第一章集合与常用逻辑用语（10类题型清单）（原卷版）

第一章集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.

1元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果是集合的元素，就说属于，记作.(2)不属于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.知识点02：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或2集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。知识点03：图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。对图的理解(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点04：子集1子集：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.知识点05：集合相等一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.

（1）的图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关知识点06：真子集的含义如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：知识点07：空集的含义我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：规定：空集是任何集合的子集，即;性质：①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则和和和相同点都表示无都是集合都是集合不同点表示集合；是实数不含任何元素含有一个元素不含任何元素含有一个元素，该元素为：关系或者知识点08：并集一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作（读作：并）.记作：.并集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言知识点09：交集一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.交集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言知识点10：全集与补集全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作，即.补集的性质：,,.知识点11：充分条件与必要条件一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：在逻辑推理中“”的几种说法(1)“如果,那么”为真命题.(2)是的充分条件.(3)是的必要条件.(4)的必要条件是.(5)的充分条件是.这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.知识点12：充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.知识点13：全称量词命题和存在量词命题的否定1全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.2存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.0303题型归纳题型一集合的表示方法例题1．（2324高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示．例题2．（2324高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为．例题3．（2324高一上·上海杨浦·期中）用列举法表示集合．巩固训练1．（2324高一上·上海杨浦·阶段练习）用列举法表示集合2．（2324高一上·广东广州·期中）用列举法表示集合＝．3．（2324高一·全国·课后作业）用另一种形式表示集合.（1）；（2）.题型二根据元素与集合的关系求参数例题1．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高一上·浙江宁波·期中）已知集合，若，则实数a的值为．例题3．（2324高一上·四川达州·期中）设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是.巩固训练1．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．2．（2324高一上·天津南开·期中）设集合，若，则．3．（2324高一上·北京·期中）不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是.题型三根据集合中元素的个数求参数例题1．（多选）（2324高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（

）A． B．1 C． D．0例题2．（2324高一·全国·课后作业）已知集合．（1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为；（2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是．例题3．（2324高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合(1)集合A中有且仅有一个元素;(2)集合A中有两个元素；巩固训练1．（2324高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是2．（2324高二下·江苏扬州·阶段练习）集合(1)若A是空集，求a的取值范围．(2)若A中至多一个元素，求a的取值范围．3．（2324高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．题型四集合的基本关系例题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（

）A． B． C． D．例题2．（2324高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（

）A．⫋ B．⫋C．⫋⫋ D．⫋⫋例题3．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为.巩固训练1．（2324高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·江苏南通·期中）下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．3．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（

）A．， B．集合可以为C．集合的个数为7 D．集合的个数为8题型五根据集合的包含关系求参数例题1．（多选）（2324高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（

）A． B． C．0 D．2例题2．（2324高一上·湖北武汉·阶段练习）设使式子有意义的实数的取值范围为集合，集合．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．例题3．（2324高一·浙江杭州·期末）已知集合，.（Ⅰ）若，求的取值范围.（Ⅱ）若，求的取值范围.巩固训练1．（2324高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值．2．（2324高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合．（1）若是的真子集，求的范围；（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．3．（2021高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值集合.题型六集合的基本运算例题1．（天津市河北区20232024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．例题2．（2324高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（

）．A．4 B．8 C．16 D．32例题3．（2024·四川绵阳·模拟预测）集合，，，则（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·江苏苏州·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．题型七根据集合的运算结果求参数例题1．（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合.(1)求；(2)若，求的取值范围.例题2．（2324高一上·浙江·期中）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.例题3．（2324高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，.(1)若，且，求的值及集合；(2)若，求的值及.巩固训练1．（2324高一上·天津和平·期末）设集合，(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.2．（2324高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．3．（2223高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，且，求实数a的取值范围.题型八充分条件和必要条件的判断例题1．（天津市河北区20232024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．（多选）（2324高一上·四川泸州·阶段练习）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．例题3．（2324高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”).巩固训练1．（2324高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（2324高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·广东江门·阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型九根据充分性和必要性求参数例题1．（2324高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为例题2．（2324高一上·福建龙岩·阶段练习）已知：关于x的方程有实数根，：.(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.例题3．（2324高二上·山西晋中·阶段练习）设全集，集合，集合，(1)若，求实数的取值范围.(2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围巩固训练1．（2324高一上·天津红桥·期中）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.2．（2324高一上·安徽六安·期中）已知集合，非空集合．(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．3．（2324高一上·浙江杭州·阶段练习）设全集，集合，集合.(1)若