人教版九年级下册数学解答题训练50题含答案

人教版九年级下册数学解答题专题训练50题含答案

（2）

51.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3,5）,8（-2,1）,

C（-l,3）.

⑴若点G的坐标为（4,0）,画出AABC经过平移后得到的△A81G，并写出点4的坐

标；

（2）若△ABC和关于原点O成中心对称，画出△ASK2,并写出点层的坐标.

【答案】⑴作图见解析；4（3,-2）

⑵作图见解析；员（2,-1）

【分析】（1）先根据点C和点C1的坐标得到AABC向右平移5个单位长度，再向下平移

3个单位长度得到△A4G，由此即可得到点A的坐标为（2,2）,点片的坐标为（3,

-2）,据此作图即可；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特征描出&、B2>G即可得到答案.

（1）

解：如图所示，△4NG即为所求；

•••△A8C经过平移后得到的△A&G，点C的坐标为（-1,3）,点G的坐标为（4,0）,

/.△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到,

•••点B的坐标为(-2,1),点4的坐标为(-3,5),

.••点A的坐标为(2,2),点的坐标为(3,-2)；

(2)

解：如图所示，△44G即为所求；

「△ABC和△人与&关于原点。成中心对称，点8的坐标为(一2,I),

.•.点名(2,—1)；

【点睛】本题主要考查了平移作图，画关于原点对称的图形，点坐标的平移规律，关于

原点对称的点的坐标特征等等，熟知相关知识是解题的关键.

52.两年前生产It某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产It这种

药品的成本是3200元，求这种药品成本的年平均下降率？

【答案】这种药品成本的年平均下降率为20%

【分析】设这种药品成本的年平均下降率为x,利用现在生产1吨这种药品的成本=两

年前生产1吨这种药品的成本x(l-年平均下降率即可得出关于x的一元二次方程,

解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】解：设这种药品成本的年平均下降率为x,

依题意得：5000(1-x)2=3200,

解得：%,=0.2=20%,X2=1.8(不合题意，舍去)，

这种药品成本的年平均下降率为20%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，

正确列出方程，注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

53.如图，平面直角坐标系中，A(0,3)、B(3,0)、C(-3,0).

(1)过B作直线MN，AB,P为线段OC上的一动点，APLPH交直线M于点H,证

明：PA=PH.

(2)在(1)的条件下，若在点A处有一个等腰RtAAPQ绕点A旋转，且AP=PQ,

NAPQ=90。，连接BQ,点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与

位置关系，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析；(2)OG=PG,OG1PG,见解析.

【分析】(1)利用A(0,2)、B(2,0)、C(-2,0),得到AABC,AOAC,AOAB

都是等腰直角三角形，如图1,过点P作PG〃AB交y轴与G,则N4=N6=45。，再

证明AAPG丝Z\PHB,得到PA=PH.

(2)OG=PG,OG±PG,理由：如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,

BR,证明aPQG^4BRG,得到PQ=BR,Z5=ZGBR,进而AP_LPQ,再延长AP

交BR于S,交OB于T,则APJ_BR,证明△PAOgaRBO,得到PO=OR,N1=N2,

所以aPOR为等腰直角三角形，根据PG=GR,所以OGLPG,OG=PG.

【详解】(1)VA(0,3)、B(3,0)、C(-3,0).

/.OA=OB=OC,

/.△ABC,AOAC,AOAB都是等腰直角三角形，

；.N6=N7=45°,

如图1,过点P作PG〃AB交y轴与G,则N4=N6=45。，

图1

・・・OP=OG,

・・・AO+OG=OB+OP,

即AG=PB,

VAPIPH,

:.N2+N5=90。，

VZ1+Z5=9O°,

AZ1=Z2,

VMNXAB,

AZ3+Z7=90°,

・・・N3=45。，

AZ3=Z4,

在^APG和△PHB中，

Z1=Z2

<AG=PB,

Z4=Z3

.,.△APG^APHB(ASA),

・・・PA二PH.

图2

理由：如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,

在小PQG和△BRG中，

PG=GR

<Z4=Z3,

QG=BG

.,.△PQG^ABRG(SAS),

・・・PQ=BR,Z5=ZGBR,

・・・PQ〃BR,

VAP1PQ,

延长AP交BR于S,交OB于T,贝ljAP_l_BR,

VZAOB=ZASB=90°,ZATR=ZBTS,

AZa=Zp,

VPA=PQ,PQ=BR,

•'•PA=BR,

在aPAO和^RBO中，

PA=BR

OA=OB

•・.△PAO丝△RBO(SAS),

APO=OR,Z1=Z2,

VZ1+ZPOB=90°,

AZPOB+Z2=90°,

•••△POR为等腰直角三角形，

VPG=GR,

AOGIPG,OG=PG.

【点睛】此题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

54.如图1,。。是AABC的外接圆，AP是。。的切线.已知AC=4,BC=5.

(1)求证：ZPAC=ZABC；

(2)作N3AC的平分线，与。。相交于点Q,与BC相交于点£连接并延长。C,与4尸

相交于点尸(如图2),若求CF的长.

【答案】(1)见解析

【分析】(1)作直径AQ,连接QC,根据切线的性质得出NB4Q=90。，求出

ZPAC+ZCAQ=90°f根据圆周角定理得出NACQ=90。，ZPAC=ZQf即可求出答案；

(2)求出/4£。=乙4。七，N用ONA8C,根据相似三角形的判定得出△FAC^/XABC,

得出比例式，代入求出即可.

(1)

TAP是。。的切线，

：.ZRAQ=90°9

：.ZPAC+ZCAQ=90°,

•・,AQ是直径，

・•・ZAC2=90°,

・・・NCAQ+NQ=90。，

：.ZPAC=ZQf

TN2=/ABC,

：.ZPAC=ZABC；

(2)

:・/BAD=NCAD,

：.ZACF=ZADC+ZCAD=ZABC+ZBAD=ZAEC9

TAE=AC,

：.ZAEC=ZACE,

由（1）知：ZFAC^ZABC,

，△放Cs/XABC,

•CFAC

•.=,

ACBC

【点睛】本题考查J‘切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，能灵活运用

定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中.

55.如图，要在一块形状为直角三角形（NC为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，

需先在这块铁皮画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切.

（1）请你用直尺和圆规作出该半圆（要求保留作图痕迹，不要求写做法）

（2）若AC=4,BC=3,求半圆的半径.

【答案】（1）作图见解析（2）1.5

【详解】试题分析：（1）先确定圆心，再确定半径即可解决.

（2）利用SAABC=SABCO+SAABO,列出方程即可解决.

试题解析：（1）作NB的角平分线与AC的交点0,以0为圆心，0C为半径画半圆;

（2）设半圆的半径为r,

•••半圆O与AB相切于点D,

A0D1AB,

...NADO=90°

在RtAACB中，ZACB=90°,

：.AB=5,

SAADO和4ACB中

ZADO=ZACB,ZA=ZA

/.△ADO^AACB

.AOOP

,,AB-BC

,..4-r=一r,

53

解得：r-1.5.

56.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边

长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且

此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，算一算

张大叔购回这张矩形铁皮共花了.元钱.

【答案】700.

【详解】试题分析：设长方体的底面长为x米，则底面宽为(x-2)米，由题意，得x

(x-2)xl=15,解得：4=5,々=-3(舍去).底面宽为5-2=3米.矩形铁皮的面积为:

(5+2)(3+2)=35M,这张矩形铁皮的费用为：20x35=700元.故答案为700.

考点：一元二次方程的应用.

57.解下列方程：

(1)炉-4=0；

(2)X2+2X=0;

(3)2X2-X-1=0;

(4)(x-3)2-2Mx-3)=0.

【答案】(IX=2,々=一2

(2)%=0,%,=-2；

(3)%=一；，%,=1；

(4)匕=3,X2=-3.

【分析】（1）利用直接开平方法求解可得;

（2）利用因式分解法求解可得；

（3）利用因式分解法求解可得；

（4）利用因式分解法求解可得.

（1）

2

解：X-4=0.

x2=4,

X=2,x2=-2；

（2）

解：x2+2x=0,

x（x+2）=0,

则x=0或x+2=0,

x}=0,x2=-2；

（3）

解：2x2-x-1=0,

（2x+l）（x-l）=0,

则2x+l=0或;H=0,

,x2=1；

解：(x—3)2—2Mx—3)=(),

(x-3)(x-3-2x)=0,

x-3=0或x-3-2x=0,

X)=3,x2=-3

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

58.一条长为64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形（不计接头），若两个正方

形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长分别是多少？

【答案】4或12

【详解】试题分析：设正方形的边长为xcm,则正方形的边长为J竺=16-xcm,

然后根据围成的两个正方形的面积和等于160cm2,列出一元二次方程，然后解方程即

可.

试题解析：设正方形的边长为xcm,则正方形的边长为y?=16-xcm,根据题意

4

可得：x2+（16-x）2=160,解得x=4或x=12,当x=4时，16-x=12,当x=12时，16-x=4,

经检验都符合题意，答：两个正方形的边长分别是4cm和12cm.

考点：一元二次方程的应用

59.有一张矩形纸片ABC力中，其中AB=2cm,AZ>4cm,上面有一个以为直径的

半圆，正好与对边BC相切，如图（1）,将它沿OE折叠，使A点落在BC上，如图（2）

所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？

【答案】半圆露在外面的面积是7-

【分析】由图可得，ZDA'C=30°,NFOQ=120。，可得S明软S/SAOF。,过。作。。凡

因为OF=2,OM=\,DF=2MF=2也,求得SAOBD即可.

【详解】解：连接。巴

根据原题的图（2）可知

是折痕，

：.AD=A'D=4,CD=AB=2,ZC=90°.

NO4c=30。.

\'AD//BC,ZDA'C=30°,

：.N004=30。，

又YOD=OF,

：.ZOFD=30°.

即上/00=180°-60°=120°.

:阴后S扇/SzOFD.

过。作OM_L。凡

因为0F=2,0M=\,DF=2MF=26,

SAOFD=；xDFx0M=gx26xl=币.

.c八LA120乃447r

..S^OFD=^-=~

矿普-G.

【点睛】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握

扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计

算的关键.

60.已知关于x的方程kx?+(2k+l)x+2=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

(2)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根.

【答案】(1)厚g且厚0:(2)证明见解析.

【详解】试题分析：(1)根据一元二次方程的定义和△的意义得到k9且4>0,即(2k+l)

2-4kx2>0,然后求出两个不等式的公共部分即可；

(2)分k=0,为一元一次方程；k/0,利用根的判别式整理得出答案即可.

试题解析：(1)二•关于x的方程kx2+(2k+l)x+2=0有两个不相等的实数根，

；.k并且△=(2k+l)2-4kx2=(2k-1)2>0,

.“卷且k/0.

(2);当k=0,为x+2=0一元一次方程,解为x=-2；

当厚0,△=(2k+l)2-4kx2=(2k-l)2>0,

••・无论k取任何实数时，方程总有实数根.

考点：1.根的判别式；2.一元一次方程的解.

61.如图，己知抛物线了="+反+。(存0)经过A(-1,0),B(3,0).C(0,-3)

三点，直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)设点M是直线/上的一个动点，当点M到点4,点C的距离之和最短时，求点M的

坐标.

【答案】⑴尸2-21

(2)M(1,-2)

【分析】(1)利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；

(2)连接BC,BC与直线/的交点即为

【详解】(1)解：设二次函数的解析式为：y=a(x+l)(x-3),

将点C(0,-3)代入得：-3=a(O+l)(O—3),

解得：0=1,

y=(x+3)=r—2x—3；

二函数的解析式为：y=/-2x-3.

(2)解：抛物线的对称轴为：x=-=h=-；-2=1：

2a2

点A关于直线/的对称点为点B,

连接BC,则BC是点M到点A,点C的距离之和的最小值，

设直线BC的解析式为：y=kx+b,则：

\0=3k+b”,仅=1

IT,,解得：1.,>

[-3=0[o=-3

y=x-3,

设M(l,机)，代入得：

m=l-3=-2,

AM(l,-2).

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质

进行解题是解题的关键.本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一

个定点形成的线段即为最短距离.

62.如图，在RfAABC中，点。在斜边A3上，以点。为圆心，。8的长为半径作圆，分

别与8C,相交于E,连接A。，已知NC4£)=/B,求证：AD是。的切线.

【答案】证明见解析

【分析】连接。。，由OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等,

等量代换得到N1=N3,求出N4为90。，即可证AD是(。的切线.

【详解】证明：连接O。，如图所示：

OB=OD,

：.N3=NB,

NB=Z1,

.•21=/3,

在RtAACD中，Zl+Z2=90°,

.-.Z4=180°-(Z2+Z3)=90°,

：.ODVAD,

则A£＞为二。的切线;

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，证明

N1=N3是解题的关键.

63.2022年1月15日，广西龙江河发生严重的重金属镉污染事件.据专家介绍，重金

属镉具有毒性，长期过量接触镉会引起慢性中毒，影响人体肾功能.为了解这次镉污染

的程度，国务院派出的龙江河调查组抽取上层江水制成标本a、4,抽取中层江水制成

标本4、b2,抽取下层江水制成标本G、c2.

(1)若调查组从抽取的六个样本中送选两个样本到国家环境监测实验室进行检验，求刚好

选送一个上层江水标本和一个下层江水标本的概率；

(2)若每个样本的质量为500g,检测出镉的含量(单位：mg)分别为：

0.3、0.2、0.7、0.5、0.3、0.4,,请算出每500g河水样本中金属镉的平均含量；

(3)据估计，受污染的龙江河河水共计2500万吨，请根据(2)的计算结果，估算出2500万

吨河水中含镉量约为多少吨？

【答案】(咤

⑵每500g河水样本中金属镉的平均含量为0.4mg

(3)2500万吨河水中含镉量约为20吨

【分析】(1)根据题意，列表法找到所有情况，根据概率公式即可得到答案;

(2)求出检测出镉的含量平均数即可；

(3)用每500g河水样本中金属镉的平均含量乘以2500万吨即可得到答案.

【详解】(1)解：列表得：

⑶，C“，C2CGC

c2。2,222—

⑶G小G“C,bc,CG

>2—2

ahb、8

“，b2生，岳，02—Cb2

%,b,C,b,c,b、

4,b,牝，bi—f2

—Aa.%，%Ga

”,。22

tz,m0

—〃24b\b2,G0c2

•••一共有30种不同的结果，而一个上层江水样本和一个下层江水样本有8种情况,

AP（一个上层江水样本和一个下层江水样本）=48=石4;

（2）J=x（0.3+0.2+0.7+0.5+0.3+0.4）=0.4（mg）；

答：每500g河水样本中金属镉的平均含量为0.4mg；

0.4

(3)X2.5X107=20(/).

500x1000

答：2500万吨河水中含镉量约为20吨.

【点睛】此题考查平均数、简单概率公式、用样本估计总体，读懂题意，正确计算是解

题的关键.

64.如图1是两块等边△ABC和等边△CDE的纸片叠放在一起的图形.

⑴如图2,固定△ABCd^ACDE绕点C按顺时针方向旋转30。,连接AD,BE,则线段BE,AD之

间的大小关系如何?证明你的结论；

（2）如图3,若将△CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度（小于180。）,连接AD,BE,则线

段BE,AD之间大小关系如何?证明你的结论.

【答案】（1）BE=AD.详见进行；（2）BE=AD.详见解析.

【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质可以得到ZBCE=ZACD=30°,CA=CB,

CD=CE,由此可证△BCE丝4ACD,然后即可得到BE和AD的关系；

（2）利用和（1）一样的方法证△BCE丝4ACD,由此即可BE和AD的关系.

【详解】解:⑴BE=AD.

证明:因为△CDE绕点C按顺时针方向旋转30°,

所以/BCE=NACD=30°.

因为△ABC和4CDE都是等边三角形，

所以CA=CB,CD=CE.

所以△BCE^AACD.

所以BE=AD.

（2）BE=AD.

证明:若4CDE绕点C按顺时针方向旋转角a,

则NBCE=/ACD=a.

又CA=CB,CD=CE,

所以△BCE^AACD.

所以BE=AD.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性

质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定两个三角形全等，

先根据已知条件或求证的结论确定那两个三角形可能全等，然后再根据三角形全等的判

定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.同时利用全等来证明相等的线段是常用的方

法之一.

65.某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，

每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为

500元，未租出的车辆每月只需维护费100元.

（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租

金收入扣除维护费）是多少万元？

（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司

的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？

【答案】（I）当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是

39.48万元；（2）每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元

【分析】（1）由月租金比全部租出多4800-4000=800元，得出未租出车的数量，从而

根据每辆车的租金减去500元,乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量,

等于租金收益即可;

（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可.

480(000=92

【详解】(1)|00-；00（辆）,

(4800-500)x92-100x(100-92)=394800(元),

394800元=39.48万元.

答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万

元.

(2)40.4万元=404000元

设上涨x个100元，由题意得：

(4(X)0+KXk-5(X))(1(X)-x)-l(X)x=404000

整理得：x2—64jf+540=0

解得：占=54,=10

规定每辆车月租金不能超过7200元，

二取x=10,则4000+10x100=5000(元)

答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

66.已知方程组卜

[x+y=2

(1)当机取何值时，方程组有两个不相同的实数解；

(2)若4、乂；々、乃是方程组的两个不同的实数解，且|占-赴|=6|%%1，求”的

值.

Q

【答案】(1)机>2时方程组有两个不相同的实数解；(2)，片;或8.

【分析】(1)把X+y=2变形代入犬2+产=相，再根据一元二次方程根的判别式即可解答；

(2)将方程组消元，转化为关于x、y的一元二次方程，利用根与系数的关系解答.

【详解】解：(1)把x+)=2变形为尸2子,

代入①得/+(2-x)2-m,

整理得2/-4x+(4-/»)=0,

△=(-4)2-4x2x=-16+8，〃，

故-16+8〃?>0,

即m>2时方程组有两个不相同的实数解.

(2)由于原方程组中的两个方程为“对称式”，

.,.xi也和y/、>2分别为方程2r2-4X+(4-OT)=0和方程2产4丫+(4-/M)=0的两个根，

,.,田-入2|=6心。2|,

5(办+工2)2-4=工2=6/I,

两边平方得：(X/+X2)2-4x/X2=3x16-———,

整理得3m2-32"?+64=0,

Q

解得根二§或m=8,

Q

故m--或8.

【点睛】解答此题将方程组转化为一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数的关

系建立起m与两根之间的关系进行解答.

67.不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色小球共40个，它们除颜色外其余都相同，

其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个.

（1）求袋中蓝色球的个数；

（2）现再将2个黄色球放入布袋，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率.

【答案】（1）袋中有14个篮球；

（2）摸出1个球是黄色球的概率为2.

【详解】试题分析：（1）设篮球有x个，则黄球有（x-8）个，根据不透明的布袋里装

有红、蓝、黄三种颜色小球共40个以及红色球有20个列出方程，求解即可；（2）先求

出黄色球的个数，再除以全部情况的总数，即可求解.

试题解析：（1）设篮球有x个，黄球有（x-8）个，

根据题意列方程：20+x+（x-8）=40,

解得x=14.

答：袋中有14个篮球；

（2）•••三种颜色小球共40+2=42个,其中红色球14-8+2=8个,

,摸出1个球是黄色球的概率为：28=三4.

68.已知关于x的一元二次方程L假舄*=阚有两个不相等的实数根.

（1）求女的取值范围：

（2）若左为正整数，求该方程的根.

3

【答案】（1）k<y；（2）x,=0,X2=-2.

【详解】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=22-4（2k-2）>0,然后解不等式即

可；

（2）由（1）的范围得到k=1,然后把k=l代入原方程，然后解方程即可.

试题解析：（1）根据题意得4=22-4（2k-2）>0,

3

解得kV；；

（2）・.・k为正整数，

k=l,

当k=l时，原方程为X2+2X=0,解得XI=O,X2=-2.

考点：根的判别式.

69.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+l）x+3=0.

（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；

（2）当抛物线丫=b2+（301+1r+3与轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，

求此抛物线的解析式.

【答案】（1）当mwO且mwg时，此方程有两个不相等的实数根；（2）抛物线的解析

式为y=x?+4x+3.

【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m的范围；

（2）先利用公式法解方程mx2+（3m+l）x+3=O得xi=-,，X2=-3,则根据抛物线与x

m

轴的交点问题得到抛物线与轴两个交点的横坐标为-,、3,则利用有理数的整除性易得

m

m为1,从而得到抛物线的解析式.

【详解】（l）m^O,

j,=（3m+1）2-4m-3=（3m-l）2,

.>0时，m,

所以当m*O且时，此方程有两个不相等的实数根；

（2）mx2+（3m+l）x+3=O.

-（3m+l）±（3m-l）

x=-------------------------,

2m

则xi=----->x?=-3,

m

所以抛物线与轴两个交点的横坐标为-,、3,

m

因为抛物线与轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，

所以m为1,

所以抛物线的解析式为y=x?+4x+3.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，

arO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了判别式的意义.

70.人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件.经

调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元,

请你帮忙思考，该降价多少？

（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？

【答案】（1）降价20元可使销售利润达到1750元；（2）当x=15时日盈利达到最大，

为1800元.

【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可以售出30+2x,所以此时商场

平均每天要盈利（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程

求解即可.（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件

应降价x元之间的函数关系为：y=（30+2x）,用“配方法”求出该函数的最大值，并求出

降价多少.

【详解】（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件.

根据题意得:（45-x）（30+2x）=1750,

解得xi=10,X2=20.

因为要减少库存，所以x=20.

答：降价20元可使销售利润达到1750元.

（2）设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数

关系为：y=（45-x）（30+2x）

=-2（x-15/+1800.

.•.当x=15时日盈利达到最大,为当00元.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出

等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最

大值.

71.一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：机）与水平距离x（单位：m）之间

17S

的关系为铅球行进路线如图.

（1）求出手点离地面的高度.

（2）求铅球推出的水平距离.

（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4，”.

【答案】（1）:米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4

米

【分析】（1比=0得丫=g；

175

⑵令产0得：解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离;

1OS

⑶把尸4代入，得-争2+/+:=4,化简得丁-8》+28=0,方程无解，即可求解.

【详解】（1）把40代入y=-《1f+；7x+；S得：

5

产铲

答：出手点离地面的高度?米

1oS

（2）x+—工+—=0,

1233

解得玉=10,々=-2（舍去）

・••铅球推出的水平距离为10米.

（3）把产4代入，得-2》2+不》+：=4,化简得9一8犬+28=0,方程无解，

.••铅球的行进高度不能达到4米.

【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数

的基础知识.

72.直线y=4x-3与抛物线y=x?交于8、c（B左C右）两点.

（1）直接写出8、C点的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点P,使一PBC的周长最小时，求P点坐标;

(3)抛物线y=f左平移1个单位，再下移4个单位，在备用图中画出图象，直线、=丘

交抛物线于M、N两点，且0M=ON,求A的值.

【答案】(1)B(1,1),C(3,9)

⑵尸(0,3)

(3)1=2

【分析】(1)联立]'二、二求解即可求出；

[y=4x-3

(2)作C关于〉轴对称的点C,连接8C'交V轴为点P即为所求，利用待定系数法求

出直线BC的解析式即可求解；

y=kx

(3)联立y=(x+l)2-4'消去'得出/+(2-&)x-3=0,设/(为,乂),刈%,％),根据

关于原点对称得出与三=0,即％+迎=0,再根据根与系数的关系进行求解即可.

y=x2

【详解】(1)解：联立

y=4x-3'

消去)'得：f=4x-3,

x2-4.r+3=0

U-2)2=l

x-2=±l

解得：=l,x2=3；

二％=1，＞2=9,

fi(l,l),C(3,9)；

(2)解：作c关于y轴对称的点C',连接BC'交y轴为点尸即为所求，如下图:

根据对称性得C'(-3,9),

设直线BC'的解析式为：y=kx+b,

将C'(-3,9),8(1,1)代入上式得:

J\=k+b

,,19=-3氏+b'

解得：k=-2,b=3,

y——2x+3,

当x=0时，y=3,

故尸(0,3)

(3)解：抛物线y=f左平移1个单位，再下移4个单位，在备用图中画出图象，如

关于原点中心对称，即中点坐标为(0,0),

y=kx

联立

y=(x+l)2-4'

消去y得：fcr=(x+l)2-4

x1+(2-k)x-3=0,

设“(看，》),N(x2,y2),

.・岩町

：.X]+々=0,

a1

解得：k=2.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求解•次函数的解析式、轴对称

问题、中心对称问题，解题的关键是掌握利用待定系数法求解出函数的解析式.

73.已知AB是。O的直径，弦CD与AB相交，ZBAC=40°.

(1)如图1,若D为弧AB的中点，求NABC和/ABD的度数；

(2)如图2,过点D作。0的切线，与AB的延长线交于点P,若DP〃AC,求NOCD

的度数.

图1图2

【答案】(1)45°；(2)26°.

【分析】(1)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得NABC和/ABD的大小;

(2)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得NOCD的大小.

【详解】(1)：AB是OO的直径，ZBAC=38°,.,.ZACB=90°,

；./ABC=/ACB-NBAC=90。-38。=52。，

：D为弧AB的中点，ZAOB=180°,AZAOD=90°,

.,.ZABD=45°；

图②

(2)连接OD,

：DP切。O于点D,AODIDP,即/ODP=90。，

VDP/7AC,NBAC=38°,NP=/BAC=38°,

,/ZAOD是AODP的一个外角，

ZAOD=ZP+ZODP=128°,:.ZACD=64°,

VOC=OA,ZBAC=38°,ZOCA=ZBAC=38°,

NOCD=/ACD-ZOCA=64°-38°=26°.

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

74.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=l,该，抛物线与x轴的两个交点分别为A和

B,与y轴的交点为C,其中A(-l,0).

(1)写出B点的坐标；

(2)若抛物线上存在一点P,使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐

标；

(3)点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D,求线段MD长度

的最大值.

【答案】(3,0)

【详解】分析：(1)直接利用二次函数的对称性得出B点坐标即可;

(2)利用三角形面积求法结合抛物线上点的坐标性质得出答案；

(3)结合题意得出MD的函数关系式，进而得出答案.

详解：(1).抛物线y=ax2+bx*+c的对称轴为直线x=l,该抛物线与x轴的两个交点分

别为A和B,与y轴的交点为C,其中A(-l,0),

；.B点的坐标为：(3,0)；

故答案为(3,0)；

(2)由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=l,A(-1,0),B(3,0),

a-b+c=0a=l

则9〃+3b+c=0,解得:b=-2,

h।c=-3

------=1

2a

故抛物线的表达式为y=x2-2x-3,

AC(0,-3).

19

：♦SSBOC=2x3x3=2,

ASAPOC=2S△BOC=9.

设点p的横坐标为XP,求得xp=±6.

代入抛物线的表达式，求得点P的坐标为(6,21),(-6,45).

(3)由点B(3,0),C(0,-3),得直线BC的表达式为y=x-3,

设点M(a,a-3),则点D(a,a2-2a-3).

AMD=a-3-(a2-2a-3)

=-a2+3a

39

.•.当”时，MD的最大值为

点睛：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法，正确得出函数关系式

是解题关键.

75.(1)解方程：x2-2x-l=0

(2)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标

系内，AA3C的三个顶点坐标分别为A(l,4),C(3,l).

①画出AABC关于x轴对称的A44G；

②画出AA8C绕点。逆时针旋转90。后的"AG；

③在②的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留乃).

【答案】(1)X1=l+夜，»=1-亚;(2)①AABC关于x轴对称的AA|B|G如图所示;

见解析；②A4BC绕点。逆时针旋转90。后的如图所示；见解析；③扫过的

面积=24.

【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可.

(2)①利用轴对称图形的性质画出图形即可.

②利用旋转变换的性质画出图形即可.

③找至BC扫过的面积为S扇形XC2一s扇形。呢，利用扇形面积公式求解即可.

【详解】(1)解：(1)。=1,Z?=-2,c=-1,A=〃-4ac=4+4=8>0,

方程有两个不相等的实数根，》=士史三1=生述=1±0,

2a2

则再=1+V2,x,=1->/2.

(2)解：①ZVWC关于*轴对称的0出弓如图所示；

②AABC绕点。逆时针旋转90。后的AA/G如图所示；

@OC=Vl2+32=V10,OB=>/12+12=V2

BC扫过的面积为扇形S扇形0g-S扇鹿心的面积为驷过近-甄西i=2万

360360

【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，轴对称图形，旋转变换等图形的性

质以及扇形的面积公式，找到BC扫过的面积为S扇形—S扇形是解题的关键.

76.某商场对某种商品进行销售调整.已知该商品进价为每件30元,售价为每件40元，

每天可以销售48件，现进行降价处理.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次

下降的百分率.

(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件.若要使每天销售该商品获利

510元，则每件商品应降价多少元？

【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；

(2)每件商品应降价L5元或2.5元.

【分析】（1）设每次降价的百分率为X,根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价

降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可；

（2）设每件商品应降价m元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得

（40-30-m）（48+8/??）=510,再解方程即可.

【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x,根据题意，得40（1-x）2=32.4,

解得x/=0.1=10%,彳2=1.9=190%（不合题意，舍去），

答：该商品平均每次下降的百分率为10%；

（2）设每件商品应降价机元，根据题意，得（40-30-〃?）（48+8，〃）=510,

整理得：4m2-16/n+15=0>

解得叫=1.5,吗=2.5,

答：每件商品应降价1.5元或2.5元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是

解题的关键.

77.如图，在中，AB=AC,以底边BC为直径的O交两腰于点。，£.

A

（1）求证：BD=CE；

（2）当ABC是等边三角形，且3c=4时，求OE的长.

【答案】（1）见解析；（2）y

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到/8=/C,再由弧、弦、圆周角之间的关系证

得BD=CE，即可得到结论；

（2）连接0。、OE,根据等边三角形的性质及圆周角定理求出/OOE,利用弧长公式

计算即可.

【详解】解：（1）证明：•••A8=AC,

：.ZB=ZCf

,•CD=BE»

BD=CE，

：.BD=CE；

(2)连接。。、OE,

【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，圆

周角定理，弧长公式，熟记各性质定理及弧长公式是解题的关键.

78.已知二次函数》=a(x+l)(x—附3为常数，a>l)的图像过点(1,2).

(1)当0=2时,求，”的值；

(2)试说明方程a(x+l)(x—相)=0两根之间(不包括两根)存在唯一整数，并求出这个

整数；

(3)设M(〃，y/)、N(M+1,y2)是抛物线上两点，当〃<—1时，试比较"与”的大

小.

【答案】(l)m=g；(2)两根之间存在唯一整数，这个整数是0；(3)当n<-l时，yi>y2

【详解】分析：(I)把点(1,2)、。=2,代入二次函数解析即可求出加值；

(2)先求出方程〃a+l)(x—M=o的两根x/=-1,X2-tn,再将点(1,2)代入函数解析

式，得出〃?=1一！，利用4>1即可求出〃?的取值范围，进而得出答案；

(3)利用二次函数的性质即可比较出山与V的大小.

详解：(1)a=2时，y=2(x+l)(x—w),

将(1,2)代入得2=4(1一m)，

解得加工;；

(2)由方程〃(x+l)(x—"。=0解得x/=-1,X2=m,

又产a(x+l)a—加)过点(1,2),

则2=2。(1一机)，

解得m=\——,

a

Va>l,

0<—<1,

a

0<zn<l

即0<X2<L

・・・两根之间存在唯一整数，这个整数是0；

(3)；方程两根是一1,1一,且抛物线开口向上，由二次函数图像与性质知，

a

n<—\时，M点纵坐标">0,

①当一2刍<一1时，-1刍+1<0,

***J2<O,

iHsBtyi>y2

②当〃<一2时，1<—1,

此时M、N两点均在一1左侧，

由抛物线图像与性质知，y随R增大而减小，

.•・》/>”，

综上，当〃<—1时，yi>y2.

点睛：本题考查了一元二次方程与二次函数的相关知识.熟练应用二次函数的性质是解

题的关键.

79.对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当％<0时；它们对应的函数值互

为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函

—x+3(x<0)

数.例如：一次函数y=x—3,它的“伴随”函数为，=”、八\・

x-3(x>0)

(1)已知点M(-2,1)在一次函数y=-如+1的“伴随”函数的图象上，求机的值.

(2)已知二次函数y="+4x-g.

①当点I）在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求。的值.

②当-3MXM3时，函数y=-/+4x-g的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在,

请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】

⑵①a=2-6或2+&或2-右；②当-3VxM3时，函数y=+4x-g的“伴随”函

数的最大值为T，最小值为

【分析】（1）写出产一座+1的“伴随”函数，代入计算；

（2）①写出二次函数y=*+4x-；的“伴随”函数，代入计算;

②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答.

??!¥-1（X<O）

【详解】（1）解:y=->nx+\的“伴随”函数y=

-/7U+1（X>O）

将加（一2,1）代入y=/nx—l得：1=—2m—1,

解得加=-1；

1

x9-4x+-（x<0）

（2）解：二次函数y