8.6.2直线与平面垂直(2)课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解直线和平面所成角的概念和范围．2.能熟练地运用直线和平面垂直的定义和判定定理解决问题．活动方案活动一了解直线和平面所成的角填表：有关概念斜线

斜足

射影

直线与平面所成的角

直线与平面所成角的取值范围

【解析】

填表略【解析】

斜线与平面所成的角小于这条斜线与平面内过斜足的其他直线所成的角．思考►►►斜线与平面内过斜足的其他直线所成的角和斜线与这个平面所成的角的大小关系如何？活动二线面垂直的应用例1如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a⊂α，a⊥BC.求证：a⊥AB.【解析】

因为AC⊥α，a⊂α，所以AC⊥a.因为BC⊥a，AC∩BC＝C，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以a⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以a⊥AB.要证明两条直线垂直，通常是把其中的一条直线放在一个平面内，然后证明另一条直线垂直于这个平面，再用线面垂直的定义即可证得．求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在这个平面内的射影垂直．【解析】

已知：AC⊥平面α，直线a⊂α，AB∩平面α＝B，AB⊥a，求证：BC⊥a.证明：因为AC⊥平面α，a⊂α，所以AC⊥a.因为AB⊥a，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以a⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC，所以a⊥BC.已知A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD上的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD.【解析】

如图，连接OA，OC，OB.因为点O为点A在平面BCD上的射影，所以AO⊥平面BCD，所以AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD.因为AC⊥BD，AC∩AO＝A，AC⊂平面OAC，AO⊂平面OAC，所以BD⊥平面OAC.又CO⊂平面OAC，所以BD⊥CO.同理由AD⊥BC，可证BC⊥DO，所以点O为△BCD的垂心，所以CD⊥OB.又OB∩AO＝O，OB⊂平面AOB，AO⊂平面AOB，所以CD⊥平面AOB.因为AB⊂平面AOB，所以AB⊥CD.例2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)直线EF与平面A1B1C1D1所成的角的大小．【解析】(1)连接DB.易知D1D⊥平面ABCD，所以DB是D1B在平面ABCD上的射影，则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．(2)因为A1A⊥平面A1B1C1D1，所以∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，E是A1A的中点，所以A1E＝A1F，所以△EA1F为等腰直角三角形，所以∠EFA1＝45°，即直线EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.空间中的线面角，还是转化为平面中的角来解决，利用线面角的定义即可．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；(2)若PA＝AD＝AB，试求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．【解析】(1)△PAB，△PAD，△PBC，△PCD是直角三角形．理由如下：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD，PA⊥BC，所以△PAB，△PAD均为直角三角形．因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.因为PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形．同理可得△PCD为直角三角形．(2)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABCD所成的角．检测反馈245131.(2022漳州期末)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(

)【答案】C24513【解析】

①正确；②直线与平面所成角的取值范围是0°≤θ≤90°，故②错误；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错误；④正确．2.下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是(

)A.①④

B.①②④

C.③④

D.②③④【答案】A24531A.AC⊥BPB.B1D⊥平面EFPQC.BC1∥平面EFPQ24531【解析】

对于A，如图1，连接BD1.因为AB＝BC＝1，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为几何体为长方体，所以DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1.因为BD∩DD1＝D，BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.又因为BP⊂平面BDD1，所以AC⊥BP，故A正确；对于B，如图2，假设B1D⊥平面EFPQ，因为PQ⊂平面EFPQ，所以B1D⊥PQ，显然B1D⊥PQ不成立，故假设错误，故B错误；对于C，如图3，连接AD1.由条件可知FP∥AD1，AD1∥BC1，所以FP∥BC1.又因为FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，所以BC1∥平面EFPQ，故C正确；对于D，如图4，连接CB1，AB1.因为DA1∥CB1，所以A1D和AC所成24531【答案】ACD24531【解析】

如图，作AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O.因为AB＝10，AC＝3，BD＝2，所以AO＝6，BO＝4，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角是30°.4.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是3cm,2cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________.【答案】30°245315.(2022天津东丽区期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，CD的中点．(1)求证：EF∥平面PAC；(2)求证：EF⊥BD.(3)已知正方形ABCD的边长为2，PA＝1，求：①异面直线AD，PC所成角的余弦值；②直线CP与平面PAD所成角的正弦值．24531【解析】(1)因为E，F分别是棱PD，CD的中点，所以EF∥PC.又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.(2)因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.又由(1)得EF∥PC，所以EF⊥BD.24531(3)①因为底面ABCD为正方形，所以AD∥BC，BC⊥AB，所以∠PCB为异面直线AD，PC所成的角．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.因为正方形ABC