专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点）知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点）【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等题型2.相似三角形中的探究性问题题型3.相似三角形中等积式的证明题型4.相似三角形与函数的综合运用题型5.三角形全等与相似的综合题型6.与相似三角形有关的拓展探究【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定定理【方法四】成果评定法【学习目标】了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似。会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点）1．判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

2．判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.【例1】（2022秋·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′．【例2】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和中，，，求证：．【例3】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和△A′B′C′中，．求证：△ABC∽△A′B′C′．知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点）有平行截线——用平行线的性质，找“等角”

有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”

有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”

直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”

等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例”【例4】（2022秋·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．【变式】（2022秋·九年级课时练习）如图，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，BE，CD是的高，连接DE.（1）求证：；（2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：.题型2.相似三角形中的探究性问题2．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．题型3.相似三角形中等积式的证明3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．题型4.相似三角形与函数的综合运用4．（2021秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，（1）不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；（2）设BD＝x，CE＝y，求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围；（3）当△DCE为直角三角形时，BD的长为．题型5.三角形全等与相似的综合5．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接作垂足为H，交CD于F作，交BF于求证：；．6．（2023春·上海·九年级专题练习）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）求证：△ABF∽△CEB；（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．7．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图②，连接交于点．若，求的值．题型6.与相似三角形有关的拓展探究8．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．9．（2022·江西南昌·九年级南昌市第十九中学校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）问题发现①当θ=0°时，=；②当θ=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为．【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定定理1．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．2．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．3．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．4．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）如图，中，、分别在、上，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，在下列各式中，不能证明的条件是（）A．AD:DB=DE:BC B．AD:AC=AE:ABC．∠1=∠B D．∠2=∠C3．（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：其中正确的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④4．（2023秋·湖南娄底·九年级校联考期末）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对5．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是(

)A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④6．（2023·云南昭通·统考二模）如图，中，交于点，，，，，则的长等于（）A． B． C． D．7．（2023秋·河北邢台·九年级邢台五中校考阶段练习）如图，将边长为1的小正方形拼成一行一字排开，A1、A2、A3…依次是第2、3、4…个小正方形右下角的顶点，P是第一个小正方形左上角的顶点．记△PA1A2、△PA1A3，△PA1A4…依次为①号三角形、②号三角形、③号三角形…．已知这些三角形中有一个三角形与①号三角形相似，则这个三角形的号数为（）A．③ B．④ C．⑤ D．⑥8．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE9．（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A． B． C． D．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于()A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3二、填空题11．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）12．（2023秋·九年级课前预习）如图，添上条件，则．13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE,MN=1,线段MN的端点M,N分别在CD,AD上滑动，当DM=时，△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似．14．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E是DC上一点（点E不与D、C重合）连接AE，以AE所在的直线为折痕，折叠纸片，点D的对应点为D′，点F为线段BC上一点，连接EF，以EF所在的直线为折痕折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线ED′上，若CF=4时，DE=．15．（2023秋·九年级单元测试）如图，是的斜边上异于、的一定点，过点作直线截交于点，使截得的与相似．已知，，，则．三、解答题16．（2022秋·九年级课时练习）如图，在等边三角形中，D，E，F分别是三边上的点，，那么与相似吗？请证明你的结论．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？18．（2023·江西·九年级专题练习）如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长.19．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在中，为上一点，且．求证：．若，，求的长．20．（2023春·广东惠州·九年级惠州市惠阳区第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC