1.3集合的基本运算（第2课时补集及其应用）课件高一上学期数学人教A版

1.3集合的基本运算第2课时补集及其应用第一章集合与常用逻辑用语人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.(数学抽象)2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.(数学运算)3.能借助Venn图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题.(直观想象)基础落实·必备知识一遍过知识点一:全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的

元素,那么就称这个集合为全集,通常记作

.

微思考全集是否是固定的?所有

U提示

全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可.知识点二:补集

文字语言对于一个集合A,由全集U中

集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的

,记作

.

符号语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形语言

不属于

补集

∁UA名师点睛(1)∁UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,如果全集换成其他集合(如R),那么符号中“U”也必须换成相应的集合(如∁RA).(2)求∁UA的前提为集合A是全集U的子集.(3)只有定义了全集,才有补集.补集是相对全集而存在的.微思考一个确定集合的补集唯一吗?提示

不唯一,补集是一个相对概念,是相对于某一个全集的补集,因此对于一个确定的集合来说,如果全集不同,该集合的补集也不相同.知识点三:补集的性质

性质说明(∁UA)∪A=U任何集合与其补集的并集为全集(∁UA)∩A=⌀任何集合与其补集的交集为空集∁U(∁UA)=A任何集合补集的补集为集合本身∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)两个集合的并集的补集等于这两个集合的补集的交集∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)两个集合的交集的补集等于这两个集合的补集的并集微思考(1)用什么方式容易理解补集性质?

(2)从运算角度来看∁U(A∪B)与(∁UA)∩(∁UB),哪个更方便快捷?

提示

用Venn图来理解性质较直观.提示

∁U(A∪B)更方便,因为只需两次运算,一次并集,一次补集;而(∁UA)∩(∁UB)需要三次运算,两次补集,一次交集.重难探究·能力素养速提升问题1在数学研究中,明确在什么范围内讨论问题是非常重要的.如方程(x-2)(x2-3)=0在整数范围内只有1个解,在实数范围内有3个解.范围不同,结果也不同.据此,对于集合来讲,是否也要定义一个集合研究的范围?为什么?问题2观察下列三个集合:U={高一年级的同学},A={高一年级参加军训的同学},B={高一年级没有参加军训的同学}.这三个集合之间有何关系?我们研究集合A时,集合B如何用集合A中的元素表述呢?这种表示方法的思想何在?探究点一补集的基本运算问题3对于不同类型的集合、不同表述方法的集合,何种方法求补集比较合适?【例1】(1)已知集合U={矩形},B={正方形},则∁UB=

.

{邻边不相等的矩形}

解析

由集合U={矩形},B={矩形},则∁UB={邻边不相等的矩形}.(2)若集合A={x|-1≤x<1},当S分别取下列集合时,求∁SA.①S=R;②S={x|x≤2};③S={x|-4≤x≤1}.解

①把集合S和A表示在数轴上,如图所示,由图知∁SA={x|x<-1,或x≥1}.②把集合S和A表示在数轴上,如图所示,由图知∁SA={x|x<-1,或1≤x≤2}.③把集合S和A表示在数轴上,如图所示,由图知∁SA={x|-4≤x<-1,或x=1}.规律方法

求集合的补集的方法1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.2.Venn图法:借助Venn图可直观地表示全集及补集.3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.探究点二交集、并集与补集的混合运算问题4类比实数的混合运算,集合的“交、并、补”运算是否也是如此?【例2】集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩(∁UT)=(

)A.{1,5} B.{1} C.{1,4,5} D.{1,2,3,4,5}A解析

由集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4}可知∁UT={1,5},∴S∩(∁UT)={1,5},故选A.【例3】

已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是

.

{a|a≥2}解析

∵B={x|1<x<2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.即a的取值范围为{a|a≥2}.规律方法

1.求解与一个确定的集合的补集有关的交、并、补运算,首先应厘清运算顺序,然后再进行相应运算.2.由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解.具体操作时要注意端点值的取舍.探究点三补集性质的应用问题5补集作为特殊集合,与原集合之间的交、并、补运算有什么特性?【例4】

已知集合A={x|-3≤x<5},∁UA={x|x≥5},B={x|1<x<3},求∁UB.解由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1<x<3},所以∁UB={x|-3≤x≤1,或x≥3}.问题6涉及多个补集的“交、并”运算,方法上是否可以优化?【例5】

已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求(1)(∁UA)∩(∁UB);(2)∁U(A∪B).分析

由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.解(1)将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,则∁UA={x|-1≤x≤3};∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3};(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}.(2)A∪B={x|-5≤x<1},则∁U(A∪B)={x|1≤x≤3}.规律方法

1.补集与原集合之间的运算性质要理解.(∁UA)∪A=U,(∁UA)∩A=⌀,∁U(∁UA)=A.2.补集的运算性质要适度识记,可以优化运算.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).探究点四补集思想的综合应用【例6】

已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.若A∩B≠A,求a的取值范围.分析

A∩B≠A的情况比较复杂,“遇难则反”是数学中重要的思想方法,转化为其对立情况A∩B=A来求,最后再对结果求其补集就可以了.解若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀,∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即{a|a<-1,或a>0}.规律方法

有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.关注题目中的关键词或符号,比如“≠”“至少”“至多”等,引起联系,考虑补集思想的运用.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.

已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U(A∩B)=(

)A.{2,3} B.{1,2,3,4}C.{1,4} D.{2,3,4}C解析

已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},∴A∩B={2,3},因此,∁U(A∩B)={1,4}.故选C.12345678910112.设集合U={-1,0,1,2,4},集合∁UM={-1,1},则集合M=(

)A.{0,2} B.{0,4}C.{2,4} D.{0,2,4}D解析

∵∁UM={-1,1},U={-1,0,1,2,4},∴M={0,2,4}.12345678910113.设集合U={x∈N|x≤4},A={1,2},B={2,3},则(∁UA)∩(∁UB)=(

)A.{0,4} B.{4}C.{1,2,3} D.⌀A解析

解法1:∵U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},∴∁UA={0,3,4},∁UB={0,1,4}.∴(∁UA)∩(∁UB)={0,4}.解法2:∵A∪B={1,2,3},∴(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={0,4}.故选A.12345678910114.

已知全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={x∈R|x>3},则图中阴影部分所表示的集合是(

)A.{0,1,2} B.{1,2}C.{0,1,2,3,4} D.{0,1,2,3}D解析

由图可知,阴影部分所表示的集合是(∁UB)∩A,∵B={x∈R|x>3},∴∁UB={x∈R|x≤3},∴(∁UB)∩A={0,1,2,3}.故选D.12345678910115.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a,b},B={4,a-b}.若∁UA=B,则a,b的值分别为(

)A.3,2 B.4,3 C.3,2或5,3 D.5,2或5,3D解析

因为∁UA=B,所以A∪B=U,且A∩B=⌀.由题意得,a>b,且a≠1,a≠4,b≠1,b≠4.若a=3,b=2,则a-b=1,不满足∁UA=B,不符合题意;若a=5,b=2,则a-b=3,此时A={1,2,5},B={4,3},∁UA={3,4}=B,符合题意;若a=5,b=3,则a-b=2,此时A={1,3,5},B={2,4},∁UA={2,4}=B,符合题意.故选D.12345678910111-212345678910117.设全集U=R,集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是

.

{a|a≤1}解析

因为A={x|x>1},B={x|x>a},所以∁UA={x|x≤1},由(∁UA)∪B=R,可知a≤1.1234567891011B级关键能力提升练8.(多选题)设集合A={x|x2-6x-7<0},B={x|x≥a},则下列命题中真命题为(

)A.∃a∈R,A∩B=⌀B.若a=0,则A∪B=(-7,+∞)C.若∁RB=(-∞,2),则a∈AD.若a≤-1,则A⊆BACD解析

集合A={x|x2-6x-7<0}={x|-1<x<7}.对于A,当A∩B=⌀时,a≥7,即∃a∈R,A∩B=⌀,正确;对于B,当a=0时,B={x|x≥0},所以A∪B={x|-1<x<7}∪{x|x≥0}={x|x>-1}=(-1,+∞),错误;对于C,当∁RB=(-∞,2)时,B=[2,+∞),所以a=2,此时a∈A,正确;对于D,当a≤-1时,在数轴上把集合A,B表示出来,如图,由图知A⊆B,正确.故选ACD.123456789101112345678910119.已知全集U的两个非空真子集A,B满足(∁UA)∪B=B,则下列关系一定正确的是(

)A.A∩B=⌀ B.A∩B=B C.A∪B=A D.(∁UB)∪A=AD解析

由A,B是全集U的两个非空真子集,(∁UA)∪B=B,得∁UA⊆B,如图,当∁UA≠B时,A∩