专题17图形的位似（4个知识点2种题型2种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题17图形的位似（4个知识点2种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.位似多边形的有关概念（重点）知识点2.位似图形的性质（重点）知识点3.位似图形的画法（重点）知识点4.平面直角坐标系中的位似变换（难点）【方法二】实例探索法题型1.确定位似中心题型2.位似图形的规律探究题【方法三】仿真实战法考法1.平面直角坐标系中的位似变换与坐标变化考法2.作图——位似变换【方法四】成果评定法【学习目标】了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.位似多边形的有关概念（重点）（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形②位似图形对应点的连线都经过同一个点；③位似图形对应边平行．【例1】（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比【变式】（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④知识点2.位似图形的性质（重点）①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．【例2】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9【变式】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若OB:BE=1:2，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（

）

A．4 B．6 C．8 D．18【例3】（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（

）

A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2【变式】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△DEF的周长为15，则△ABC的周长为（

）

A．10 B．6 C．5 D．4知识点3.位似图形的画法（重点）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。【例4】（2022秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，已知A(0,−2)，B(−2,1)，C(3,2)．

(1)求线段AB的长；(2)把A、B、C三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A'，B'，C'的坐标，画出△(3)△ABC与△A【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A(1)在图中标出△ABC与△A1B1C(2)若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1【变式2】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的12×12方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为−4,2和0,0．△ABC顶点都在格点上，将△ABC的三边分别扩大得到△A1B

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的三角形△A(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的三角形△A(3)直接写出点P的坐标．知识点4.平面直角坐标系中的位似变换（难点）在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。【例5】（2023·安徽淮北·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，已知点，，，则点的坐标为(

)

A． B． C． D．【变式1】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A−6,9、B−9,−3，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点AA．−2,3 B．−18,27C．−18,27或18,−27 D．−2,3或2,−3【变式2】（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为2,4，点E的坐标为−1,2．则点P的坐标为（）A．−3,0 B．−2,0 C．−32,0【变式3】（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A的坐标为3,2，点F的坐标为−1,−1，则这两个正方形位似中心的坐标为（

）

A．1,0或57,27 C．1,0 D．1,0或−5,−2【方法二】实例探索法题型1.确定位似中心1.（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'

A．2、点P B．12、点P C．2、点O D．122.（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'BA．点O B．点P C．点Q D．点R3.（2022春·九年级单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（

）

A．点A B．点B C．点C D．点D题型2.位似图形的规律探究题4．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下：如图1，任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．第二步，以O为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A'的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A'的纵坐标，并计算比值，观察比值与第三步，作线段OA,OA',OB,O第四步，任意改变△ABC的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．于是，小明总结并得出了位似的性质．任务：（1）第三步发现的结论是______．（2）已知图1中点A(6,2),A'(9,3),B(4,3),S△ABC（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形MNOP的相似比为0.75的一个图形．【方法三】仿真实战法考法1.平面直角坐标系中的位似变换与坐标变化1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）3．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）4．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为．5．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为.（结果用含a，b的式子表示）6．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．考法2.作图——位似变换7．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．8．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023•铜梁区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，若OB＝2OE，S△ABC＝8，则S△DEF为（）​A．2 B．4 C． D．2．（2023•牡丹区三模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：253．（2022秋•平度市期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）4．（2023•城厢区校级开学）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：65．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）6．（2022秋•永定区期末）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为2：3，则OA：OA'＝（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．7．（2022秋•伊川县期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB＝，则线段CD长为（）A．2 B．4 C．2 D．8．（2023•温州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点D，位似比为2：3，则AB：DE的比值为（）​A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：139．（2023•碑林区校级开学）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（6，4） B．（，1） C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（，1）或（﹣，﹣1）10．（2021秋•江安县期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1二．填空题（共8小题）11．（2022秋•沈河区期末）如图，在△ABO中，点A的坐标为（4，5），以原点O为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A'B'O，则点A的对应点A'的坐标是．12．（2023•广陵区校级一模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为．13．（2022秋•泰兴市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AD＝3，则＝．14．（2023•东营区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是．15．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．16．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为．17．（2023•裕华区三模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是（用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为．​18．（2022秋•细河区期末）如图．在平面直角坐标系中，点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标为．三．解答题（共8小题）19．（2023•南陵县二模）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC，并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2．20．（2022秋•大荔县期末）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标．21．（2022秋•惠来县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；（3）求△A2B2C2的面积．22．（2023•城厢区校级开学）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．并写出B1的坐标．（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：．23．（2023•揭阳开学）（一）看图填空．（如图中每个方格的边长表示1厘米）（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中涂色的三角形向平移厘米，平行四边形就变成了长方形．（2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示是，点B在点C的偏度方向上．（