专升本数学复习难

一．广东05年考题在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理确定的=().6.曲线的水平渐近线方程为.在处可导,则.,则.,求一阶导数.是由方程所确定的隐函数,求.,求的单调区间和极值;求在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.二．有关微分中值定理罗尔定理在连续，在可导，且。则存在，使拉格朗日微分中值定理在连续，在可导。则存在，使柯西定理与在连续，在可导，且在内任意点处。则存在，使三．复习题处是否存在极限？是否连续？是否可导？2．求下列导数、微分。（1）已知，求、、、、、。（2）已知，求。（3），求。3．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。（2）设是可导的偶函数，且存在，求证。4已知，且，证明。5．求椭圆在点的切线方程。6．求曲线在点处的切线与法线方程。7．二船同时从一码头出发，甲船以30公里/时的速度向北行驶，乙船以40公里/时的速度向东行驶，求二船间距离变化的速度。8．长方形的二边长分别用与表示，若边以0。01米/秒的速度减少，边以0。01米/秒的速度增加，求在20米、15米时长方形面积与对角线长的变化速度。9．验证函数在给定的区间满足罗尔定理的条件，且求出定理中的值。10．验证函数在给定的区间满足拉格朗日定理的条件，且求出定理中的值。11．用拉格朗日定理证明：若，且当时，则当时，。12．证明不等式。13．证明：若函数在上连续，在内可导，且（为常数），则在处的右导数存在且等于。14．讨论函数的单调性与极值。15．求曲线的渐近线。16．求底面半径为R，高为H的圆锥的内接圆柱与内接长方体的最大体积。17．某产品生产单位的总成本函数，需求函数。求平均成本的最小值；（2）利润的最大值。18．某商品的需求函数为。（1）求价格时的边际需求，并说明其经济意义；（2）求价格时的需求弹性，并说明其经济意义；（3）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？（4）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？（5）为多少时，总收益最大？例题在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理确定的=().解因为在[0，3]连续，在（0，3）可导，且所以函数在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,，使。事实上，当时，。故选。6.曲线的水平渐近线方程为.解因为所以曲线的水平渐近线方程为注意：对于曲线若，则有水平渐近线；若，则有铅垂渐近线；若，且，则有斜渐近线在处可导,则.解因为令，则,则.解,求一阶导数.解两边取对数两边求导故是由方程所确定的隐函数,求.解1两边对求导故解2设则偏导数,求,.解,的单调区间和极值;在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.解（1）定义域，驻点1-0+0-极小值极大值在区间或单调减少；在区间单调增加。有极小值，极大值。又，故在闭区间[0,2]上的最大值为，最小值为。处是否存在极限？是否连续？是否可导？解不存在，在不连续，不可导；不存在，故在处存在极限且连续但不可导；故在处可导，所以在处存在极限且连续。3．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。（2）设是可导的偶函数，且存在，求证。证明（1）设为可导的偶函数，则，且所以可导的偶函数的导数为奇函数。设为可导的奇函数，则，且所以可导的奇函数的导数为偶函数。（2）是可导的偶函数，则为奇函数，即4．已知，且，证明。证明11．用拉格朗日定理证明：若，且当时，则当时，。解由于，故在右连续，当时，在连续，在可导，由拉格朗日定理，即由于，，。12．证明不等式。证明由于在（不妨设）连续，在可导，由拉格朗日定理，式中在与之间，13．证明：若函数在上连续，在内可导，且（为常数），则在处的右导数存在且等于。证明由右导数的定义和拉格朗日定理，16．求底面半径为R，高为H的圆锥的内接圆柱与内接长方体的最大体积。解如图已知设即令得惟一驻点且故时，圆锥的内接圆柱有最大体积设，则（1）又构造拉格朗日函数（2）（3）（4）由（3）（4）得代入（1）得代入（2）得内接长方体的最大体积18．某商品的需求函数为。（1）求价格时的边际需求，并说明其经济意义；（2）求价格时的需求弹性，并说明其经济意义；（3）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？（4）当时，价格上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？（5）为多少时，总收益最大？解（1）由，即价格时的边际需求为，经济意义：在价格时，价格变化1个单位时，需求将反方向变化8个单位；（2）由即价格时的需求弹性为，经济意义：在价格时，价格变化1%时，需求将反方向变