数列的概念+教学设计 高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列

4.1数列的概念

教学设计

教学目标

1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、

通项公式）以及数列的分类.

2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.

3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公

式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.

4.理解数列的前〃项和，并能用数列的前〃项和求出数列的通项公式.

教学重难点

教学重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列

的前〃项和求通项公式.

教学难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的

前n项和求通项公式.

教学过程

新知积累

1.数列的相关概念及分类

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫

做这个数列的项.第N个位置上的数叫做这个数列的第〃项，用。”表示.其中第1

项也叫做首项.

2.数列的符号表示

数列的一般形式是％,4，.・•，与，…，简记为SJ.

3.从函数角度看数列

①数列与函数的关系

由于数列中的每一项为和它的序号"有下面的对应关系：

序号123…〃…

JJJ。

a

项%〃3.....n…

所以数列是从正整数集N'(或它的有限子集｛1,2,…，川)到实数集R

的函数，其自变量是序号〃，对应的函数值是数列的第〃项。“，记为例=/(〃).

也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列

函数值/⑴，〃2),…，/(«),…就是数列口｝.另一方面，对于函数

y=f(x),如/(〃)(〃€N*)有意义，那么/'⑴，/(2),…，/■(〃)，…构成了一个

数列｛.A")｝.

②数列的函数表示法及性质

(1)列表法和图象法

与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数：

定义域正整数集N*(或它的有限子集｛1，2,3,,〃｝)

解析式数列的通项公式

自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对

值域

应的一列函数值构成

表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法

(2)数列的单调性

与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前

一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做

递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.

4.数列的通项公式

如果数列｛4｝的第n项氏与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.

例题巩固

例1根据下列数列也』的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.

n2+〃

(1)“丁

(ZI—1)71

(2)%=c°s-2~,

解：(1)当通项公式中的〃=1，2,3,4,5时，

数列｛"J的前5项依次为1，3,6,10,15,图象如图所示.

(2)当通项公式中的"=1，2,3,4,5时,

数列｛4｝的前5项依次为1，0,-1，0,1，图象如图所示.

例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：

⑴―

（2）2,0,2,0,-.

解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，

偶数项为负,所以它的一个通项公式为。“二且二.

n

（2）这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式

为q=（—1严+1.

例3如果数列｛%｝的通项公式为。“=，+2〃，那么120是不是这个数列的项？

如果是，是第几项？

解:令“2+2〃=120,

解得〃=72（舍去），或/2=I0.

所以120是数列｛4｝的项，是第10项.

例4图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形

中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通

项公式.

(1)(2)(3)(4)

解：在图(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,

即所求数列的前4项都是3的指数幕，指数为序号减1.

因此，这个数列的一个通项公式是=

5.数列的递推公式

若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个

式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一

项了.

例题巩固

例5已知数列｛%｝的首项为q=l,递推公式为(〃…2),写出这

an-\

个数列的前5项.

解：由题意可知，

q=1,

七=1+—=1+-=2,

1

6.数列的前n项和

①数列的前"项和的定义

数列｛%｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛%｝的前n项和,记

作，即=q+%+…+an.

②数列的前〃项和公式

如果数列｛%｝的前w项和S“与它的序号/(之间的对应关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的前”项和公式.

③由S.求通项公式

'S,n=l

S1=q,S.T=q+4+…+a”_I(八…2),所以Jco-

例题巩固

例6已知数列｛”“｝的前力项和公式为S“=/+",求｛4｝的通项公式.

解：因为q=，=2,

an~S”-Si

=n2+n-[(n-l)2+(n-l)]

=2n(n・・.2),

并且当〃=1时，q=2x1=2依然成立.

所以｛。“｝的通项公式是%=2”.

课堂练习

1.若数列的前4项分别是-g,-(，:，则此数列一个通项公式为().

A(-1)"R㈠)"C(-1升㈠产

〃+1n72+1n

答案：A

(-»(-D2(-D3

解析：设所求数列为｛4“｝,可得出q“3=----------

1+1%不3+1

(-D4

因此该数列的一个通项公式为%=.故选A.

4+1

2.已知数列也｝满足4“+%=义(〃…1,〃wN),a2=\,S“是｛4｝的前〃项

和，则$21=().

911

A.—B.—C.6D.10

22

答案：A

解析：因为。2=1，所以弓=一3,故

9

s2l=1+(4+«3)+(«4+火)+-+(%o+%i)=5.故选A.

f2।1—i934

3.(1)已知数列⑷的通项公式为乙=而w:n，若数列间为递

增数列，求；I的取值范围；

(2)已知数列也｝的通项公式为求数列｛。“｝的最大项.

17

解析：(1)由已知，只需〃5>〃4，所以几>彳.

〃+13「

(2)由---=----7却，得〃工3,

ann4

所以当〃W3时，数列｛%