重难点09 线线角、线面角、二面角与距离七大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点09线线角、线面角、二面角与距离七大题型汇

期末题型解读

题型4动点相关问题

题型1异面直线所成的角

题型5二面角与其他相关问题

线线角、线面角、二面角

题型直线与平面所成的角

2与距离七大题型汇总

'题型6综合性问题

题型3二面角

题型7距离问题

满分技巧

技巧一.异面直线所求的角

1.求异面直线所成的角的步骤

一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角

二证，即证明作出的角是异面直线所成的角

三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，

则它的补角才是要求的角

2.向量法

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为0,贝hosB=|

技巧二.直线与平面所成的角

线面角的求法：斜线与平面所成角的范围为（0,6具体操作方法：

①在直线上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面。引（通常都是找+证明）垂线A0;②连接斜足与

垂足M0;

③则斜线与射影M0所成的角AAMO,就是直线与平面所成角.

技巧三.二面角的求法

1.定义法

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线

所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.

2.三垂线法

是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于

二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂

直.

3.垂面法

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键

在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.

题型1异面直线所成的角

【例题1]（2022春•四川宜宾•高一四川省高县中学校校考期末）如图所示，在长方阵□□□□-

中，口口、=口口=2,口口=，.点,F,G分别是口&,口口,的中点，则异面直

线&g口小斤成的角是

【答案】900

【分析】连接。&,a。，则得n&口皈其补角即为ago次斤成的角，再利用勾股定理即

可得到线线角.

【详解】连接。0,。1口，3,••,点E,F,G分别是O4,口□,0a的中点,

•••口口川□□,口、□「oo,••・四边形aooa为平行四边形，

洪\口□川□[D,故N&£70或其补角即为&。与£7。所成的角,

易得aD=，口&+口d=Vl2+12=氏口1口=行+£7上=V22+12=V5,

□□=J口仃+□仃+口存=V3,所以&炉+口仃=口面,所以N4□□=90°.

故答案为：90°.

【变式1-1]（2020春・吉林长春•高一长春市第二实验中学校考期末）如图，在正方梅□□□□-

aaa4中，E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等

于.

【答案】607g

【分析】根据中点，得到£75口1D,Z7OII,然后根据平行得到N40□1为异面直线口。与口/斤

成角或其补角，最后求角即可.

【详解】AFB

如图，连接0。，□□「口、口「

因为口.口，口,心锁为口口.□口,,口&的中点，所以。Dll□、D,□□、，/口、□□、

为异面直线。口与OO所成角或其补角，

因为□□□□-□[□]口、&为正方体，所以三角形&。a为正三角形，所以N4□□1=60°.

故答案为：60°.

【变式1-2】（2022春・福建莆田•高一莆田一中校考期末）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下

面命题不正确的是（）

N

A.0£7与Z27Z7是异面直线；B.□□与UN行

C.□□与口丽60。角;D.□□与口口^行

【答案】D

【分析】根据正方体的展开图得到直观图，再根据正方体的性质——判断即可.

【详解】解：如图，oa与02是异面直线，故A正确；

因为,□□=□□,所以四边形OOO孕平行四边形，所以故B正确.

因为所以£70与£70所成角即为。。与OO所成角，在等边三角形。£7口中，4□口□=60°

所以£70与。。所成角为60。，故C正确.

OO1平面OOOO,£7£7u平面ZZ7Z7OO,所以□□上口□,又OO1口口=D,

口口，口口匚礴口口口,钾□□□,£7Z7u平面。。ZZ7,所以。口1口口,故D错误.

故选：D.

【变式1-312022春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期末如图，四面体ABCD中，口口=2<2,

AC=2,M、N分别为BC、AD的中点，MN=1,则异面直线AC与BD所成的角是（）

【答案】D

【分析】取口。的中点口，连接oas,则。on□口,口□,解三角形。〃。即可得解.

【详解】解：取o二的中点。，蘸口口,口口,

因为M、N分别为BC、AD的中点，

所以ODII□恒□□=；口口=短,口•□□=；□□=1,

则皈其补角即为异面直线AC与BD所成的角，

因为口疗+口存=2=O/J2,

丽以上□□口=/

所以々□口□=乙□□□=乡,

即异面直线AC与BD所成的角是景

故选：D.

【变式1-4X2022春・辽宁丹东•高一统考期末施正方悻□□□□-口1口】口口】中点牛线段&□上,

则（）

A.与口。所成角等于60°B.平面□□□、

C.平面&OZZ71平面a口□D.三棱锥。-口1£70体积为定值

【答案】C

【分析】由线面垂直的判定可证得。平面。&0,可知£7£7,知人错误;假设00//平面。。。1,

由面面平行的判定与性质可知平面OD4,由线面平行性质得口。/0口,可知当冰与餐合时，

&Q/OK成立，知B错误；由线面垂直的判定可证得&Z71平面,由面面垂直的判定可知C

正确；根据010。平面£70&=口,可知点。到平面。口&的距离不是定值，知D错误.

【详解】对于A,连接。O,

•••四边形。正方形，.•・□□\□□；

，平面£7£7Z7£7,ZZZOu平面£7£7£7£7,二\;

又ZZ7ZZZ|n□□—□,□□□u平面£7ZZZ(□,□□_L平'[§]□,

又口□u平面0qn,口□1口口,A错误；

对于B,连接口4,&。，

假设。。/平面,

u平面口口口1,□□、《淬面□□□[,口口小平面□□□、,

又£7ZZ7n□□[=[J,□□,□□[u平面口口口1,:^^口口口川平面□□□[,

'•ZZ7i£7u平面ZZ7ZZ7Z17i,□、ZZZ7平面/Z7ZZ7ZZZ),

又口、口u平面□□□【□]，平面□□□[□[n平面OZ7Z7i=口口，:.□、口“□□,

当O与冰重合时，显然&Q/OK成立，B错误；

对于C,'■,□JL平面£7ZZ7/Z7/Z7,□□u平■囿□□口□,••□J_□□;

又□□1口口,□□、n□□=U,□口u平面Z7,□□,.■■□□1平面0口□,

□、□u平■面□、□口,□、□-L□□；

同理可得:L口口,

---□n□□—□,□□□u平面ZZ7/Z7ZZ7i,□、□J■平•百□□□[,

口、口u平面口、口口，二平面口、口口1平面口、口□,C正确；

对于D口口「平面口□□I=o,.•・当a为线段aat的动点时,其到平面。。口的距离不是定值

三棱锥。-□、体积不是定值.

故选：c.

【变式1-5]（2022春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）在四面体ABCD*□□=□□,且异面直

线AB与CD所成的角为70°,M,N分别是边BC,AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为（）

A.35°B.55°C.35°或55°D,20°或70°

【答案】C

【分析】取S中点O,得出异面直线oa04所成的角，然后根据异面直线所成角的定义求解MN和

AB所成的角即可.

【详解】取口口中点O,趣妾口口，口口,

.M、N分别为边BC和AD的中点，

:□口,且□□=\□口,口□=口口,

.・异面直线AB与CD所成的角是二£7。皈其补角，

由□□=口□，得,

异面直线MN和AB所成的角是NOO强其补角.

异面直线AB与CD所成的角为70。，贝!UZ7O£7=70。或110。，

若乙□□口=70°,则S=55°,异面直线MN和AB所成的角是55°,

若乙口□口=110°,则/口口口=35°,异面直线MN和AB所成的角是35°,

故选：C.

A

【变式1-6]（2022春•黑龙江绥化•高一校考期末）半正多面体（semiregularsolid）亦称"阿基米德多面

体"，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，

是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）,若它的所有棱长都为遮，则正

确的序号是.

①平面□□口;

②□口与□□所成角为45°；

③该二十四等边体的体积为吊；

④该二十四等边体外接球的表面积为81T.

【答案】③④

【分析】将该二十四等边体补形为正方体，利用。。与。〃是异面直线判定选项①错误，利用00/0次口

形状判定选项②错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项③正确，利用该二

十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式判定选项④正确.

【详解】解：将该二十四等边体补形为正方体（如图所示）,

因为该二十四等边体的所有棱长都为鱼,所以正方体的棱长为2,

对于①：根据正方体的性质可得。。•1"平面。口口匚.,所以□□工口口，

同理可证00^00=0,口口,加口□□,

所以。O_L平面£700,而OD与口。是异面直线，

所以£70,平面。£7冰成立，即选项①错误；

对于②：因为

所以/口。。是。。与口4斤成角或其补角，

在A/7DB,n/J=n/J=y[2,Z7£^=12+22+12=6

因讯□品口办口己,所以N/7/Z70H45。，

即选项②错误；

对于③：因为该二十四等边体的所有棱长都为近,

所以正方体的棱长为2,

所以该二十四等边体的体积为623-G*gx13)x8=个，

即选项③正确；

对于④：设该二十四等边体外接球的半径为。，

该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心,

正方体六个表面的面积都为1,

所以炉=尸+（学）=2,

所以其表面积为640炉=8。，即选项④正确.

故答案为：③④.

题型2直线与平面所成的角

【例题212022春•江苏南通・高一金沙中学校考期末直三棱柱O口口-口]□]口]中，□口=□□=,

则O&与平面。口&乜所成的角为（）

A海B<C,-D.-

【答案】A

【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面,由线面角

的定义找到与平面&所成角的平面角，进而求其大小.

【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，％上底面对角线交点，

所以OOJ.口□,而口口1遹□□□,□□竭口口口,故-L口□,

又U面□□□[□],取□□1^口口口、口1,

则O4与平面所成角为NO&O,若口□=□□=□□]=2,

所以£7。=V2,=2V2,则sinzOq〃=；,故/□□、口=工

ZO

故选：A

【变式2-1]（2022春•上海浦东新•高一上海师大附中校考期末）已知平面口£7,直线口，记口与口,。所

成的角分别为4,4，若则（）

A.sir）a<cos&B.sin/Tj>cosZZ^C.sinQ>1-sinZZ^D.sin/Tj<1-sinZZ72

【答案】A

【分析】讨论直线。与平面口,诩位置，根据线面角的定义确定&,口,再分别求sin&,COS£72,sin&

的表达式，由此确定结论.

【详解】如图，不妨设口,口（>□=口,设口门口=□1过点Of乍OZ71U,垂足为£7,

因为。1O,£70c口,口口〜□、□□□=□,所以£70,£7,所以N0OU%直线若平面次斤成

的角的平面角，即ND。。=&，过点O作Z7,垂足为O,作。。且口£7=.趣妾口□,

同理可得。O1□，乙□□口=口,因为口口旧口,□□=口口,所以四边形OOZ7。为平行四边形，

所以£70=口□,

因为Z7DJ.口，口口匚口所以□□LOO,所以△为直角三角形,也。为直角所以sin0=携

因为。OJ.□，口CJu口，所以口口人口口，所以△£70%直角三角形，为直角，所以cos/=

.r~!口口

而,sinZ^=—）

因为□□£口□,所以sina<cos£72,当且仅当口强合时取等号，B错误，

sin£7l+sin^=—+—=^^=^^>1,D错庆，

若取直线，则&=0,Q=乙□□□,贝！|sin&=0,0<sin/^<1,C错误，

故选：A.

【变式2-2］（多选X2022春•安徽合肥•高一校考期末）如图，四棱锥O-0005勺底面为正方形，。。1

底面ABCD,则下列结论中正确的是（）

A.□□L□□

B.。。/平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】ABC

【分析】证明口。1面OOO即可判断A;由线面平行的判定定理可判断B;由线面角的定义求出两个线面

角即可判断C;根据异面直线所成的角可判断D,进而可得正确选项

【详解】解：对于A:因为底面口□遹□□口口,所以,

因为底面。是正方形，所以£7O_L口□,因为OOn口口=口,□□,口近平面□□□,

所以。O1平面口。£7,因为UUu平面□□□,所以OZ71口□,故A正确;

对于B:因为底面。正方形，即以口口11口口,因为平面□□□,口口匚平面口口口,

由线面平行的判定定理可得。。/平面〃口。，故B正确；

对于C:设O£7n□口=口,连接£70,因为平面OOO,口口匚强口□□,

所以NOOZLW为0g平面OO砺成的角，NZ7O0B[]为O磔平面£70次斤成的角

因为□□=,□□=□□,且□□工,所以tan乙口□□=tanzOUO,

可得乙口□口=乙□□□,所以OO与平面£7£7/斤成的角等于Z7O与平面Z7Z7匚所成的角，故C正确；

对于D:因为,所以N£7/7。即为口A与，。所成的角,4口口加为□□与口口^成的住,

因为口口上口口,□□工口口,口口门口口=口，口口，［JUu钾□□□,所以口口上平面口口□,

因为UUu平面□□□,所以口口工□□,所以乙□□□=90°,因为上□□口=90°,

即以3口□口手90°,所以一口口□丰乙□□□,

所以口。与。。所成的角不等于ZZ7O与OZ5所成的角，故D不正确；

故选：ABC

【变式2-3］（2022春河南许昌高一统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,

△PCD为等边三角形，平面PAC_L平面PCD,PA_LCD,CD=2,AD=3.

⑴求证：PA，平面PCD;

（2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】Q）证明见解析

【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DN_LPC,利用面面垂直的性质定理可得DN_L平面PAC,

从而得到DN±PA,利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）连接AN,由线面角的定义可得，zDAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关

系求解即可.

【详解】（1）证明：取棱PC的中点N,连接DN,

由题意可知，DNJ_PC,又因为平面PAC_L平面PCD,平面PACn平面PCD=PC,

所以DN_L平面PAC,又PAu平面PAC,

故DNJ_PA,又PA±CD,CDCIDN=D,CD,DNu平面PCD,

则PA_L平面PCD;

（2）连接AN,由（1）可知，DN,平面PAC,

则NDAN为直线AD与平面PAC所成的角，

因为△口。％等边三角形，CD=2且N为PC的中点，

所以DN=V5,又DN_LAN,

在R3SZ冲，sinzDAN=fg=y,

故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为日.

【变式2-4】（2022春・福建福州•高一校联考期末）如图，在以以口、口、口、口、班顶点的五面体中，

面口口口口^）正方形,口口=2□口，4□□口=90°,且二面角口一口□一行二面角口一口□-215

(1)证明：OZ71平面EFDC;

(2)求直线与平面所成角的正切值.

【答案】Q)证明见解析

【分析】(1)由题意可得口□,□□,□□.由线面垂直的判定定理可证OO1平面。Z7OD

(2)由题易得直线。。与平面。OOO所成的角，再分别求出。aZ7。，由tan4口□口=卷

代入即可求出答案.

(1)

证明：由正方形00/7。可得Z701口口,0为口口“口口,所以。Z7J.口口,

由正方形/口。。=90°可得OO1.皿口□“□□,所以口□,

□□c□口=口,所以，OZZ71平面ZZ7Z7OO.

⑵

连接口。，£7/71□□,□□工□口口口门口□=a

由。平面口门口口可得，直线。。在平面口上的射影为口£7

所以直线与平面OZ7Z7O所成的角，

由正方形。口。E■得口。〃口。，•••□□《平面□□□□,

则□□“平面UULJU,

又•••Z7/7u平面OZ7Z7Z27,平面Z7/7£7Z7n平面□□□□=□□,

/□□,即UU//□口,

由（1）可得口口人口口，则是二面角口一。&勺平面角

同理是二面角Z7—口□-中］平面角，

即平面四边形。等腰梯形，目4□□口=乙□□□=60°,

不妨设口口=1,则ZZ7/Z7=2,□口=2,口口=1,

在4口口袋,口厅=口己+口己-2□口•□□-cosz□□口=3,即OD=V3,

在R3OZ7B八aM□□口=素=%=等,

UUV33

所以，直线。口与平面ooo/j所成角的正切值为学.

【变式2-5J2022春•辽宁•高一校联考期末如图1在直角梯形ABCD中，□口1\口口幺口=90。，口口=3,

£70=2,E在AB上，且△ZZ7O班边长为2的等边三角形.将4口口醍DE折起，使得点A到点P的

位置，平面平面BCDE,如图2.

⑴若F为PC的中点，证明£701平面PDE;

⑵证明：口口=□□:

（3）求直线BP与平面DCBE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面PDE;

(2)利用三角形全等去证明£70=□□:

(3)先作出直线BP与平面DCBE所成角的平面角，求得该平面角的大小，进而求得直线BP与平面DCBE

所成角的大小.

【详解】(1)取PD中点G,连接GE,GF

X-.F是PC中点，，在△口口田,口口\\□□,口口=；□口

在直角梯形ABCD中，□□=1,口口=2.

所以。£711口□,口口=g□□,：.□□"□诅口□=口□.

•・四边形GFBE为平行四边形,：.□□□□□

又,「□/Ju面PDE,面PDE,.,.£7£711平面PDE.

(2)取DE中点M,连接PM,MB,MC,则£701口□,

1,面面BEDC,面口□□胸口□口口=口□,ZZ7£7u平面PDE,

.,.OO1面BEDC,又。Ou面BEDC,£7Ou面BEDC,

:工□□,£7/71.

在^□□仔,4□□口=60°,则4口口口=60°,

XA,□口=2,口□=1,则。£7=J4+1-2x2x1xi=V3,

同理在△□□济,乙□□□=60°,则/£7口口=120°,

又X□□田,口口=1,□□=1,则口口=Ji+1-2x1x1x（_y=V3,

△□□□三4□□□,：.□□=.

（3）由（2）知£7£71面BEDC,"口口为PB与平面DCBE所成角的平面角，

在RtA/JOB,DDL口口，口□=

4

则PB与平面DCBE所成角的大小为己.

4

【变式2-6]（2022春四川成都•高一统考期末）如图，在三棱锥D-ABC中，MBC是边长为2的正三角

形，MDC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点.

⑴证明：平面BEDJ_平面ACD;

⑵若BD=2,点F在BD上，当MFC的面积最小时,求FA与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】Q）证明见解析

⑵噂

【分析】（1）通过。口困口口工£7。证明。01平面OOOBIJ可；

（2）过小得出口□1^口口口.贝（Jsin£7=券即可求出.

（1）

因为△是正三角形，E为AC的中点，所以£7Z7_L□□,

又因为△□口口是以4c为底边的等腰直角三角形，所以口口人口□‘

因为£7Z27n□□=口,所以平面£7£7£7,

因为UlJu平面口口口,所以平面BEDJ_平面ACD;

（2）

因为口□L婶□□口,口□u平面SO，所以\口□,

所以当口。最小时，AAFC的面积最小，此时口口，口口,

由题可得1,口口=V3,因为□□=2,满足O仆+口^=口存,

所以0O1口口,且/□□□=30°,

又□□1,口口门口□=口,所以口口人平面口口口,

过小□□“□□,所以口□，平面。叱7,

因为口口=□□.cos30°=|,所以OO=sin30°=?,

因为口□=□□.sin30°=y,所以在直角△□□田,□□=+=y,

设FA与平面ABC所成角为£7,贝人由。=携=挈.

题型3二面角

【例题3】（多选）（2022春•福建福州•高一福建省福州第一中学校考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑

奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.已知胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平

方，则（）

A.侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为竽

B.侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为亨

C.侧面与底面所成二面角的余弦值为第

D.侧面与底面所成二面角的余弦值为黑

【答案】AD

【分析】设底面边长为D，侧棱D,结合题意得到:•□,口-/=仃-”,进而得

到g=警，所以端=竽乂则面与底面所成二面角的平面角即，所以COSNOO〃=票=亨.

!__]O1_11—14LJLJN

【详解】解：如图，在正四棱锥O-□口口口中，。为底面。。£7。的中心，取口中）中点，设底面边

长为口。=口，侧棱口，

斜高£70=行+0行=口-/+/=炉,

72474

因为侧面三角形的面积等于高的平方，

所以g-口口=皿,即:■口.J4-尹=d-赳,

整理得4瑙）4一口瞪+”0，解得刍=等,

5

1

1

1西

+

>

>一

n

=

-

-

-

-

8

4

4

4

8

为

的比值

的边长

正方形

与底面

上的高

形底边

面三角

于是侧

5

1+V

V5

/6+2

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