北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题2.6二次根式的加减【十大题型】学案(学生版+解析)

专题2.6二次根式的加减【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同类二次根式】 1【题型2分母有理化】 2【题型3二次根式的加减】 3【题型4比较二次根式的大小】 3【题型5二次根式的混合运算】 4【题型6已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 4【题型7已知条件式对二次根式进行化简求值】 5【题型8二次根式混合运算的实际应用】 5【题型9二次根式中的新定义类问题】 7【题型10二次根式中的阅读理解类问题】 8知识点1：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.【题型1同类二次根式】【例1】（23-24八年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【变式1-1】（23-24八年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，则a=．【变式1-2】（23-24八年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【变式1-3】（23-24八年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，求x知识点2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型2分母有理化】【例2】（23-24八年级·河北衡水·期末）已知a=45−3，b=5+3，则aA．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数【变式2-1】（23-24八年级·上海·期末）计算：11−2【变式2-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）2a−1的一个有理化因式是（A．2a−1 B．2a−1 C．2【变式2-3】（23-24八年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．11+2=验证：11+12(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：13+4(2)通过上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)计算：1知识点3：二次根式的加减将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如【题型3二次根式的加减】【例3】（23-24八年级·山西吕梁·期末）计算(1)3(2)16【变式3-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）计算313−2【变式3-2】（23-24八年级·吉林长春·开学考试）212−6【变式3-3】（23-24八年级·全国·单元测试）计算：a−ba【题型4比较二次根式的大小】【例4】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c=36，d=45大小，cd（填写>，<或者(2)猜想m=25+13【变式4-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：(2(3(4(5(1)观察以上规律，请写出第n个等式：___________（n为正整数）；(2)利用上面的规律，计算：12(3)请利用上面的规律，比较99−98与【变式4-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）5−2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5−【变式4-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：111(1)化简：19+8(2)利用上面的规律，比较13−12______14−13（填“>”或“【题型5二次根式的混合运算】【例5】（23-24八年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．1=1=3=53任务：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步开始出错，错误的原因是______；(3)第一步中，去括号的依据是______；(4)请写出正确的计算过程．【变式5-1】（23-24八年级·北京房山·期末）计算52−【变式5-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）计算3432−A．3+2 B．2+3 C．2【变式5-3】（23-24八年级·江西宜春·期末）（1）计算：2−32+（2）化简：2ab【题型6已知字母的取值对二次根式进行化简求值】【例6】（23-24八年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x6−x+【变式6-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）设x=2-12+1【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【变式6-3】（23-24八年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．【题型7已知条件式对二次根式进行化简求值】【例7】（23-24八年级·浙江杭州·期末）已知：y＝x−4+4−x＋5，化简并求【变式7-1】（23-24八年级·河南许昌·期末）已知x+1x【变式7-2】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）已知实数a、b满足aa−b【变式7-3】（23-24八年级·山东威海·期中）已知a+b=−8，ab=12，求bb【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（23-24八年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为128米，宽AB为50米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为13+1米，宽为13(1)求长方形绿地ABCD的周长；(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？【变式8-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈10m/s

(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？【变式8-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板(1)图①截出的正方形木板A的边长为_______dm，B的边长为_______dm；(2)求图①中阴影部分的面积；(3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm【变式8-3】（23-24八年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．【题型9二次根式中的新定义类问题】【例9】（23-24八年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算⊗如下：a⊗b如：2⊗5=25，根据上述定义，解决下列问题：(1)6⊗3=______，1−3(2)若x−1⊗x+1=2【变式9-1】（23-24八年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．(1)若a与2是关于4的因子二次根式，则a=；(2)若3−1与m−3是关于−2的因子二次根式，求【变式9-2】（23-24八年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式m，n满足m⋅n=p，且p是有理数．则称m与n是关于p的美好二次根式．(1)若m与2是关于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1−3与4+3m是关于n的美好二次根式，求m【变式9-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：我们将a+b与因为a+在得到a±2b的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如a±cb（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，c≠2）的式子的一般方法，通过思考，他发现当c=2k（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为(2)请你根据小聪的方法化简8−43接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如a±db（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将a±db看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即(3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想．【变式10-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：原题：已知x=2−3,y=2+3.求x∵x=2−3∴x+y=2−3+2+3=4(1)若x=3−5,y=2+5(2)若x=7+2【变式10-2】（23-24八年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【变式10-3】（23-24八年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵a−b2=a−2ab例如：当a>0时，求a+4解∵a>0∴a+4a≥2a⋅16a又∵∴a+4请利用上述结论解决以下问题：(1)当x>0时，当且仅当x=__________时，x+1(2)当m>0时，求m2(3)请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？专题2.6二次根式的加减【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同类二次根式】 1【题型2分母有理化】 3【题型3二次根式的加减】 5【题型4比较二次根式的大小】 7【题型5二次根式的混合运算】 10【题型6已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 13【题型7已知条件式对二次根式进行化简求值】 15【题型8二次根式混合运算的实际应用】 18【题型9二次根式中的新定义类问题】 21【题型10二次根式中的阅读理解类问题】 25知识点1：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.【题型1同类二次根式】【例1】（23-24八年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【答案】C【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．【详解】解：A、136与B、a与2a的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、12=23与D、3与9=3故选：D．【变式1-1】（23-24八年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，则a=．【答案】3【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出12=23，再根据同类二次根式的定义得出【详解】解：12=2∵最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，∴2a−3=3，∴a=3．故答案为：3．【变式1-2】（23-24八年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并．将各选项化为最简二次根式即可解答．【详解】解：12A、2与12B、8=22与C、118=2D、0.2=15故选：D．【变式1-3】（23-24八年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，求x【答案】±5【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出x2【详解】解：∵最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11∴3x−10=22x+y−5=x−3y+11解得：x=4y=3∴x2∴x2+y【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．知识点2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型2分母有理化】【例2】（23-24八年级·河北衡水·期末）已知a=45−3，b=5+3，则aA．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数【答案】A【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得a的值是解题的关键．【详解】解：a=4∴a+b=0，∴a与b互为相反数，故选：A．【变式2-1】（23-24八年级·上海·期末）计算：11−2【答案】−1【分析】本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解．【详解】解：1=−=−1−=−1．故答案为：−1．【变式2-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）2a−1的一个有理化因式是（A．2a−1 B．2a−1 C．2【答案】C【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．【详解】解：∵2a∴2a−1的一个有理化因式是故选：D．【变式2-3】（23-24八年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．11+2=验证：11+12(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：13+4(2)通过上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)计算：1【答案】(1)2−3，(2)n+1−(3)2023【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；（1）根据题中给的例子即可得出答案；（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；（3）根据（2）中规律计算化简即可；【详解】（1）1316故答案为：2−3，7（2）1n验证：1n故答案为：n+1−（3）1=2==2023．知识点3：二次根式的加减将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如【题型3二次根式的加减】【例3】（23-24八年级·山西吕梁·期末）计算(1)3(2)16【答案】(1)−8(2)1−【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1），根据3−27=−3，81=9对于（2），先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算．【详解】（1）原式=−3−9+4=−8；（2）原式==1−6【变式3-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）计算313−2【答案】−4【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键．先将二次根式化简，然后计算加减法即可．【详解】解：3=3×==−43故答案为：−43【变式3-2】（23-24八年级·吉林长春·开学考试）212−6【答案】14【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=43=143故答案为：143【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质的化简及其应用．【变式3-3】（23-24八年级·全国·单元测试）计算：a−ba【答案】2【分析】分母不变，分子作减法后，根据b=b⋅b【详解】原式=【点睛】本题考查分式的化简，利用b=b【题型4比较二次根式的大小】【例4】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c=36，d=45大小，cd（填写>，<或者(2)猜想m=25+13【答案】(1)<(2)m>n，证明见解析【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：（1）利用平方法比较大小即可；（2）利用平方法进行比较即可．【详解】（1）解：∵c=36，d=4∴c2=54，∵c2∴c<d；故答案为：<；（2）解：猜想m>n，理由如下：∵m=25+13∴m2=2∵65>∴m2∴m>n．【变式4-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：(2(3(4(5(1)观察以上规律，请写出第n个等式：___________（n为正整数）；(2)利用上面的规律，计算：12(3)请利用上面的规律，比较99−98与【答案】(1)n+1(2)2023(3)99【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第n个等式；（2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案；（3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案．【详解】（1）解：通过观察可知，n+1+故答案为：n+1+（2）解：原式==2==2023（3）解：∵99−98198∴99【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．【变式4-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）5−2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5−【答案】D【分析】根据作差法，分别比较5−2与2+2，2+2【详解】∵(5−2)-(2+2)=3-22=3-8=9-∴5−2∵(2+2)-(2+52)=2-52=22∴2+2∴5−2故选D.【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.【变式4-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：111(1)化简：19+8(2)利用上面的规律，比较13−12______14−13（填“>”或“【答案】(1)3−22，(2)>【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：（1）仿照题意求解即可；（2）根据分母有理化的方法得到113+12=13−12，1【详解】（1）解：1===3−221===91故答案为：3−22，91（2）解：113114∵14+∴114∴13−故答案为：>．【题型5二次根式的混合运算】【例5】（23-24八年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．1=1=3=53任务：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步开始出错，错误的原因是______；(3)第一步中，去括号的依据是______；(4)请写出正确的计算过程．【答案】(1)2、3(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；(3)乘法分配律(4)见解析【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；（2）根据去括号法则分析即可；（3）根据去括号的依据解答即可；（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：1824=212=22、3是最简二次根式，故答案为：2、3（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（4）解：1==3=3【变式5-1】（23-24八年级·北京房山·期末）计算52−【答案】22【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=5−1故答案为：22．【变式5-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）计算3432−A．3+2 B．2+3 C．2【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=3=32=2故选：A．【变式5-3】（23-24八年级·江西宜春·期末）（1）计算：2−32+（2）化简：2ab【答案】（1）−1；（2）4a【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可；（2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可．【详解】解：（1）2−==4−3−2=−1；（2）2=2=2=4a．【题型6已知字母的取值对二次根式进行化简求值】【例6】（23-24八年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x6−x+【答案】6x−5；【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可．【详解】解：x==6x===8=6原式=6【变式6-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）设x=2-12+1【答案】31【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把x=2−12+1，y=2【详解】解：∵x=2−12∴x=====32−1=31．【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【答案】(1)8(2)18【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：（1）先求出a+b=25，a−b=4，再根据a（2）先求出a+b=25，ab=1，再把所求式子变形为ab【详解】（1）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+5∴a==2=85（2）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+∴a=ab=ab=1×=1×=18．【变式6-3】（23-24八年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．【答案】(1)x+y=4，xy=1(2)11(3)1−7【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入x=2−3，y=2+3即可求出（2）将原式变形为x+y2（3）先估算出1<3<2，从而得出a=2−3【详解】（1）解：∵x=2−3∴x+y=2−3+2+3（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴（3）解：∵1<3<4，∴1<3∴−2<−3∴0<2−3∵x的小数部分是a，∴a=2−3∵3<2+3<4，y的整数部分是∴b=3，∴ax−by=2−【题型7已知条件式对二次根式进行化简求值】【例7】（23-24八年级·浙江杭州·期末）已知：y＝x−4+4−x＋5，化简并求【答案】2x【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=1x+y+1x−【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，∴x=4，∴y=5，x=1=x−=2x=24=-4．【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．【变式7-1】（23-24八年级·河南许昌·期末）已知x+1x【答案】2【分析】把已知等式两边平方求出x+1【详解】解：把x+1x=3两边平方得：则原式＝(x+1故答案为27【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-2】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）已知实数a、b满足aa−b【答案】19【分析】首先化简已知条件的等式，得出a=5【详解】解：由已知条件，等式可化为a−a−4a2−4解得a=5b，将其代入，即得原式=25b+10b+3b50b+5b+b故答案为1928【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.【变式7-3】（23-24八年级·山东威海·期中）已知a+b=−8，ab=12，求bb【答案】−20【分析】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【详解】解：∵a+b=−8，ab=12，∴a和b均为负数，ab=b=b========【点睛】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（23-24八年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为128米，宽AB为50米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为13+1米，宽为13(1)求长方形绿地ABCD的周长；(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？【答案】(1)262(2)3080元【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．（1）根据长方形的周长公式计算即可；（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．【详解】（1）解：2×(128∴长方形ABCD的周长为262（2）解：128×则56×55=3080(元)，∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元．【变式8-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈10m/s

(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？【答案】(1)23(2)3.5776秒【分析】（1）根据题意可先求得ℎ=60m，根据t=（2）先根据高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由t=2ℎ【详解】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，∴ℎ=20×3=60m∴t=2ℎ∴该物品落地的时间为23（2）该玩具最低的下落高度为ℎ=64∴t=2ℎ∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【变式8-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板(1)图①截出的正方形木板A的边长为_______dm，B的边长为_______dm；(2)求图①中阴影部分的面积；(3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm【答案】(1)2(2)6(3)不能截出，见解析【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，（1）根据正方形的面积，即可求出边长；（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；（3）求出两个面积为25dm【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为12dm2，正方形木板B的面积为∴正方形木板A的边长为12=23dm，正方形木板B故答案为：23，3（2）解：∵正方形木板A的边长为23dm，正方形木板B的边长为∴阴影部分宽为3dm∴阴影部分面积为23（3）解：不能截出；理由：25=5，2×5=10∴两个正方形木板放在一起的宽为5dm，长为10由（2）可得长方形木板的长为53dm，宽为∵33>5，但∴不能截出．【变式8-3】（23-24八年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．【答案】(1)103π(2)圆形团扇所用的包边长度更短【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得：圆形团扇的半径为300π=10（2）解：∵圆形团扇半径为103ππ∴圆形团扇的周长为203π厘米，正方形团扇的周长为∵403=203×∴203π∴圆形团扇所用的包边长度更短．【题型9二次根式中的新定义类问题】【例9】（23-24八年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算⊗如下：a⊗b如：2⊗5=25，根据上述定义，解决下列问题：(1)6⊗3=______，1−3(2)若x−1⊗x+1=2【答案】(1)2，−2(2)x=−【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；（2）分x−1>0和x−1<0，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：6⊗∵1−3∴1−3⊗1+故答案为：2，−2；（2）当x−1>0，即：x>1时，则：x−1x+1=2，解得：经检验，x=−3是原方程的解，∵x>1，∴x=−3（舍去）；当x−1<0，即：x<1时，则：x−1x+1∴x=−3或x=∴x=−3【变式9-1】（23-24八年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．(1)若a与2是关于4的因子二次根式，则a=；(2)若3−1与m−3是关于−2的因子二次根式，求【答案】(1)2(2)−1【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可；（2）根据因子二次根式的定义得到3−1【详解】（1）解：由题意，得：2a=4∴a=22故答案为：2（2）由题意，得：3−1∴m−3∴m=−1．【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键．【变式9-2】（23-24八年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式m，n满足m⋅n=p，且p是有理数．则称m与n是关于p的美好二次根式．(1)若m与2是关于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1−3与4+3m是关于n的美好二次根式，求m【答案】(1)m=32(2)n=−8，m=4．【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）利用二次根式的新定义运算解答即可求解（2）利用二次根式的新定义运算解答即可求解【详解】（1）解：由题意可得，m·2∴m=32（2）解：由题意可得，1−3整理得，3−33m−3m=4∴m=4，−3m=n−4∴m=4，∴n=−8．【变式9-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：我们将a+b与因为a+例如：15−x+3−x15−x−3−x(1)7−2的“对偶式”是________，(2)已知21−x−5−x=2①21−x−②利用“对偶式”的相关知识，求方程21−x−5−x=2【答案】(1)7+2(2)①8；②x=−4【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算．（1）根据“对偶式”的定义即可解答．（2）①根据平方差公式求得21−x−5−x21−x②由21−x−5−x=2，21−x+5−x【详解】（1）解：由题意可得，7−2的“对偶式”是7+2，故答案为：7+2（2）解：①21−x−5−x的“对偶式”是而21−x−∵21−x−∴21−x+故答案为：8②∵21−x−5−x=2∴21−x=5，5−x解得x=−4．【题型10二次根式中的阅读理解类问题】【例10】（23-24八年级·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算2+12=3+22，他就想3+22化简的结果应为2+1，即设a+2b=(m+n)2（其中则有a+2b∴m+n=a①，mn=b②，①+②得∴mn+m+n+1=a+b+1，因式分解得，m+1n+1∵a、b、m、n均为整数，∴m+1和n+1均为a+b+1的因数，由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简a±2b(1)请你根据小聪的方法探索化简8−215当设8−215=(m−n)2（m、∴②mn+m+n+1=______，m+1n+1∴③m=______，n=______，（经验证，