专题13探索三角形相似的条件（5个知识点4种题型1种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题13探索三角形相似的条件（5个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形的概念（重点）知识点2.相似三角形的判定方法1（重点）知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点）知识点4.相似三角形的判定方法3（重点）知识点5.黄金分割的有关概念【方法二】实例探索法题型1.相似三角形的判定题型2.相似三角形判定与性质的综合应用题型3.通过判定三角形相似得到比例式题型4.通过判定三角形相似说明黄金分割点【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定【方法四】成果评定法【学习目标】了解相似三角形的概念。熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形的概念（重点）定义三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。如图：在ABC和DEF中，相似三角形的“三性”：对应性、顺序性、传递性【例1】下列能够相似的一组三角形为().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形知识点2.相似三角形的判定方法1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．常见模型如下：【例2】如图，与中，，；证明：．

知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在与中，，，那么．AABCA1B1C1【例3】已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．知识点4.相似三角形的判定方法3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例4】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．知识点5.黄金分割的有关概念黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【例5】已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长．【变式1】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．【变式2】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上．（1）求线段、的长；（2）求证：；（3）请指出图中的黄金分割点．【方法二】实例探索法题型1.相似三角形的判定1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．2．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形．

3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．

4．（2023春·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、E、D在同一条直线上，，，求证：．

5．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．

6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；(2)与相似吗？为什么？7．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，且，求证：．

8.如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足．求证：∽．AABCDE题型2.相似三角形判定与性质的综合应用9.如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（

）A． B．平分C． D．10.如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么．11.已知：如图，在中，，，，点D在BC边上， 且．（1）求AD的长；（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽．AABCDEF12.如图，在中，为上一点，且满足．（1）求证：；（2）当时，，，求的长．题型3.通过判定三角形相似得到比例式13.如图，在中，，于D，E为AC上一点， 于F，联结DF． 求证：．AABCDEF题型4.通过判定三角形相似说明黄金分割点14．（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，如图，在中，，．

(1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点是边的黄金分割点．【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定1．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）2．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．3．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．4．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【方法四】成果评定法一、选择题1．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）如图，点在的边上，添加一个条件可判断，下列不满足的条件是（

）

A． B．C． D．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列两个三角形不一定相似的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角是的等腰三角形C．两个全等三角形 D．两个直角三角形3．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，在中，，将沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．①③④4．（2023秋·全国·九年级专题练习）含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·九年级课时练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）A． B． C． D．6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（

）

A． B． C． D．8.（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于5−12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E，使得CE=AB，连接AE，则BEABA．22 B．5−12 C．3−9.（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，下列选项错误的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB⋅AC10．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列三角形中与一定相似的是（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是（写出一个即可）．12．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．

13．（2023秋·九年级课时练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．14．（2023·全国·九年级专题练习）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是．

15.（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，则CD长为．16.（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿（精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．17.（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C118.（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点处最自然得体．（结果精确到0.1三、解答题19．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，点E为边上的点（不与点B，点C重合），连接并延长，交的延长线于点F．求证：．

10．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？

21．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，、相交于点，已知，，，．求证：．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，与中，，；证明：．

23．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图所示