人教版高中数学公式

高中数学常用公式及常用结论

1.集合{4，4，,可}的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个;

非空的真子集有2"-2个.

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a*0);

(2)顶点式/(x)=a(x—〃)2+Zr(aH0);

(3)零点式/(x)=tz(x-xt)(x-x2)(a丰0).

3.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

…、M+N,M—N

<=>IfM———1<-^—<=>

11

o----------->---------

f(x)-NM—N

4.方程/(x)=0在(匕，右)上有且只有一个实根,与于也、)于也2)<0不等价,前者是后者的一

个必要而不是充分条件.特别地，方程+/?X+C=0(4N0)有且只有一个实根在(匕,七)内,

等价于/氏)/(&2)<o,或“占)=0且占<—2〈4型t或/氏)=0且"^<一2<42・

2a222a

5.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/(x)=+法+03工0)在闭区间［p,q］上的最值只能在％=—处及区间的两端

2a

点处取得，具体如下：

h

⑴当a>。时，若％=-不~€［。削,则/(XL=/(-丁)，/(尤)max=max{/(，)，/(")}；

2a2a

尤=一与史［p，d>/Wmax=皿{/(〃)，/(夕)}1(")==min{/(P)，F⑷}•

(2)当a<0时,若*=-丁€［〃,/，则/(%),&=min{/(p),/(q)},若*=一不右［〃,司，则

2a2a

/(x)1rax=max{/(p)J(q)}，/(x)niin=min{/(p),/(如.

6.一元二次方程的实根分布

依据：若/(〃。/(〃)<0,则方程/(x)=0在区间(根,〃)内至少有一个实根.

设/(X)=x2+px+q,则

p--4q20

(1)方程y(x)=o在区间(加,+8)内有根的充要条件为了。〃)=0或，p

——>m

2

/("?)>0

/(«)>0

(2)方程/(x)=0在区间(加,")内有根的充要条件为/(〃?)/(〃)<(或，p~—4-qN0或

m<--<n

2

/(附=0或，(〃)=0

q/Cn)>0[af(m)>0

p~-4<7>0

(3)方程/(x)=0在区间(-℃,〃)内有根的充要条件为/。〃)<0或<.

--p-<m

I2

7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间(-8,+00)的子区间L(形如［%+«>)不同)上含参数的二

次不等式f(x,t)>0(/为参数)恒成立的充要条件是>0(x").

⑵在给定区间(-8,+oo)的子区间上含参数的二次不等式/(xMNO(f为参数)恒成立的充

要条件是史L).

«>0f

(3)/(x)=ax4+笈2+c>0恒成立的充要条件是<b>0或—:

,、b2-4ac<0

c>0i

8.元素与集合的关系

x£A<=>x任CfjA,XGC^A<=>x/A.

9.德摩根公式

CV(AB)=CVAC^B-^kAB)=CUACVB.

10.包含关系

AB=AoAB=B=AqBoCuBqCuA

<=>AC(，B=(DogAB=R

11.容斥原理

card(AB)-cardA+cardB—card(AB)

card{ABC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

—card{AB)—card(BC)-card(CA)+card(ABC).

12.真值表

Pq非PP或qP且q

其假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有（”—1）个

小于不小于至多有〃个至少有（〃+1）个

对所有X，存在某X,

成立不成立p或q—1〃旦—\Q

对任何X,存在某X，

不成立成立，且q—ip或「q

14.四种命题的相互关系

若非P则非q互逆若非q则非P

15.充要条件

(1)充分条件：若p=>q,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若q=>p,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p=q,且p,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设％•/e[a,]1%.x2那么

(4-/)[/&)_/(巧)]>0。/("一"以〉0。/(x)在口㈤上是增函数;

(玉)—/(/)]<0。"再)一"巧)<0=/(x)在[a，U上是减函数.

%一x2

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果/(x)<0,则/(x)

为减函数.

17.如果函数和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数.f(x)+g(x)也是减函数；如果函

数y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=/[g(X)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，则/'(x+a)=/(-x-a)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

/(x+a)=/(r+a).

20.对于函数丁=/(x)(xeR),f(x+a)=/g-x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数尤=巴!—

两个函数y=/(x+a)与y=/S-x)的图象关于直线x=审对称.

21.若/(x)=-/(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点弓,0)对称；若/(%)=—/(x+a),则函数

y=/(x)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)=a“x"+a,ix"T++4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数u>P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数OP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=f(x)的图象的对称性

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称=/(a+x)=f(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=等对称o/(a+阳)=—mx)

of(a+b—mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数)=/(—x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=/S—〃比)的图象关于直线x=—对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=/tM的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移。个单位，得到函数y=/(x—a)+Z?的图象；若将曲线

/(x,y)=0的图象右移a、上移。个单位，得到曲线—初=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

~a)=bof-'(b)=a.

27.若函数y=/(Zx+O)存在反函数，则其反函数为y=(》)—切，并不是y=㈤，而

k

函数y=[/-'(kx+加是y='[f(%)_b]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

⑴正比例函数f(x)=ex,f(x+y)=f(x)+=c.

⑵指数函数f(x)=ax,f(x+y)=1/W(y)"(l)="0.

(3)对数函数/(x)=log(,x,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,aw1).

(4)幕函数/(x)=V,/(孙)=/(x)/(y)，/'⑴=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

X

29.儿个函数方程的周期(约定a〉0)

(1)/(%)=f(x+a),则f(x)的周期T=a；

(2)f(x)-f{x+«)=0,

或f(x+a)=-(/U)丰0),

f(x)

或于(x+a)=(/(x)H0),

/(x)

或;+J/(x)_/2(x)=/(x+«),(/(x)6[0,1]),则/(x)的周期T=2a；

⑶/(x)=l-」一(/(x)声0),则/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)fa+/)=且/(a)=l(/a)"⑺K1,0<1|<2a),则/(幻的周期

T=4a；

(5)/(x)+/(x+〃)+/(x+2〃)/(x+3〃)+/(x+4〃)

=/(x)/(x+a)/(x+2^)/(x+3“)/(x+4〃)，则/(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=/(x)-/(x+a)，则/(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

生1*

(1)an-,——(a>O,m,neN",且拉>1).

Nd"

-巴1

(2)an=——Qa>b,m,neN",且〃>1).

u

31.根式的性质

(1)丽)"=a.

(2)当〃为奇数时，旧=a；

当〃为偶数时，V/=|可=<"'"一°.

—a.a<0

32.有理指数哥的运算性质

(1)ar-as=a,+s{a>0,r,s£Q).

(2){ar)s=ars{a>0,r,s£Q).

(3)(ab)r=arbr(a>0,Z?>0,re0).

注：若a>0,p是一个无理数，则3表示一个确定的实数.上述有理指数嘉的运算性质，对于无理数

指数寨都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log4N=b<=>d=N(a>4,a¥l,N>0)

34.对数的换底公式

<logN

log.N=--—(a>0,且aw1,0,且mw1,N>0).

•og„,a

〃

推论log,W=—log，(a〉0,且a>l,且mwl,N>0).

"m

35.对数的四则运算法则

若a>0,a#l,M>0,N>0,则

⑴log。(MN)=log.M+log"N;

⑵叫“后=1°8"“一108批；

n

(3)log.M=nlogrtM(neR).

36.设函数f(x)=log„,(«x2+bx+c)(a/0),记△=〃-4ac.若/(x)的定义域为R,则a>0,且

△<0;若/(x)的值域为R,则a>0,且△20.对于a=0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0,。>0,x>0,—,则函数y=logm3x)

a

⑴当a>Z?时,在(0,—)和(-,+oo)上y=log(Z>x)为增函数.

aaav

⑵当。<人时，在(0,3和(',+8)上>=10g,“Sx)为减函数.

aa

推论:设〃>m>l，p>0,a>0>且awl，则

<1)ioglll+p(n+p)<logmn.

⑵log„mlog„n<logfl.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有)，=NQ+p)”.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

§〃—]

5

an=\'(数列｛”“｝的前n项的和为s“=6+a,++a„).

40.等差数列的通项公式

。“=6+(〃-1)4=+6-火〃eN*)；

其前n项和公式为

_〃(4+4)»(»-1)

%-2.叫十2a

d2/1ix

=­7?+(6Z.--d)Yl.

22

41.等比数列的通项公式

a.==包•q"(〃GN*)；

q

其前n项的和公式为

s.=ji-q

navq=\

或s“=J\-q^

navq-\

42.等比差数列{““}:an+i=qan+d,ax=b(q0)的通项公式为

h+(n-l)d,q-1

4尸bq*d-b)q"-'-d

.4-1

其前n项和公式为

nb+n(n—1)J,(q-1)

s”='d、i-q',d.

Ii-qq-ii-q

43.分期付款(按揭贷款)

ab(i+b)n

每次还款％=元（贷款a元,〃次还清，每期利率为b）.

(1+Z?)n-1

44.常见三角不等式

JI

(1)若xe(0,5),UPJsinx<x<tanx.

(2)若x£(0,—),JKiJ1<sinx+cosx<V2.

2

(3)Isinx14-1cosx|>1.

45.同角三角函数的基本关系式

qin

sin24-cos2^=1,tan^=-------,tan8・c"夕=1.

cos。

46,正弦、余弦的诱导公式

..n7i(-1)2sina,（n为偶数）

sin(—+a)=<_]

(-1)2cosa,（n为奇数）

（n为偶数）n

,nn、(-l)2cos«,

cos(——+a)=j〃+|

（n为奇数）(-1)2sina,

47.和角与差角公式

sin(a±6)=sinacosp±cosasinJ3;

cos(6r±/?)=cosacos/?sinasin/;

,八、tana±tanB

tan(z«±/3)=-----------.

1tanatan/3

sin(a+/?)sin(a-^)=sin2or-sin2/7(平方正弦公式)；

cos(a+/?)cos(a-/?)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa二J^TP_sin(a+e)(辅助角夕所在象限由点(a/)的象限决定，tan/=一).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos26r=cos2(z-sin26z=2cos2cr-l=l-2sin2cr.

2tana

tan2a

1-tan2a

49.三倍角公式

sin3。=3sin。-4sin，8=4sinOsin。-3)sin(y+0).

冗兀

cos3。=4cos”-3COS6=4COS0COS(y-0)COS(y+0)

cc3tantan3八/万八、/1八、

tan30=------------=tan0tan(---6)tan(一+0).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(G%+0),x£R及函数y=COS(GX+。)，x£R(A,3,°为常数，且A#0,3>0)的周期

T=——；函数y=tan(@x+0),xwZ(A,3,0为常数，且AWO,3>o)的周期T=工.

co2co

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a1=b2+c2-2历cosA;

b1=c1+a2-2cacosB;

c2-cr4-/?2-2abcosC.

53.面积定理

(1)S=—ah=—bh.=—ch(/z>h>仅分别表示a、b、c边上的高).

222h

(2)S=—ahsinC=—bcsinA=—cas\nB.

222

(3)&QAB=|J(|OA|-|OB|)2-(O4.OB)2.

54.三角形内角和定理

在AABC中，有4+8+。=万=。=万一(A+3)

<S>.1=y-^y^<»2C=2^-2(A+B).

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(<wx+Q),xWR及函数y=cos(<yx+0),xGR(A,3,°为常数，且AWO,3>0)的周期

27r7tTt

T=——；函数y=tan(@x+0),xwZ(A,3,°为常数，且AWO,3>o)的周期T=—.

co2CD

51.正弦定理

，=—=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2racosB;

c2=a2+h2-2abcosC.

53.面积定理

(1)S==gbhb=(ha>hb>4分别表示a、b^c边上的高).

(2)S=—abs\nC=—hcs\nA=—cas\nB.

222

(3)SA。.^^(\OA\-\OB\)2-(OAOB)2.

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+8+C=TT<=>C=4一(A+B)

C=£_A+B^2C=2^_+B)

222

55.简单的三角方程的通解

sinx=Q<=>x=攵笈+(-1)Aarcsina(keZ,\a\<1).

cosx=a<=>x=2kn±arccosa(kGZ,|«|<1).

tanx=a=>x=k7i+arctana(kwZ,Q£R).

特别地,有

sina=sin/?0a=A)+(—1)"/?(左wZ).

cosa=cos0<=>a=2kjv±/?(2cZ).

tana=tan,n二=kr+(3*GZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(|〃区1)oxcQk冗+arcsina.2k兀+乃一arcsind),keZ.

sinx<a(\a\<l)<^>xe：Qkjv一冗一arcsina,2ATT+arcsind),keZ.

cosx>a(\a\<V)<^>xe(2k/r-arccosa,2k冗+arccosa),keZ.

cosx<a(ja\<Y)oxeQk兀+arccosa,2kzr+2乃一arccosa),keZ.

71

tanx>a(ae7?)=>xG(ATF+arctana,k7T+—),keZ.

71

tanx<a(aG7?)=>xG(krc--,k7v+arctand)、keZ.

57.实数与向量的积的运算律

设入、以为实数，那么

(1)结合律：X(ua)=(Xu)a;

(2)第一分配律:(X+y)a=Xa+pa;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(Aa),b=4(a•b)=Aa,b=a,(2b);

(3)(/b)•c=a,c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人

1、人”使得a=AAZe?.

不共线的向量&、已叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=(Xj，x),b=(X2，y2)，且bxO,则ab(bN0)=X1％一%2%=

53.a与b的数量积(或内积)

a•b=|ab|cos0.

61.a-b的几何意义

数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cose的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(X]，x),b=(X2，%)，则a+b=(X+x2,y,+y2).

(2)设a=(x,,y,),b=(x2,y2),则a-b=(x)-x2,y,-y2).

(3)设A(X1,yJ,B(X2，〉2)，则A8=O8—Q4=(与一毛,当一37)

(4)设a=(x,y),4eR,则4a=(Xx,Xy).

(5)设a=(X],%),b=(1,%)，则a•b=(中2+%%)・

63.两向量的夹角公式

cos©=-T==^~^(a=(x„y,),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

dAn=\AB\=ylABAB

%22

=7(^2-I)+(y2-3,1)(A(石，X),B(龙2,%))•

65.向量的平行与垂直

设a=(X],yJ,b=(X2，y2)，且b#0,则

Ab<=>b=Xa<=>xiy2-x2y1=0.

a_Lb(aH0)<=>a,b=0oX1X2+必%=。.

66.线段的定比分公式

设6(X，X),鸟(龙2,%)，尸(孤丁)是线段片鸟的分点，丸是实数，且片P=2P£，则

.—1+4oOpJiOR

_x+4y2]+丸

i+/i

oOP=fOq+(l-r)Og(r=^—).

1+A

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(XI,y)、B(x2,y2),C(X3,丫3),则△ABC的重心的坐标是

x,+x2+x3y,+y2+y3

3，3

68.点的平移公式

x-x+hx=x—h,,

<,<=><oOP=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F'上的对应点为P(x,yj,且PP'的坐标为伍次).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+〃,y+左).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=①,幻平移后得到图象C',则C'的函数解析式为

y=f(x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(〃,A)平移后得到图象C,若C的解析式y=/(x),则C'的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

(4)曲线C:f{x,y)=0按向量a=(/:,%)平移后得到图象C‘，则C'的方程为f(尤一九y-幻=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/i向)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为AA3C所在平面上一点，角所对边长分别为a,"c,则

222

(1)。为AABC的外心o=OB=OC.

(2)。为AABC的重心=04+08+00=0.

(3)。为AABC的垂心==

(4)。为AABC的内心<=>aOA+OOB+cOC=0.

(5)。为AABC的NA的旁心oaOA=OOB+cOC.

71.常用不等式：

(1)〃1€/?=>"+6222。人(当且仅当2=13时取“=”号).

(2)(当且仅当a=b时取J”号).

2

(3)o'+by+c3>3abe(a>O,b>O,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)同一WW,+4《同+瓦

72.极值定理

已知都是正数，则有

(1)若积个是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2J万；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积.有最大值z52.

推广已知则有(x+y)?=(x—y)2+2xy

(1)若积肛是定值,则当|x-y|最大时，|x+y|最大；

当|x-y|最小时，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，则当|x-y|最大时，|孙|最小;

当|x-yl最小时，|孙|最大.

73.一元二次不等式《%2+笈+，>0(或<0)(ak0,A=》2-4ac>0),如果。与+fex+c同号,

则其解集在两根之外；如果a与以2+法+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两

根之间.

玉<X<工2=(X—玉)(工一%2)<°(.〈工2)；

x<x,,>x2<=>(x-Xj)(x-x2)>O(Xj<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

凶<a=x2<a~。一a<x<a.

国>aoH>足0%>a或％v—a.

75.无理不等式

”)20

a)77w>Jg(x)o<g(x)»o

f(x)>g(x)

f(x)>0,

I----_p.f(x)>0

⑵J/a)>g(x)o{g(x"0或{..„•

,g(x)<0

[f(x)>[g(x)]28

[/W>0

(3)"(x)<g(x)=*g(x)>0

J(x)<[g(x)f

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时，

af{x)>asW<=>/(x)>g(x)；

/(x)>0

logJ。)>log“g。)=<g。)>0.

/(x)>g(x)

(2)当0<a<l时，

afM>as(x>o/(x)<g(x)；

/U)>0

log„/(X)>10g(,g(x)=<g(x)〉0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=2-4(6(%,X)、P2(x2,y2)).

zr

78.直线的五种方程

(1)点斜式y-yx=Kx-Xy)(直线/过点6(X1,y),且斜率为Z).

(2)斜截式y=3:+0(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式上_里=X*(X->2)(R(X|，X)、E(尤2，%)(X尸彳2)).

必一y%2一%1

(4)截距式-+^=1(a,。分别为直线的横、纵截距，久匕工0)

ab

(5)一般式Ax+8y+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

⑴若:y=&/+4，12:y=k2x+b2

①4||4=攵1=k?力产b2；

②4"L4=kJ2--1-

(2)若4:4%++G=0,A：4工++。2=0,且Ai、A?、Bl^B2都不为零,

①小|/2,04=旦力6；

'A,B2G

②4±/2=44+4为=0；

80.夹角公式

⑴tana=|、-hT-k、-I、-

14-k2kl

(/i:y=5+仄,Z21y=k2x+b2,k1k20一1)

(2)tana

44+旦星

(4:Ax+B].y+G=0,4：^x+B2y+C2=0,^^+7?,52H0).

7T

直线4_L6时，直线/1与/2的夹角是X.

2

81.4到4的角公式

(1)tana=kk[.

1+k2kl

(4:y=kxx+bX,l2:y=k2x+b2,k{k2w-l)

AjBz—4B、

⑵tana

A,A2+B}B2

(/]:Ax+gy+G=o,4：B2y+C2=0,+B(B2wO).

TT

直线4_L4时，直线/i到匕的角是＜■.

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点月(%，%)的直线系方程为y-%(除直线x=x°),其中4

是待定的系数；经过定点4(&),%))的直线系方程为4(%一/)+3(了一%)=0,其中48是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线4：4x+4y+G=0,，2：4x+B2y+G=。的交点的直线系方程

为(4x+4y+£)+2(4%++C2)=0(除I?)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线丁=区+人中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

Ax+5y+C=0平行的直线系方程是Ac+By+；l=O(2/0),人是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C^O(A¥0,BWO)垂直的直线系方程是Bx-Ay+A^O,

入是参变量.

83.点到直线的距离

d=坐+州。+°!(点p(九0,%),直线/：Ax+By+C=O).

y1A2+B2

84.Ax+8)，+C＞0或＜0所表示的平面区域

设直线/:Ar+By+C=O,则Ar+8y+C>0或<0所表示的平面区域是：

若3*0,当B与Ar+8)，+C同号时，表示直线/的上方的区域；当8与Ar+By+C异号时，表示

直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若3=0,当A与Ar+8)，+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ar+By+C异号时，表示

直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(Ax++G)(4%+6)，+C2)>0或<0所表示的平面区域

设曲线。：(4%+用了+0(42》+名、+。2)=0(4儿4%声0),则

(4》+4〉+0(42》+52丁+。2)>0或<0所表示的平面区域是：

(Ax+gy+GX^x+^y+G)〉。所表示的平面区域上下两部分；

(4》+4)，+。1)(4》+82丁+。2)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcosO

(3)圆的参数方程\八.

y=b+rsinO

(4)圆的直径式方程。一可)“一干)+(y-y)(广2yA(圆的直径的端点是4占，%)、

B(x2,y2)).

87.圆系方程

(D过点A(x-x),8。2，必)的圆系方程是

(》一玉)(》—%2)+(丁一乂)。-%)+4(》一%)(乂一%)一(丁一、)(西一工2)]=。

o(x-xl)(x-x2)+(y->,l)(y-y2)+A(ax+by+c)=0,其中dx+Z?y+c=0是直线AB的方程，人是待

定的系数.

(2)过直线/:Ax+5y+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系数.

(3)过圆G：/+/2+。山+&)，+耳=()与圆。2：X2+>2+。/+%)，+工=0的交点的圆系方程是

=

x'+y'+D^x+E^y+Fi+A(x~+y'+D2x+E2y+F2)0,入是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点P(x0,yo)与圆(x—of+(3一与2=/的位置关系有三种

若d=.(a-XoA+3-%)2,则

d>z■。点P在圆外；d=ru>点P在圆上；d<ru>点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种：

d>ro相离o△<0；

d=ro相切<=>△=()；

d<ru>相交oA>0.

其中公"

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0“02,半径分别为n,r2)\0{02\=(1

d>/+々o外离o4条公切线；

d=八+々o外切=3条公切线；

+七o相交。2条公切线;

d=\r]-目o内切ol条公切线;

0cde卜一G|o内含o无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆d+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点(王),%)在圆上，则切线只有一条，其方程是

£)(x0+x)E(y()+y)A

玉/+yoy+~-+—+F=0.

22

当（x0,y0）圆外时，/X++。（彳+幻+E（2°+、+尸=0表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=Mx-%）,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,

注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为丁=履+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.

⑵已知圆/+）2=

①过圆上的%（小,为）点的切线方程为无/+%>=/；

②斜率为左的圆的切线方程为y=依±n/17淳.

X2V2[x=acos0

92.椭圆）4=1（。〉〃>0）的参数方程是

ab[y=bsin0

22

93.椭圆5+3=1（。>力>0）焦半径公式

ab

22

\PF{\=e（x+—）,|PF2|=e（----x）.

94.椭圆的的内外部

2222

（1）点P（x。,%）在椭圆与+二=l（a>8>0）的内部=其+4<1.

ab~ab

（2）点P（xQ,y°）在椭圆--+=1（。>人>0）的外部<=>—Y+请'>1-

95.椭圆的切线方程

22

（1）椭圆二+2=1（。>人>0）上一点P（Xo，%）处的切线方程是警+岑=1.

a-h-a-b

22

Xy

(2)过椭圆=+=1（。>/?>0）外一点P（x0,%）所引两条切线的切点弦方程是

a

黎+争“

22

(3)椭圆二+二=1(。＞。＞0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2/=C2.

ah

96.双曲线0—与=1(。＞0力＞0)的焦半径公式

a~b~

22

|^|=kU+y)b\PF^e^--x)\.

97.双曲线的内外部

(1)点P(x0,%)在双曲线f—=l(d?＞0,/?＞0)的内部＜=＞T—＞1.

ahab

2222

⑵点尸(%。,%)在双曲线「一]=l(a＞0,b＞0)的外部=与一粤vl.

abab~

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为二―\=1=＞渐近线方程：=-[=0oy=±2x.

ah~aba

22

(2)若渐近线方程为^=±2》0±±2=0=双曲线可设为入.

aabab

2222

(3)若双曲线与二一二=1有公共渐近线，可设为]一4=入(九＞0,焦点在x轴上，九＜0,

ab-ab

焦点在y轴上).

99.双曲线的切线方程

(1)双曲线I—4=1(。＞0力＞0)上一点p(飞,线)处的切线方程是学一斗=1.

ab-ab~

22

(2)过双曲线=-与=1(。〉0力〉0)外一点「(为,%)所引两条切线的切点弦方程是

a~lr

出—迎=1

a2b2-

22

(3)双曲x线次v=1(。＞0力＞0)与直线Ar+8