-2】（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图，在△ABC中D、F为BC上的点，且F为CD的中点，CD=2BD，连接AD，E是AD的中点，连接BE、EF、EC，若S△DEF=3，则【变式6-3】（2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

A．1 B．2 C．6 D．3【考点7根据三角形的中线求长度】【例7】（2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是__________．【变式7-1】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为______．【变式7-2】（2022·四川·富顺第三中学校八年级期中）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【变式7-3】（2022·吉林长春·七年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．(1)求AB、AC的长．(2)求BC边的取值范围．【考点8与三角形的高有关的计算】【例8】（2022·山东·临沭县第三初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高且AB＝2，BC＝4，AD＝3；则CE＝_____．【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2cm，DE=1cm，S△ABC=8cm2，则【变式8-2】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3．(1)请画出AE，CD；(2)求△ABC的面积；(3)若AE＝4，求BC的长．【变式8-3】（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如图①，已知AE⊥BC于E，求证：CD=2AE（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求证：2PE+PF=CD（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．【考点9网格中的三角形】【例9】（2022·江苏·靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，在方格纸内将ΔABC水平向右平移4个单位得到△A(1)补全△A'(2)图中AC与A'C'(3)画出AB边上的高线CD；(4)画出ΔABC中AB边上的中线CE【变式9-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C(1)画出△A(2)过点B作AC的垂线段BD，垂足为点D．(3)连接AA'、CC'，那么AA【变式9-3】（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D；(2)求出△ABC的面积为_________；(3)图中，能使S△QBC=3的格点【考点10三角形的稳定性】【例10】（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）下列图形中有稳定性的是（

）A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形【变式10-1】（2022·湖北武汉·八年级期中）下列哪个图形具有稳定性（

）A． B． C． D．【变式10-2】（2022·广东揭阳·七年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上________根木条，所依据的原理是________．【考点11与角平分线有关的三角形内角和问题】【例11】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”．【理解应用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线(2)如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数；【拓展应用】(3)如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且∠A＝m°，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含【变式11-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．【变式11-2】（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是．（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是．（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．【变式11-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【考点12与平行线有关的三角形内角和问题】【例12】（2022·辽宁盘锦·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．【变式12-1】（2022·山东德州·七年级期中）如图所示，DE∥BC，∠1=∠3，(1)求证：FG⊥AB．(2)若∠3=45°，求∠ADE的度数．【变式12-2】（2022·江苏南通·七年级期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠EGC=______°；②若∠A=80°，求∠EGC的度数；(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系，请直接写出答案．【变式12-3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．【考点13与折叠有关的三角形内角和问题】【例13】（2022·江苏·睢宁县桃园中学七年级期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的C'，D'处，则∠AMD'+∠A．50° B．60° C．70° D．80°【变式13-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AC边上取点D，使得AD=AB，连接BD．点E、F分别为AD、BD边上的点，且∠DEF=48°，将△DEF沿直线EF翻折，使点D落在AB边上的点G处，若GF//BC，则∠C的度数为_______．【变式13-2】（2022·全国·八年级课时练习）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB．（1）如图1，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，①点A，B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．②如图2，将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C'，则∠ABO=_______°；如图3，将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C''，则∠ABO=（2）如图4，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线交其延长线交于E，F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，三角形ABC中，∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°．点E是BC边上的定点，点D在AC边上运动．沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．（1）如图2，若DE//AB，求∠ADG的度数．（2）如图3，若EG//AB，求∠ADG的度数．（3）当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，直接写出∠CDG的度数【考点14全等图形的概念】【例14】（2022春•偃师市期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【变式14-1】（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式14-2】（2021秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤【变式14-3】（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．【考点15全等三角形的对应元素判断】【例15】（2021秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．115° B．65° C．40° D．25°【变式15-1】（2021秋•大连期中）如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）A．∠ANB和∠AMC是对应角 B．∠BAN和∠CAB是对应角 C．AM和BM是对应边 D．BN和CN是对应边【变式15-2】（2021春•泰兴市期末）边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5【变式15-3】（2021秋•鲁甸县期末）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝．【考点16全等三角形的性质（求长度）】【例16】（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【变式16-1】（2022秋•巴南区期末）如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式16-2】（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式16-3】（2021春•沙坪坝区期末）如图，△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6．则△AEC的周长为．【考点17全等三角形的性质（求角度）】【例17】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（）A．60° B．45° C．43° D．34°【变式17-1】（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84° B．60° C．48° D．43°【变式17-2】（2021秋•招远市期中）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（）A．36° B．24° C．56° D．34°【变式17-3】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α【考点18全等三角形的判定条件】【例18】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【变式18-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DE C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式18-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式18-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点19证明两个三角形全等】【例19】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式19-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式19-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作专题7.5三角形十九大必考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1三角形的个数】 1【考点2判断能否组成三角形】 4【考点3确定第三边的取值范围】 6【考点4利用三角形的三边关系化简或证明】 8【考点5三角形的三边关系的应用】 10【考点6根据三角形的中线求面积】 13【考点7根据三角形的中线求长度】 18【考点8与三角形的高有关的计算】 20【考点9网格中的三角形】 24【考点10三角形的稳定性】 30【考点11与角平分线有关的三角形内角和问题】 31【考点12与平行线有关的三角形内角和问题】 39【考点13与折叠有关的三角形内角和问题】 49【考点14全等图形的概念】 57【考点15全等三角形的对应元素判断】 59【考点16全等三角形的性质（求长度）】 60【考点17全等三角形的性质（求角度）】 63【考点18全等三角形的判定条件】 65【考点19证明两个三角形全等】 67【考点1三角形的个数】【例1】（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．【答案】（1）10；24；（2）330个【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可；（2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为10+10×1+4×1，增加2条线后，三角形的个数为10+10×2+4×2+1，增加3条线后，三角形的个数为10+10×3+4×3+2+1，依次类推即可推出增加【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10；根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24；（2）增加1条线，三角形个数为：10+10×1+4×1；增加2条线，三角形个数为：10+10×2+4×2+1增加3条线，三角形个数为：10+10×3+4×3+2+1则增加n条线，三角形个数为：10+10×n+4×(n+n−1+n−2+⋯+1)，所以增加10条线，三角形个数为10+10×10+4×10+9+8+⋅⋅⋅+1【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系．【变式1-1】（2022·河南南阳·七年级期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】根据三角形的概念求解即可．【详解】解：由题意可得，图中的三角形有：△AED，△ACD，△ABC，△BDE，△ABD，共5个．【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念．三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形．【变式1-2】（2022·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（

）A．10 B．15 C．21 D．28【答案】A【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；第②个图中三角形的个数为3=1+2；第③个图中三角形的个数为6=1+2+3；…，故第n个图中三角形的个数为1+2+3+⋅⋅⋅+n=n(n+1)故第⑥个图形中三角形的个数为：6×6+1【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．【变式1-3】（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．【答案】3【分析】根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可．【详解】：一共可以画出9个三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE，直角三角形有：△ABE、△EBC、△AED，故答案为3．【点睛】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．【考点2判断能否组成三角形】【例2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．4cmC．4cm，5cm，9cm D．5cm【答案】D【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．【详解】解：A．1＋2＝3，不满足三角形两边之和大于第三边，故A不能组成三角形，不符合题意；B．4＋4＝8，不满足三角形三边关系，故B不能组成三角形，不符合题意；C．5＋4＝9，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不能组成三角形，不符合题意；D．5＋6＞9，满足三角形两边之和大于第三边，故D能组成三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．【变式2-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角形三边长的是（

）A．2cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，10cmC．三条线段之比为1：2：3 D．3a，5a，4a（a＞0）【答案】A【分析】根据构成三角形的条件逐项判断即可．构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边即可．【详解】解：A．2+2>3，能构成三角形，故此选项不合题意；B．3+8>11，能构成三角形，故此选项不合题意；C．设最小边为a，则剩余两边是2a．3a．a+2a=3a，不能构成三角形，故此选项符合题意；D．因为a＞0，所以3a+4a>5a，能构成直角三角形，故此选项不合题意【点睛】本题考查构成三角形的条件，解题的关键是计算较小两边之和和是否大于最大边长．【变式2-2】（2022·湖南·八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（A．2cm B．8cm C．12cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．【详解】解：设第三边的长为xcm则7−5<x<7+5，即2<x<12∴四根木棒中，长度为8cm的木棒，能与5cm、【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式2-3】（2022·江苏·江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．7个【答案】D【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断．【详解】解：以其中的三条线段为边组成三角形的有：2cm，3cm，4cm；3cm，4cm，5cm；3cm，4cm，6cm；4cm，5cm，6cm；3cm，5cm，6cm；2cm，4cm，5cm；2cm，5cm，6cm共有7种情况．故选：D．【点睛】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．【考点3确定第三边的取值范围】【例3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（）A．5m B．9m C．11m D．13m【答案】B【分析】先求出第三边的取值范围．再根据x是奇数解答即可．【详解】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2，∴6＜x＜10，又∵x为奇数，∴x＝7或9，【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的运用．关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．【变式3-1】（2022·河南新乡·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（

）A．2 B．4 C．7 D．14【答案】B【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．【详解】设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于这个三角形的周长为a+12，而且周长是偶数，∴a为偶数，可以为4、6、8、10．【点睛】本题从边的方面考查三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．【变式3-2】（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6，0<b<2，从而可得4<a+b<8，2<a−b<6，再在△ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a−b<d<a+b，从而可得2<d<8，由此即可得出答案．【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，在△ABC中，5−1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1−1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a−b<6，在△ACE中，a−b<d<a+b，所以2<d<8，观察四个选项可知，只有选项C符合，【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．【变式3-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】D【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，可得{x+(3x−3)>x+2∴{x>∴53【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．【考点4利用三角形的三边关系化简或证明】【例4】（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简a−b−c−b−c+a+A．b+a−3c B．b+c−a C．3a+3b+3c D．a+b−c【答案】B【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝b+c﹣a．【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞12（AB+AC【答案】证明见解析【分析】根据三角形三边关系定理可得BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，由此可得BD+AD+CD+AD＞AB+AC．已知AD是BC边上的中线可得BD=CD，即可证得AD+BD＞12（AB+AC【详解】证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC边上的中线，BD=CD，∴AD+BD＞12（AB+AC【点睛】本题是对三角形三边关系和三角形中线性质的综合考查．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC；（2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可．（1）证明：延长BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD，∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①，AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键．【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【答案】D+3b【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边，∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）＝a+3b．【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．【考点5三角形的三边关系的应用】【例5】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（

）A．10 B．8 C．7 D．5【答案】A【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【变式5-1】（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝8m，那么A，B间的距离不可能是（

）A．12m B．15m C．18m D．21m【答案】D【分析】由PA＝12m，PB＝8m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．【详解】解：∵A＝12m，PB＝8m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜20m，∴AB间的距离不可能是：21m．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【变式5-2】（2022·广东·饶平县三饶中学八年级期中）如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．【答案】见解析【分析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使供应站M，使它到四个工厂的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【详解】解：如图所示，连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．理由：任取一点P，∵PB+PD≥BD，PA+PC≥AC，∴PB+PD+PA+PC≥AC+BD，∴所求作的点M符合题意．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题．【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米．一个行人P在马路MN上行走，当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米．【答案】700【分析】当A、B、P构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以A、B、P在同一直线上时，AP与BP的差最大，算出这个最大值即可．【详解】当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB，∴A、B、P在同一直线上，P到A的距离与P到B的距离之差最大，∵此时，PA−PB=AB∴当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700．【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．【考点6根据三角形的中线求面积】【例6】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且SΔABC=4cm2，则A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2【答案】D【分析】首先根据E为AD的中点，可得BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，然后根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，可得SΔBDE=12SΔ【详解】解：∵E为AD的中点，∴BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，∴SΔBDE=∴SΔBEC=即SΔBEC的值为2【点睛】此题还考查了三角形的中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．【变式6-1】（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，SΔCDE=2，则△ABCA．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据三角形中线的性质：平分面积，进行求解即可．【详解】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴AD，DE分别为△ABC和△ADC的中线，∴S△ADC∴S△ABC故选B．【点睛】本题考查三角形中线的性质，熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．【变式6-2】（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图，在△ABC中D、F为BC上的点，且F为CD的中点，CD=2BD，连接AD，E是AD的中点，连接BE、EF、EC，若S△DEF=3，则【答案】18【分析】先证明BD=DF=CF，利用三角形面积公式得到SΔBDE=SΔDEF=3,再利用E是AD的中点得到【详解】解：∵F为CD的中点，CD=2BD，∴BD=DF=CF，∴S∵E是AD的中点，∴S∵CD=2BD，∴BC=3BD，∴S故答案为：18．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12【变式6-3】（2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．【详解】解：在图①中，连接OC，∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA设S△OAS1解得S1在图②中，连接OE2、OC、则S△ABE1设S△OAS2解得S2在图③中，连OE2、OE3、OC、则S△ABE1设S△OAS3解得S3．由可知，Sn∵S∴12×5+1解得a=3．故选：D【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．【考点7根据三角形的中线求长度】【例7】（2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是__________．【答案】22【分析】根据线段中点的概念得到BD=CD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵点D是BC边上的中点，∴BD=CD，∵△ACD的周长为20，∴AC+AD+CD=20，∵AC=8，∴AD+CD=AD+BD=12，∵AB=10，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=22，故答案为：22【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．【变式7-1】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为______．【答案】8【分析】根据三角形中线的定义得到BD＝CD，进而得到△ABD和△ADC的周长的差等于AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．【详解】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长−△ADC的周长＝（AB＋AD＋BD）−（AC＋AD＋CD）＝AB−AC＝3，即AB−AC＝3①，又AB＋AC＝13②，①＋②得2AB＝16，解得AB＝8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边AB与AC的差等于3是解题的关键．【变式7-2】（2022·四川·富顺第三中学校八年级期中）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【答案】A【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①x+y2解方程组①得x＝11y＝8根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得x＝7y＝10根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理.【变式7-3】（2022·吉林长春·七年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．(1)求AB、AC的长．(2)求BC边的取值范围．【答案】(1)AB＝6，AC＝5(2)1＜BC＜11【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．∵CΔABD=AB+AD+BD∴CΔ∵AB＋AC＝11，∴AB＝6，AC＝5．（2）∵AB－AC＜BC＜AB＋AC，∴1＜BC＜11．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．【考点8与三角形的高有关的计算】【例8】（2022·山东·临沭县第三初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高且AB＝2，BC＝4，AD＝3；则CE＝_____．【答案】3【分析】根据三角形的面积公式，分别以AB，BC作底表示面积，两个面积相等，便可计算出CE．【详解】解：∵AD、CE分别是△ABC的高，∴S△ABC＝12BC•AD＝12AB•∴CE＝BC×ADAB＝4×3故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的面积，比较简单，根据同一个三角形用不同的边作底求面积，两个面积相等列出方程是解题的关键．【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2cm，DE=1cm，S△ABC=8cm2，则【答案】3【分析】根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，再利用线段的和差进行计算即可．【详解】解：∵S△ABC=8cm∴12BC•AE=8，即12×解得：BC=8，∵AD是边BC上的中线，∴DC=12BC∴EC=DC-DE=4-1=3（cm），故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．【变式8-2】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3．(1)请画出AE，CD；(2)求△ABC的面积；(3)若AE＝4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)S(3)BC=4.5【分析】（1）画出AE，CD即可；（2）利用三角形面积公式即可求得；（3）根据三角形面积公式得到S△ABC＝12AB⋅CD＝1（1）解：AE，CD即为所求作的高，如图所示：（2）解：∵AB＝4，CD＝2，∴S△ABC（3）解：∵S△ABC∴12∴BC＝【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键．【变式8-3】（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如图①，已知AE⊥BC于E，求证：CD=2AE（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求证：2PE+PF=CD（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，PF=CD+2PE．【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．【详解】解：（1）证明：∵（2）如图②，连接PB，∵S△ABC∴1（3）如图③，即为图像，连接PB，作PE⊥BC交BC的延长线于E点，∵S△PAB∴【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．【考点9网格中的三角形】【例9】（2022·江苏·靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，在方格纸内将ΔABC水平向右平移4个单位得到△A(1)补全△A'(2)图中AC与A'C'(3)画出AB边上的高线CD；(4)画出ΔABC中AB边上的中线CE【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)见解析【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；（2）根据平移的性质进行判断；（3）根据三角形高的定义画图；（4）找出AB的中点E即可．（1）解：如图，△A'（2）解：AC=A'C故答案为：平行且相等；（3）解：如图，CD为所作；（4）解：如图，CE为所作．【点睛】本题考查了作图−平移变换，解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．【变式9-1】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△OABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；(2)在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由图可知∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质，连接格子的对角线即可，（2）根据三角形中线的性质，找到BC边的中点即可．（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线和中线，熟练掌握三角形的角平分线和中线的定义是解题的关键．【变式9-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C(1)画出△A(2)过点B作AC的垂线段BD，垂足为点D．(3)连接AA'、CC'，那么AA【答案】(1)见解析(2)见解析(3)相等且平行，10【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可；（2）根据题意作出AC的垂线即可；（3）根据平移的性质和SAC（1）解：如图，△A；（2）解：如图，点D即为所求；（3）解：AA'与线段AC扫过的图形的面积=2×1【点睛】本题主要考查了平移作图，作垂线，平移的性质，利用网格求三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键．【变式9-3】（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D；(2)求出△ABC的面积为_________；(3)图中，能使S△QBC=3的格点【答案】(1)画图见解析(2)8(3)7【分析】（1）根据三角形高的定义作图即可；（2）用△ABC所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案；（3）利用格点和平行线间间距相等作图求解即可．（1）解：如图所示，线段CD即为所求；（2）解：S△ABC故答案为：8；（3）解：如图所示，满足Q点的格点一共有7个，故答案为：7；【点睛】本题主要考查了求三角形面积，平行线的性质，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键．【考点10三角形的稳定性】【例10】（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）下列图形中有稳定性的是（

）A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形【答案】A【分析】根据稳定性是三角形的特性解答．【详解】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．【点睛】此题考查三角形的稳定性，记住稳定性是三角形的特性是解题的关键．【变式10-1】（2022·湖北武汉·八年级期中）下列哪个图形具有稳定性（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形具有稳定性进行判断即可．【详解】解：∵三角形具有稳定性，∴四个图形中只有D选项的图形具有稳定性，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【变式10-2】（2022·广东揭阳·七年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可．【详解】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上________根木条，所依据的原理是________．【答案】

3

三角形的稳定性【分析】利用三角形的稳定性分析即可得．【详解】因为三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，所以将六边形木架钉上3根木条，变成由四个三角形组成，就能使其不变形，如图所示：故答案为：3，三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握理解三角形的稳定性原理是解题关键．【考点11与角平分线有关的三角形内角和问题】【例11】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”．【理解应用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线(2)如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数；【拓展应用】(3)如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且∠A＝m°，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含【答案】(1)125°或105°(2)45°(3)120°−【分析】（1）分两种情况：①当AD为近AB三分线时，如图所示，求得∠BAP=13∠BAC，再利用角平分线的定义求得∠ABP=12∠ABC=35°，最后在（2）利用BO、CO分别是∠ABC近AB三分线和∠ACB近AC三分线，求得∠ABC+∠ACB=135°，然后再利用三角形的内角和定理即可求解；（3）如图2，在△ABC中，利用三角形的内角和定理求∠ABC+∠ACB=180°−m°，再利用BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，求得∠4+∠5=23180°−m°，进而在△BCO中利用内角和定理求∠2+∠3=60°+（1）解：分两种情况：当AD为近AB三分线时，如图所示，∠BAC=60°，∴∠BAP=1∵BE平分∠ABC，∠ABC=70°，∴∠ABP=1∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=125°；当AD为远AB三分线时，如图所示，∠BAC=60°，∴∠BAP=2∵BE平分∠ABC，∠ABC=70°，∴∠ABP=1∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=105°，故答案为：125°或105°．（2）如图1，∵BO、CO分别是∠ABC近AB三分线和∠ACB近AC三分线，∴∠1＝23∠ABC，∠2＝23∠∵BO⊥CO，∴∠BOC＝∴∠1+∠2=2∴∠ABC+∠ACB=135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB（3）解：如图2，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−m°．∵BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，∴∠4=2∴∠4+∠5=2在△BCO中，∠BOC+∠4+∠5=180°，∴∠BOC=180°−(∠4+∠5)=180°−23∴∠2+∠3=60∵∠1+∠3=180°，∴∠1−∠2=180°−60°+23【点睛】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键．【变式11-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．【答案】110°##110度【分析】首先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质可得∠PCB=12∠ACB,∠PBC=12【详解】解：∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°,又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PCB=∴∠PBC+∠PCB=∴∠BPC=180°−故答案为：110°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．【变式11-2】（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是．（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是．（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．【答案】（1）125°（2）55°（3）35°【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠∴∠PBC+∠PCB＝12（∠ABC+∠ACB＝12×（180°﹣∠A∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，故答案为：125°．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，＝180°+70°＝250°，∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，∴∠PBC＝12∠EBC，∠PCB＝12∠∴∠PBC+∠PCB＝12（∠EBC+∠FCB＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，故答案为：55°．（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCA＝12∠ACD＝12∠A+1∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），＝12∠A即∠P等于∠A的一半，答：∠P的度数是35°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【变式11-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【答案】(1)见解析；(2)∠ACE=40°；(3)∠MNB=135°−∠A【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；（2）过点F作FM//AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH=x，则∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定义得到x+y=45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．（1）证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM=90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，∴∠AEC+∠BEM=90°．∵AB//CD，∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．∴∠ECD+∠CME=90°．∴2∠ECD+2∠CME=180°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME=180°．∵AB//CD，∴∠ACD+∠A=180°．∴∠A=2∠CME．（2）解：过点F作FM//AB，如图，∵AB//CD，∴FM//AB//CD．∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．即∠AFC=∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．∵∠AFC=70°，∴∠CAB+∠DCE=140°．∵AB//CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．∴∠ACE=180°−(∠CAB+∠DCE)=180°−140°=40°．（3）解：∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB=135°−∠A．延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，∴∠NMF=90°．∴∠MNB=90°−∠F．同理：∠HCF=90°−∠F．∴∠MNB=∠HCF．∵∠ACH=1∴设∠ACH=x，则∠ECH=2x．∵CM平分∠DCE，∴设∠ECM=∠DCM=y．∴∠MNB=∠HCF=2x+y．∵AB//CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD=90°．∴∠ECH+∠ECD=90°．∴2x+2y=90°．∴x+y=45°．∵CH⊥AB，∴∠A=90°−∠ACH=90°−x．∴∠A+∠MNB=90°−x+2x+y=90°+x+y=135°．∴∠MNB=135°−∠A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM//AB是解题的关键．【考点12与平行线有关的三角形内角和问题】【例12】（2022·辽宁盘锦·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．【答案】（1）100°；（2）50°，理由见解析；（3）当点P在BD上时，∠APC=α+β；当点P在BD延长线上时，∠APC=α−β；当点P在DB延长线上时，∠APC=β−α．【分析】（1）过点P作PO∥AB，将∠MPN分成∠MPO和∠NPO两部分，然后根据平行线的性质将两部分的度数相加即可；（2）分别过点P和点F作PO∥AB，EF∥AB，由（1）知∠AMP+∠CNP的度数