2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第01讲 二次根式 （解析版）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第01讲二次根式1．二次根式的概念一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．理解二次根式的概念，要把握以下四点：（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．2．判断二次根式有意义的条件二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数．如果有分母，则还得满足分母不为零.【规律方法】二次根式有无意义的条件（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3．二次根式的性质与化简二次根式的基本性质：（1）；（双重非负性）（2）；（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．（3）．【规律方法】（1）若，则a=0，b=0；（2）若，则a=0，b=0；（3）若，则a=0，b=0；（4）若，则a=0，b=0，c=0．4．代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式．【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）．（2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式．1．判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如4=2，2是4的计算结果，42．求使代数式有意义的字母的取值范围的类型：（1）二次根式型：被开方数大于或等于0；（2）分式型：分母不等于0；（3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分．3．运用二次根式的性质化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．考点剖析【考点1】二次根式的定义例1．下列式子，一定是二次根式的共有（

），1，，，，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】D【解析】，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．故选D．【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、没有意义，故A不符合题意；B、不是二次根式，故B不符合题意；C、是二次根式，故C符合题意；D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；故选C．【考点2】二次根式的有意义的条件例2．如果有意义，那么的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【答案】B【解析】如果有意义，那么且，解得：，故选B．【变式2】如果二次根式有意义，则a的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，解得：；故答案：．【考点3】利用二次根式的性质进行化简例3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．【答案】【解析】由题意知：，即，∴，，．【变式3】已知：，化简：．【答案】【解析】∵，∴，故答案为：．【考点4】利用二次根式的性质进行求值例4．已知，那么．【答案】【解析】∵有意义，∴，即，∴是负数，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式4】（2023上·四川达州·八年级期中）已知，求的值．【答案】2【解析】∵，，∴∴，∵，∴，，∴．过关检测一、单选题1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵式子在实数范围内有意义，∴的取值范围是．故选B．2．化简结果为的式子为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】A.，故该选项不符合题意；B.，故该选项符合题意；C.，故该选项不符合题意；D.无意义，故该选项不符合题意；故选B．3．若x，y都是实数，且，则的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由题可知，解得，∴，∴，故选C．4．若，是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（

）A． B． C．20 D．【答案】B【解析】∵，是两个连续自然数，且满足，∴，∴，，∴，，∴，∵20的算术平方根是，∴的算术平方根为，故选B．5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由数轴可知：，，，故选A．二、填空题6．若为二次根式，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意得：为二次根式，，解得：，故答案为：．7．若，那么的结果是【答案】【解析】∵，∴，∴；故答案为：．8．已知为实数，且，则．【答案】2【解析】根据题意得，∴，∴，∴．故答案为：2．9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是．【答案】【解析】由数轴可得：，，原式．故答案为：．10．问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：．【答案】【解析】，．故答案为：三、解答题11．求下列二次根式中字母a的取值范围．(1)．(2)．(3)．(4)．【解析】（1）∵有意义，∴，解得：；（2）∵有意义，∴，解得：；（3）∵有意义，∴．∵，∴，必成立，∴a可取任何实数；（4）∵有意义，∴，且解得：．12．若实数x，y满足，求的值．【解析】由题意，得，，解得，当时，．当，时，．13．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数的最小值．【解析】（