整式的乘除与因式分解教材解读

“整式的乘除与因式分解”教材解读合阳县甘井镇中学雷艳敏2012年12月第十五章整式的乘除与因式分解教材解读尊敬的各位领导、各位老师：大家好！今天我说教材的内容是：人教版八年级数学上册第十五章《整式的乘除与因式分解》，八上数学一共五章：第十一章《全等三角形》，第十二章《轴对称》，第十三章《实数》，第十四章《一次函数》，第十五章《整式的乘除与因式分解》。另外，初中数学分为四大领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用，其中数与代数包含实数、代数式、方程与不等式、函数，《整式的乘除与因式分解》属于数与代数中的代数式部分。《整式的乘除与因式分解》我将从以下三个方面来说明：一、说课标；二、说教材；三、说建议。一、说课标：：⑴获得重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；⑵初步学会运用数学的思维方式去解决问题；⑶体会数学与自然及人类社会联系，了解数学的价值；⑷在情感态度和一般能力方面得到发展。基本的理念是：人人学有价值的数学；人人能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。2.课标对本章的总体要求：（1）.能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。（2）.能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算。（3）.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。3.课标对本章的具体要求：⑴知识与技能：经历探索幂的运算性质、整式乘法公式的过程；了解公式的几何意义；掌握幂的运算性质、整式乘法公式，能灵活利用公式进行计算；理解因式分解的意义，能熟练进行因式分解；⑵数学思考：建立数感、培养抽象思维及转化的思想方法，发展合情推理能力，有条理的清晰地阐述自己的观点；⑶解决问题：尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性；⑷情感与态度：认识通过观察、计算、归纳、类比、推断可以获得数学猜想；体验数学活动充满着探索性和创造性；感受证明过程的严谨性以及公式的简洁美。二．说教材〈一〉编写体系、意图和编写特点：A.编写体系1.章前图和引言：供学生预习用也作为教师导入新课的材料；2.问题、观察、思考、探究等栏目：为学生提供思维发展，合作交流的空间；3.选学栏目：观察与猜想，阅读与思考等选学栏目为加深对相关内容的认识，扩大学生的知识面；4.小贴士和云朵：小贴士介绍正文内容相关的背景知识。云朵有助于理解正文的问题；5.数学活动：具有综合性、实践性、开放性；6.小结：本章的知识结构图和本章内容回顾与思考；7.习题：习题分为练习、习题和复习题，供学生课堂及复习使用。B.编写意图：1.增加了丰富的问题情境：通过让学生解决实际生活中的问题，加强对整式乘法和因式分解的初步感受，从中“发现”整式乘法的性质，归纳整式乘法公式及因式分解的方法；2.加大了探索交流的空间：教材设置了问题、思考、探究、等栏目引导学生自主探索，激发学生进行思考，促进合作交流；3.分层次的练习和习题：习题分为：复习巩固、综合运用、拓广探索，满足不同层次学生的需要；4.丰富多彩的数学活动：丰富多彩的数学活动，使学生增加了合作、交流的机会。加大了探索交流的空间。C.编写特点：（一）强调重要数学思想方法的渗透1、教材渗透了“类比”的思想方法。2、整式乘法法则的教学和整式除法的教学，教科书注意渗透“转化”的思想方法、方程思想和逆向思维的思想方法3、乘法公式的教学则渗透了整体思想。例如：完全平方公式的常用变形公式。4、本章教材注意了代数与几何之间的联系，体现了“数形结合”的重要思想。（二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程教材从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。同时，从多项式乘法到乘法公式体现了从一般到特殊的认识过程。（三）根据数学知识的逻辑关系循序渐进地安排教学内容本章所涉及的教学内容之间不仅具有密切的联系，且具有很强的逻辑关系。因此，在教学中应该注意本章知识之间的这种逻辑关系，使学生能从整体上把握本章知识。1.现行人教版与北师大版的对比：人教版的编写特点：章节明了、条理清晰、内容严谨、循序渐;北师大版的编写特点：问题导入、注重探究、注重应用、跳跃性大。2.现行人教版与新人教版的对比：现行版第十五章整式的乘除与因式分解阅读与思考杨辉三角观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解；数学活动小结复习题15新人教版第十五章整式的乘除与因式分解（新增）（新课程目标要求：理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法的运算）数学活动小结〈二〉.本章教材内容结构：⑴本章主要分为整式的乘除、因式分解两大部分；⑵其中整式的乘除分为：整式的乘法、整式的除法，因式分解有：提公因式法、公式法、x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解；⑶整式的乘法包含幂的运算性质、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，（其中单项式乘以单项式是整式乘法的重点）整式的除法包含同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式。⑷幂的运算性质又包含同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方（幂的运算是整式乘法的基础），多项式乘以多项式又包含平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法延伸拓展得到0指数幂的定义。另外，整式的乘法与因式分解是相反方向的变形，多项式乘法中的平方差公式、完全平方公式与因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的变形。〈三〉.知识的立体整合：整式的乘除运算是对前面所学数的运算的延伸拓展，因此学习本章要加强对数的运算的回顾与复习，要注意整式的乘除运算与数的运算联系与区别；如幂的运算性质的推导都要用到乘方运算的意义，单项式乘以多项式的法则实质就是乘法分配律等，数的运算到式的运算是学生思维的一次飞跃，是从具体到抽象、特殊到一般。整式的乘除与因式分解是数与代数的核心与基础，是学生学习代数的关键，如七上整式的加减，八下分式的约分、通分及分式的计算、九上一元二次方程解法中的：配方法、因式分解法就是本章知识的直接应用，甚至高中阶段的指数、对数及一元二次不等式等内容无不与本章知识有密切的联系。三．说建议〈一〉教学建议：1．重视运算性质、公式的发生和归纳过程的教学。本章整式乘法、除法运算性质、乘法公式的得出过程，教科书是从某些具体的数与式的计算，归纳得到运算法则，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程。在性质和公式的教学中，要重视上述归纳过程的教学，使学生在这个过程中理解和掌握性质与公式。另外，教科书在得到某些运算法则的过程中，在逻辑上看也并不具备严密性，在教学中则应该考虑学生思维能力发展的年龄特点，把握好逻辑的适度严密性。教学模式为了调动学生的积极性，充分体现课堂教学的主体性，我采用我们学校提出的“六环节自主课堂”进行教学，以学生为主体，教师为主导。引导学生运用观察、分析、概括和交流的方法学习这部分内容。实践证明，这样的课堂更能体现学生的主体性，也更符合课程标准的理念。（一）创设引课：教师通过设疑、猜想或情景引入问题。揭示课题，使学生明白要探究的内容。（二）自主探究：学生在“导学提纲”的引领下，循序渐进地进行自主学习或探究。教师指导并组织学生进行活动。（三）学生交流：学生分组或全班交流自己的学习探究所得，有理有据地回答提纲提出的探究内容，谈出自己的学习困惑所在。教师理顺并帮肋学生进行交流。（四）教师解惑：教师根据学生交流情况重点讲解学生的疑难问题，消除学生的思维障碍，纠正学生存在的问题。（五）组织小结：教师引导学生总结所学内容，板书知识结构。（六）课堂练习：通过练习巩固知识，深化思维。2．重视发挥学生的主观能动性充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。3．抓住教学重点和关键，突破教学难点①本章的教学重点之一是整式的乘除，包括乘法公式。②在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。③乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点。在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来，对所发生的错误多做具体分析，以加深学生对公式结构特征的理解。④添括号时，括号内符号的确定是本部分的一个难点。添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体。遇到括号前是“—”号时，学生容易漏掉括号内一部分项的变号。添括号和去括号是互逆的过程，可以相互检验。⑤因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。在本章中，提公因式法和公式法分解因式，教学中则应让学生牢固地掌握。4．选学内容---有关知识的拓展与延伸开阔学生视野，拓展学生知识面。（1）“阅读与思考”（杨辉三角）---增强数学修养培养爱国情怀（2）“观察与猜想”（十字相乘法）-有利于理解必修内容（小组合作探究完成）5、熟练并灵活掌握本章的法则和公式的措施①随着循序渐进的教学，在比较中加强理解。②数形结合，有助于法则和公式的理解。③重视法则和公式的逆应用和扩展应用。④充分利用转化的思想方法。⑤要有整体观察和思考的意识。6.本章每小节应注意的问题第一小节易错点：单项式乘以多项式时：⑴符号错误；⑵漏项或漏乘；⑶相乘后，不合并同类项，即运算不彻底。易混点：将幂的运算法则记混，将指数相加，指数相乘与整式加减法混淆。易漏点：多项式乘以单项式时出现漏乘现象的错误。第二小节易错点：弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时已出现符号错误。易漏点：⑴在写平方差时，容易只把字母平方，漏掉系数平方；⑵在写完全平方式时，易漏掉“2倍之积项”，漏掉乘积中的因数“2”，第三小节⑴对=1（a≠0）的运用过程中，漏掉对a≠0的讨论⑵单项式除以单项式时，漏掉符号；⑶多项式除以单项式时，漏项。第四小节⑴分解因式不彻底，半途而废；⑵提公因式时，易出现符号错误；⑶分解因式过程中出现“走回头路”现象。7.技巧点拨技巧平台1：{1}运用同底数幂的乘法运算性质时要注意以下三点：一是要明确只有同底数幂相乘时，才能使用这一运算性质；2是相乘时底数没有发生变化，只有指数发生变化；三是指数的和作为结果中幂的指数。{2}幂的混合运算应注意三点：一是要牢记幂的运算性质，相关知识不要混淆；二是要注意运算顺序,，即先乘方，再乘除，最后加减；三是符号不要出错技巧平台2：平方差公式：两个2项式相乘，并且这两个2项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，其结果是这两项的平方差。完全平方公式：完全相同的两个2项式相乘，写成幂的形式，其结果为三项，可用口诀记忆：前平方来，后平方，乘积2倍在中央。(1)在应用平方差公式和完全平方公式时要注意两个公式中条件的特点，平方差公式是：两个2项式相乘，并且这两个2项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，其结果是这两项的平方差；完全平方公式是：完全相同的两个2项式相乘，写成幂的形式，其结果为三项式.(2)再添加括号时要注意括号前是负号的情况，此时括到括号里的各项一定要变号。技巧平台3：掌握好同底数幂的除法与单项式除以单项式的法则，学会用乘法进行验证计算结果的正确性。运用单项式除以单项式的法则运算分三步；一是把系数相除，所得的结果作为商的系数；二是把同底数幂相除，所得的结果作为商的因式；三是把只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式来运算即可。进行混合运算时，要明确运算顺序。即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号，先算括号里面的，对于同级运算，要按照从左到右的顺序进行。技巧平台4：学习本节知识，要对比整式乘法运算进行，掌握两者之间的区别与联系，才能更好地掌握因式分解的实质，在学习本节时，要运用比较，类比的学习方法记忆，理解因式分解，要多加练习以达到熟练掌握知识的目的。因式分解的步骤：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式），即先看有没有公因式可提，有公因式就先提公因式，然后再套用公式来分解因式。另外，分解因式一定要彻底。8.中考命题方向（1）.本节知识比较单一，在中考中常以选择题或填空题的形式出现，考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则的应用及逆运用法则化简求值，题目通常较为简单，属于基础题型。（2）.平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为选择题，填空题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识综合命题；完全平方公式在中考时占有很重要的地位，它在数的运算，代数式的化简，方程，函数等方面都有及其广泛的应用。（3）.整式除法即同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式在中考中出现的频率较高，题型多见选择题和填空题，有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。（4）.本节在中考中主要考察因式分解的概念及利用提公因式法，公式法分解因式，是中考命题中的必考内容之一。单独命题时题型以选择题，解答题为主。有时以填空题的形式出现，难度一般不大，只要抓住公式的特点，一般不会失分。〈二〉评价建议1．注意把握教学要求根据课程标准，本章要求学生会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）运算和除法运算。会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算。会用提公因