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文档简介
江苏省苏州市常熟达标名校2025年初三下学期第一次考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下面四个几何体:其中,俯视图是四边形的几何体个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列四个结论:①4a+c<0;②m(am+b)+b>a(m≠﹣1);③关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0没有实数根;④ak4+bk2<a(k2+1)2+b(k2+1)(k为常数).其中正确结论的个数是()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形,它的主视图是()A.B.C.D.4.正三角形绕其中心旋转一定角度后,与自身重合,旋转角至少为()A.30° B.60° C.120° D.180°5.平面直角坐标系中,若点A(a,﹣b)在第三象限内,则点B(b,a)所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.下列各式中,互为相反数的是()A.和 B.和 C.和 D.和7.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是()A. B. C. D.8.如图,AB∥CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F,AM⊥EF于点M,若∠EAM=10°,那么∠CFE等于()A.80° B.85° C.100° D.170°9.如图,△ABC纸片中,∠A=56,∠C=88°.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD.则∠BDE的度数为()A.76° B.74° C.72° D.70°10.若关于,的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解,则的值为A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.计算:(﹣2a3)2=_____.12.在平面直角坐标系中,已知,A(2,0),C(0,﹣1),若P为线段OA上一动点,则CP+AP的最小值为_____.13.如图,直线经过、两点,则不等式的解集为_______.14.已知点,在二次函数的图象上,若,则__________.(填“”“”“”)15.如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是______.16.如图所示,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△BDE:S四边形DECA的值为_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?18.(8分)如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE与DB交于点F.求证:BF=BC;若AB=4cm,AD=3cm,求CF的长.19.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点,AB⊥OA交x轴于点B,且OA=AB.(1)求双曲线的解析式;(2)求点C的坐标,并直接写出y1<y2时x的取值范围.20.(8分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.操作发现如图1,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S1.则S1与S1的数量关系是.猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S1的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.拓展探究已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长21.(8分)在平面直角坐标系中,点,,将直线平移与双曲线在第一象限的图象交于、两点.(1)如图1,将绕逆时针旋转得与对应,与对应),在图1中画出旋转后的图形并直接写出、坐标;(2)若,①如图2,当时,求的值;②如图3,作轴于点,轴于点,直线与双曲线有唯一公共点时,的值为.22.(10分)为响应国家的“一带一路”经济发展战略,树立品牌意识,我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测,通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.抽查D厂家的零件为件,扇形统计图中D厂家对应的圆心角为;抽查C厂家的合格零件为件,并将图1补充完整;通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家;若要从A、B、C、D四个厂家中,随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概率.23.(12分)数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y(cm)和年龄x(岁)的关系,从某市官网上得到了该市2017年统计的中小学男生各年龄组的平均身高,见下表:如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点,并发现前5个点大致位于直线AB上,后7个点大致位于直线CD上.年龄组x7891011121314151617男生平均身高y115.2118.3122.2126.5129.6135.6140.4146.1154.8162.9168.2(1)该市男学生的平均身高从岁开始增加特别迅速.(2)求直线AB所对应的函数表达式.(3)直接写出直线CD所对应的函数表达式,假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线CD所对应的函数关系,请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少?24.如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);(2)若以AD为直径的圆经过点C.①求抛物线的函数关系式;②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF:BF=1:2,求点M、N的坐标;③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】试题分析:根据俯视图是分别从物体上面看,所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱,故选B.考点:简单几何体的三视图2、D【解析】①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1,由图象可得左交点的横坐标大于﹣3,小于﹣2,所以﹣=﹣1,可得b=2a,当x=﹣3时,y<0,即9a﹣3b+c<0,9a﹣6a+c<0,3a+c<0,∵a<0,∴4a+c<0,所以①选项结论正确;②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,∴y=a﹣b+c的值最大,即把x=m(m≠﹣1)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,∴am2+bm<a﹣b,m(am+b)+b<a,所以此选项结论不正确;③ax2+(b﹣1)x+c=0,△=(b﹣1)2﹣4ac,∵a<0,c>0,∴ac<0,∴﹣4ac>0,∵(b﹣1)2≥0,∴△>0,∴关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0有实数根;④由图象得:当x>﹣1时,y随x的增大而减小,∵当k为常数时,0≤k2≤k2+1,∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值,即ak4+bk2+c>a(k2+1)2+b(k2+1)+c,ak4+bk2>a(k2+1)2+b(k2+1),所以此选项结论不正确;所以正确结论的个数是1个,故选D.3、A【解析】由三视图的定义可知,A是该几何体的三视图,B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图,从上面看到的图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图,能看到的线画实线,看不到的线画虚线.本题从左面看有两列,左侧一列有两层,右侧一列有一层.4、C【解析】
求出正三角形的中心角即可得解【详解】正三角形绕其中心旋转一定角度后,与自身重合,旋转角至少为120°,故选C.本题考查旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角,掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键5、D【解析】分析:根据题意得出a和b的正负性,从而得出点B所在的象限.详解:∵点A在第三象限,∴a<0,-b<0,即a<0,b>0,∴点B在第四象限,故选D.点睛:本题主要考查的是象限中点的坐标特点,属于基础题型.明确各象限中点的横纵坐标的正负性是解题的关键.6、A【解析】
根据乘方的法则进行计算,然后根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.【详解】解:A.=9,=-9,故和互为相反数,故正确;B.=9,=9,故和不是互为相反数,故错误;C.=-8,=-8,故和不是互为相反数,故错误;D.=8,=8故和不是互为相反数,故错误.故选A.本题考查了有理数的乘方和相反数的定义,关键是掌握有理数乘方的运算法则.7、C【解析】
根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式,进而得出答案.【详解】由题意可得:PB=3﹣t,BQ=2t,则△PBQ的面积S=PB•BQ=(3﹣t)×2t=﹣t2+3t,故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下.故选C.此题主要考查了动点问题的函数图象,正确得出函数关系式是解题关键.8、C【解析】
根据题意,求出∠AEM,再根据AB∥CD,得出∠AEM与∠CFE互补,求出∠CFE.【详解】∵AM⊥EF,∠EAM=10°∴∠AEM=80°又∵AB∥CD∴∠AEM+∠CFE=180°∴∠CFE=100°.故选C.本题考查三角形内角和与两条直线平行内错角相等.9、B【解析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数,再利用翻折变换的性质得出∠BDE的度数.【详解】解:∵∠A=56°,∠C=88°,
∴∠ABC=180°-56°-88°=36°,
∵沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,
∴∠CBD=∠DBE=18°,∠C=∠DEB=88°,
∴∠BDE=180°-18°-88°=74°.
故选:B.此题主要考查了三角形内角和定理,正确掌握三角形内角和定理是解题关键.10、B【解析】
将k看做已知数求出用k表示的x与y,代入2x+3y=6中计算即可得到k的值.【详解】解:,①②得:,即,将代入①得:,即,将,代入得:,解得:.故选:.此题考查了二元一次方程组的解,以及二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、4a1.【解析】
根据积的乘方运算法则进行运算即可.【详解】原式故答案为考查积的乘方,掌握运算法则是解题的关键.12、【解析】
可以取一点D(0,1),连接AD,作CN⊥AD于点N,PM⊥AD于点M,根据勾股定理可得AD=3,证明△APM∽△ADO得,PM=AP.当CP⊥AD时,CP+AP=CP+PM的值最小,最小值为CN的长.【详解】如图,取一点D(0,1),连接AD,作CN⊥AD于点N,PM⊥AD于点M,在Rt△AOD中,∵OA=2,OD=1,∴AD==3,∵∠PAM=∠DAO,∠AMP=∠AOD=90°,∴△APM∽△ADO,∴,即,∴PM=AP,∴PC+AP=PC+PM,∴当CP⊥AD时,CP+AP=CP+PM的值最小,最小值为CN的长.∵△CND∽△AOD,∴,即∴CN=.所以CP+AP的最小值为.故答案为:.此题考查勾股定理,三角形相似的判定及性质,最短路径问题,如何找到AP的等量线段与线段CP相加是解题的关键,由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM,使问题得解.13、-1<X<2【解析】经过点A,∴不等式x>kx+b>-2的解集为.14、【解析】抛物线的对称轴为:x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大.∴若x1>x2>1
时,y1>y2
.故答案为>15、2【解析】分析:根据分式的运算法则即可求出答案.详解:当a+b=2时,原式===a+b=2故答案为:2点睛:本题考查分式的运算,解题的关键熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.16、1:1【解析】
根据题意得到BE:EC=1:3,证明△BED∽△BCA,根据相似三角形的性质计算即可.【详解】∵S△BDE:S△CDE=1:3,∴BE:EC=1:3,∵DE∥AC,∴△BED∽△BCA,∴S△BDE:S△BCA=()2=1:16,∴S△BDE:S四边形DECA=1:1,故答案为1:1.本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)35元/盒;(2)20%.【解析】
试题分析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.试题解析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解.答:2014年这种礼盒的进价是35元/盒.(2)设年增长率为m,2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).根据题意得:(60﹣35)×100(1+a)2=(60﹣35+11)×100,解得:a=0.2=20%或a=﹣2.2(不合题意,舍去).答:年增长率为20%.考点:一元二次方程的应用;分式方程的应用;增长率问题.18、(1)见解析,(2)CF=cm.【解析】
(1)要求证:BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以,从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以;(2)已知AB=4cm,AD=3cm,就是已知BC=BF=3cm,CD=4cm,在直角△BCD中,根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC,就可以求出CE的长.要求CF的长,可以在直角△CEF中用勾股定理求得.其中EF=BF-BE,BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出,由此解决问题.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴∠CDB+∠DBC=90°.∵CE⊥BD,∴∠DBC+∠ECB=90°.∴∠ECB=∠CDB.∵∠CFB=∠CDB+∠DCF,∠BCF=∠ECB+∠ECF,∠DCF=∠ECF,∴∠CFB=∠BCF∴BF=BC(2)∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=4(cm),BC=AD=3(cm).在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=.又∵BD•CE=BC•DC,∴CE=.∴BE=.∴EF=BF﹣BE=3﹣.∴CF=cm.本题考查矩形的判定与性质,等腰三角形的判定定理,等角对等边,以及勾股定理,三角形面积计算公式的运用,灵活运用已知,理清思路,解决问题.19、(1);(1)C(﹣1,﹣4),x的取值范围是x<﹣1或0<x<1.【解析】【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得:x=1x﹣1,可得A的坐标,从而得双曲线的解析式;(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组,解方程组可得点C的坐标,根据图象可得结论.【详解】(1)∵点A在直线y1=1x﹣1上,∴设A(x,1x﹣1),过A作AC⊥OB于C,∵AB⊥OA,且OA=AB,∴OC=BC,∴AC=OB=OC,∴x=1x﹣1,x=1,∴A(1,1),∴k=1×1=4,∴;(1)∵,解得:,,∴C(﹣1,﹣4),由图象得:y1<y1时x的取值范围是x<﹣1或0<x<1.【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合;熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法;通过观察图象,从交点看起,函数图象在上方的函数值大.20、解:(1)①DE∥AC.②.(1)仍然成立,证明见解析;(3)3或2.【解析】
(1)①由旋转可知:AC=DC,∵∠C=90°,∠B=∠DCE=30°,∴∠DAC=∠CDE=20°.∴△ADC是等边三角形.∴∠DCA=20°.∴∠DCA=∠CDE=20°.∴DE∥AC.②过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F.由①可知:△ADC是等边三角形,DE∥AC,∴DN=CF,DN=EM.∴CF=EM.∵∠C=90°,∠B=30°∴AB=1AC.又∵AD=AC∴BD=AC.∵∴.(1)如图,过点D作DM⊥BC于M,过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N,
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S1;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF1⊥BD,
∵∠ABC=20°,F1D∥BE,
∴∠F1F1D=∠ABC=20°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F1DB=90°,
∴∠F1DF1=∠ABC=20°,
∴△DF1F1是等边三角形,
∴DF1=DF1,过点D作DG⊥BC于G,
∵BD=CD,∠ABC=20°,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=×20°=30°,BG=BC=,
∴BD=3∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF1=320°-150°-20°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF1,
∵在△CDF1和△CDF1中,,
∴△CDF1≌△CDF1(SAS),
∴点F1也是所求的点,
∵∠ABC=20°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×20°=30°,
又∵BD=3,
∴BE=×3÷cos30°=3,
∴BF1=3,BF1=BF1+F1F1=3+3=2,
故BF的长为3或2.21、(1)作图见解析,,;(2)①k=6;②.【解析】
(1)根据题意,画出对应的图形,根据旋转的性质可得,,从而求出点E、F的坐标;(2)过点作轴于,过点作轴于,过点作于,根据相似三角形的判定证出,列出比例式,设,根据反比例函数解析式可得(Ⅰ);①根据等角对等边可得,可列方程(Ⅱ),然后联立方程即可求出点D的坐标,从而求出k的值;②用m、n表示出点M、N的坐标即可求出直线MN的解析式,利于点D和点C的坐标即可求出反比例函数的解析式,联立两个解析式,令△=0即可求出m的值,从而求出k的值.【详解】解:(1)点,,,,如图1,由旋转知,,,,点在轴正半轴上,点在轴负半轴上,,;(2)过点作轴于,过点作轴于,过点作于,,,,,,,,,,,,,,,,,设,,,,点,在双曲线上,,(Ⅰ)①,,,,(Ⅱ),联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得:,,;②如图3,,,,,,,直线的解析式为(Ⅲ),双曲线(Ⅳ),联立(Ⅲ)(Ⅳ)得:,即:,△,直线与双曲线有唯一公共点,△,△,(舍或,,.故答案为:.此题考查的是反比例函数与一次函数的综合大题,掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质是解决此题的关键.22、(1)500,90°;(2)380;(3)合格率排在前两名的是C、D两个厂家;(4)P(选中C、D)=.【解析】试题分析:(1)计算出D厂的零件比例,则D厂的零件数=总数×所占比例,D厂家对应的圆心角为360°×所占比例;(2)C厂的零件数=总数×所占比例;(3)计算出各厂的合格率后,进一步比较得出答案即可;(4)利用树状图法列举出所有可能的结果,然后利用概率公式即可求解.试题解析:(1)D厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%,D厂的零件数=2000×25%=500件;D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°;(2)C厂的零件数=2000×20%=400件,C厂的合格零件数=400×95%=380件,如图:(3)A厂家合格率=630÷(2000×35%)=90%,B厂家合格率=370÷(2000×20%)=92.5%,C厂家合格率=95%,D厂家合格率470÷500=94%,合格率排在前两名的是C、D两个厂家;(4)根据题意画树形图如下:共有12种情况,选中C、D的有2种,则P(选中C、D)==.考点:1.条形统计图;2.扇形统计图;3.树状图法.23、(1)11;(2)y=3.6x+90;(3)该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm左右.【解析】
(1)根据统计图仔细观察即可得出结果(2)先设函数表达式,选取两个点带入求值即可(3)先设函数表达式,选取两个点带入求值,把带入预测即可.【详解】解:(1)由统计图可得,该市男学生的平均身高从11岁开始增加特别迅速,故答案为:11;(2)设直线AB所对应的函数表达式∵图象经过点则,解得.即直线AB所对应的函数表达式:(3)设直线CD所对应的函数表达式为:,,得,即直线CD所对应的函数表达式为:把代入得即该市18岁男生年龄组的平均身高大约是174cm左右.此题重点考察学生对统计图和一次函数的应用,熟练掌握一次函数表达式的求法是解题的关键.24、(1)(1,﹣4a);(2)①y=﹣x2+2x+3;②M(,)、N(,);③点Q的坐标为(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).【解析】分析:(1)将二次函数的解析式进行配方
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