专题01锐角三角函数 （3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题01锐角三角函数（3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的概念（重点）知识点2.坡度与坡角（重点）知识点3.正弦、余弦（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值题型2.构造直角三角形求三角函数值题型3.三角函数与实际问题题型4.三角函数与旋转问题题型5.根据三角函数求边长【方法三】差异对比法易错点：没有正确掌握三角函数关系的转化【方法四】仿真实战法考法.锐角三角函数定义【方法五】成果评定法【学习目标】掌握坡度的概念以及一个锐角的正弦、余弦及正切的概念。能够利用三角函数来算计三角形的边长。重点：锐角的正弦、余弦、正切的概念。难点：锐角三角函数的简单应用。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的概念（重点）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．【例1】（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．

(1)求证：四边形是菱形；(2)当，菱形的面积为时，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的判定可得是的角平分线，从而得到，再由平行四边形的性质可得，从而得到，即，进而得到，即可得证；（2）设，则，则，根据勾股定理求出，再由菱形的面积计算出，分别计算出的长，再利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】（1）证明：，，，是的角平分线，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是菱形；（2）解：，设，则，，四边形是菱形，，，，，，，菱形的面积为，，解得：或（不符合题意，舍去），，，，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【变式】．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．知识点2.坡度与坡角（重点）（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．【例2】．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：3×10＝30（米），∴物体所经过的路程为：＝10（米），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．知识点3.正弦、余弦（重点、难点）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．【例3】（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．【变式】（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可求出的值，再根据余弦的计算方法求解．【详解】解：在中，，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理，余弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考期中）在中，若，，，则．【答案】/【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形”，判定是直角三角形，再根据直角三角形中余弦的定义“角的邻边比斜边”，计算即可．【详解】解：∵在中，若，，，∴，∴是直角三角形，∴是斜边，所对的角是直角，即是直角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的运用和余弦的定义是解题的关键．2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为.【答案】/【分析】先利用勾股定理求得斜边的长，再根据余弦函数的定义求解可得．【详解】解：如图所示，

在中，∵，，∴，则．故答案为：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义．3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为．【答案】【分析】根据勾股定理求出，通过证明，即可得出．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，求余弦，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及等角的三角函数值相等．题型2.构造直角三角形求三角函数值4．（2023·广东湛江·统考三模）在正方形网格中的位置如图所示，则的值为．【答案】【分析】过点A作于点D，设小正方形的边长为a，首先根据勾股定理求出，然后根据正弦的概念求解即可．【详解】解：过点A作于点D，如图所示，设小正方形的边长为a，则，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题在网格中考查求锐角的正弦值，掌握正弦的定义以及勾股定理是解题的关键．5．（2023·广东湛江·统考一模）如图，中，，是边上的中线，分别过点C，D作的平行线交于点E，且交于点O，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）过点C作于点F，设，则，由面积相等求出，即可求解．【详解】（1）证明：，∴四边形是平行四边形．∴，又∵是边上的中线，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．∵，是斜边上的中线，∴，∴四边形是菱形；（2）解：过点C作于点F，如图，

由（1）可知，，设，则，在中，，，∴．，∴．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键．题型3.三角函数与实际问题6．（2023春•宣城月考）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．45m D．30m【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵BC＝30m，∴AC＝30×2.5＝75（m），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．7．（2022秋•金安区校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12米 B．米 C．米 D．米【分析】根据题意可以求得AC的长，再根据勾股定理即可求得AB的长，本题得以解决．【解答】解：∵BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，∴，∴AC＝18米，∴AB＝＝＝6（米），故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．题型4.三角函数与旋转问题8．（2023秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为．

【答案】【分析】设点C落在射线上的点处，设，，根据角平分线的性质和旋转的性质可得，进而得到，即可求解．【详解】解：设点C落在射线上的点处，如图，

∵，，.设，，则，∵是的角平分线，∴，∵将绕点A旋转，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵由①②得：，由旋转的性质可知，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出的长是解决问题的关键．9．（2023·浙江·九年级专题练习）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．(1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】（1）解：在中，，在中，；（2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，作交延长线于点，则，

∴，∵，∴，由旋转知，∴，设，则．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋转得，，又因为，所以．情况一：当以为直角顶点时，如图2．

∵，∴落在线段延长线上．∵，∴，由（1）知，，∴．情况二：当以为直角顶点时，如图3．

设与射线的交点为，作于点．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．设，则，∴∵，∴，∴，∴，∴，化简得，解得，∴．情况三：当以为直角顶点时，点落在的延长线上，不符合题意．综上所述，或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似三角形的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·深圳市福田区上步中学校考三模）问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形中，连接可以得到，好学的他发问取的中点，得到的是特殊三角形吗？请说明理由；迁移应用：如图2，在正方形中，点O为的中点，构造正方形绕O点进行旋转，，连接，求的值；联系拓展：如图3，等腰，中，，当绕B点旋转的过程中取的中点M，N，连接，若，且时，直接写出的长度．

【答案】是等边三角形，理由见解析；；【分析】问题背景：证明，则，由，可得，证明，则，由，可证是等边三角形；迁移应用：如图2，连接，由正方形的性质，勾股定理得，，则，，证明，，则；联系拓展：如图3中，连接并延长到K，使得，连接，作交的延长线于J．由，证明四边形是平行四边形，则，，，，，由勾股定理得，，则，证明，则，，证明，则，，，作于，由，，可得，M与重合，则是等腰直角三角形，根据求解即可．【详解】问题背景：解：是等边三角形．理由如下：∵都是等边三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴是等边三角形；迁移应用：如图2，连接．

∵四边形，是正方形，∴，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，∴∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．联系拓展：如图3中，连接并延长到K，使得，连接，作交的延长线于J．

∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，，，由勾股定理得，，∴，∵都是等腰直角三角形，∴，∴，，即，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，即，作于，∴，∵，∴，∴M与重合，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含的直角三角形，余弦等知识．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质．题型5.根据三角函数求边长11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）在中，，，，则的长为（

）A．10 B．24 C．5 D．12【答案】A【分析】根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，在中，

，，，故选：A．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，，也考查了勾股定理．12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（

）

A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果．【详解】解：∵D、E分别是边的中点，，∴，，∴，∴，在中，，∴；故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．13．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，在中，，，，则．【答案】10【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形是边长为8的正方形，是边延长线上的一点，．点在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点，则的长为．

【答案】或【分析】根据正方形的性质得到，，在中，，根据三角函数的定义得到．由，点F在该正方形的边上可知点F在边和上，①当点F在边上时，如图，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角函数的定义得到；②当点F在边上时，如图，同理可证，根据全等三角形的性质得到，求得，，根据平行线的性质得到，求得，过点H作于G，得到，根据三角函数的定义得到．【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形，∴，，在中，，．由，点F在该正方形的边上可知点F在边和上，当点F在边上时，如图，

在和中，，∴，，，，，，，，；当点F在边上时，如图，

同理可证，，，，∵四边形是正方形，，，，，，是等腰三角形，过点H作于G，则，在中，，；综上所述：的长为：或．故答案为：或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．15．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）在中，，，如果，那么．【答案】【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．16．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则．

【答案】【分析】过点作于点G，根据角平分线的性质得：，利用平行线的性质及三角函数正切值得，进而得，在中，根据，得，利用勾股定理得，，利用相似三角形的判定及性质得，再利用相似三角形的判定及性质可得，，进而得，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点G，如图：

平分，，，，，，D是中点，，，，，，，，在中，，，，，根据勾股定理，得，，，，即：，，，，，，，，在中，根据勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．17．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，．以点A为圆心、长为半径作弧，交边于点，取线段的中点、边的中点，连接．若，则线段的长为．

【答案】【分析】连接，，根据作图可知，，根据点E为的中点，得出，根据，求出，根据勾股定理得出，根据直角三角形的性质得出．【详解】解：连接，，如图所示：

∵，，∴，，∵点E为的中点，∴，∴，根据作图可知，，∵点E为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∵点为的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．18．（2023秋·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，．求的大小和的长．【答案】，【分析】根据三角形内角和定理直接求出，利用三角函数求出的长即可．【详解】解：；∵，∴；答：，．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练特殊角的三角函数值．19．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线分别与，的延长线交于点E，F．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，得出，根据即可证明结论；（2）先证明是菱形，得出，根据三角函数定义得出，得出，即，得出，求出，，根据勾股定理得出，，求出，得出，即可求出结果．【详解】（1）证明：在矩形中，，，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵，∴是菱形，∴，∵在矩形中，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．20．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；(2)求证：(3)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证；（3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解．【详解】（1）证明：，，又，；（2），：：，又，；（3）解四边形是矩形，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．【方法三】差异对比法易错点：没有正确掌握三角函数关系的转化21．（2022秋•怀宁县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故选：C．【点评】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于它余角的余弦是关键．22．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，由于tanA＝＝2，可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故选：A．【点评】本题考查互余两角三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键．23．（2023春•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确利用勾股定理求出边长是解题关键．【方法四】仿真实战法考法.锐角三角函数定义1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．2．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．3．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．4．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的长为4，sinA的值为．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，在中，，，垂足为点D，若，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】勾股定理求出，同角的余角相等，得到，即可．【详解】解：∵，，，，∴，，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查求角的余弦值，熟练掌握余弦的定义，是解题的关键．注意利用角的转化．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）在中，，若，，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理求出，根据正切的定义计算，得到答案．【详解】解：由勾股定理得，，则，故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．3．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）在中，已知，，，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得、、、的值，即可判断．【详解】解：在中，∵，，，∴三角形为直角三角形，其中是直角．∴，，，，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，利用边长判断三角形是直角三角形和直角顶点是解题的关键．4．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）在中，，那么的值是（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理可以先求出的长，然后利用解题即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还需熟记三角函数的定义．5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期中）已知，则的值是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】分子分母同时除以化简求值即可得到答案；【详解】解：分子分母同时除以得，，∴，解得：，故选：B；【点睛】本题考查三角函数运算问题，解题的关键是熟练掌握：．6．（2023秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）中，的对边分别为．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．【详解】解：在中，，，，是直角三角形，．故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键．7．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据题意，先证明，得到，，进而得到，由，利用勾股定理得到，根据，得到，在中，根据即可求解．【详解】解：和均为等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及求正切值，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，．∴，，∴，∴∵，，则，设，则，∴解得：或∵，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可．【详解】解：如图，

由正方形的性质可得，，，∴，∵，，∴，由题意知，，，，，∴，，∴，整理得，，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据图象得到，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，，勾股定理求出，即可得到的面积及边上的高，再根据勾股定理求出，由此判断各选项【详解】解：由图2可知，当时点P在上运动，线段的长度为8，即；如图，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，

∴，在中，∴∵，∴，故③正确，④错误；∵，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，故②正确；故选：C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角函数，从函数图象获取信息是解题的关键．二、填空题11．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值为．【答案】【分析】勾股定理计算出，根据直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边，推出，得出的值即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦的定义、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边”是解题的关键．12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则t的值是．

【答案】【分析】取格点，连接交于点，连接，，可得，证明，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，取格点，连接交于点，连接，

∵∴四边形是平行四边形，∴∴，∵∴四边形是平行四边形，∴，∵∴∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，求正切，熟练掌握三角函数的定义将角度转化到直角三角形中是解题的关键．13．（2023秋·江西九江·九年级统考阶段练习）如图，在菱形中，，，点E在边上，，点P从点A出发，沿着的路线向终点B运动，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长可以是．

【答案】13或或【分析】根据题意进行分类讨论：①当点E在上，此时，，②当点P在上时，此时，③当点P在上时，此时；根据菱形的性质，勾股定理，等腰三角的性质，分别进行解答即可．【详解】解：①当点E在上，此时，，

②当点E在上，此时，，

过点E作于点H，则，，∵，∴，∴，∴；

③当点P在上时，此时，过点P作，交延长线于点G，

∵，，∴，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：（舍），∴，∴，∴

综上：的长可以是13或或．故答案为：13或或．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握菱形四边相等，正确画出辅助线，进行分类讨论．14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）在中，，，，则的值为．【答案】【分析】直接利用正切的定义求解．【详解】解：在中，,∴．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是答题的关键．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于．

【答案】【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：延长交于点D，

∵点G为的重心，∴是中线，∴，∵∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．16．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则．

【答案】/0.5【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．【详解】解：中，，，由折叠的性质可得，，，．设，则，在中，，，解得，，，故答案为：．【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．17．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）在中，，点D是边上一点（不含B、C两个端点），将沿折叠得到，当所在的直线与的一边垂直时，点D到边的距离是．

【答案】或【分析】分两种情况：当时，由折叠得：，可推出，可求得，再运用三角函数定义即可求得；当时，可证得、D、E在同一条直线上，进而得出，求得，再运用三角函数定义求得即可．【详解】解：当时，如图1，过点D作于E，

在中，，，由折叠得：，，，，，，，，，即，；当时，如图2，过点D作于E，

由折叠得：，，∴、D、E在同一条直线上，，，，，，，，，即，；当时，点D与点B重合，不符合题意；综上所述，点D到边的距离是或；故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角函数定义等，注意分类讨论，防止漏解．18．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，交于M点，交于N点．下列结论：①；②若F是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）．

【答案】①③/③①【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，可得，根据正方形的性质证明，在中，由勾股定理，即可证明①；过A作，交延长线于G，由（1）同理可得，，设，则可表示出设，在中，由勾股定理可得，设，则，即可证明②；根据条件可证明，进而证明，即可证明③．【详解】解：①将绕点A逆时针旋转得到，连接，

∵，∴，∵绕点A逆时针旋转得到，∴，，又∵，∴，∴，而，在中，，∴，故①正确；②过A作，交延长线于G，如图：

由（1）同理可得，，∴，设，∵F是的中点，则，在中，，∴，解得，设，则，∴，在中，，∴，故②不正确；③∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．三、作图题19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形：(2)画一个面积为8的，且；(3)请直接写出的正弦值．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）把绕点逆时针旋转得到，则等腰直角满足条件；（2）把点向右平移4个单位得到点，则点满足条件；（3）利用勾股定理计算的长，即可得出结论．【详解】（1）如图，为所作；（2）如图，为所作；

（3）．【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了解直角三角形．四、证明题20．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，在四边形中，对角线垂直平分对角线，与相交于点，点是上一点，且．(1)求证：四边形AECD是菱形．(2)若点是的中点，，则的值为．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由垂直平分，得出，证明，得到，从而推出四边形是平行四边形，再由即可推出四边形是菱形；（2）由菱形的性质可得，由勾股定理可得，由点是的中点得出，从而即可得出答案．【详解】（1）证明：垂直平分，，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形．（2）解：四边形是菱形，又，，，，点是的中点，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．21．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．

(1)求证：；(2)当时，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据已知得出，，进而可得，根据两组对应边成比例，夹角相等，证明；（2）根据相似三角形的性质得出，过点作于点，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解．【详解】（1）证明：∵，且与的面积比为．∴，∴，∴在与中，，．∴．（2）解：∵，∴，又∵，，．∴．∴，如图所示，过点作于点，

∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握相似三角形的性质与判定，求正弦是解题的关键．22．（2023秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在中，点E，F分别在上，且，连结，，且与相交于点O．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可；（2）先证明四边形为菱形，利用菱形的性质和正切的定义，求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，即：，又，∴四边形是平行四边形；（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴平行四边形为菱形，∴，，，∴，∴，∴，∴菱形的面积为．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握平行四边形的判定方法和菱形的判定方法，是解题的关键．23．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在矩形