第14章整式的乘法与因式分解 讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第14章整式的乘法与因式分解讲义-数学八年级上册人教版知识梳理知识梳理一、知识框架:整式乘法整式乘法整式除法因式分解乘法法则二、知识梳理：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：⑵幂的乘方：⑶积的乘方：2.整式的乘法：⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：⑵完全平方公式：；4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：②完全平方公式：③立方和：④立方差：⑶十字相乘法：⑷拆项法⑸添项法典例分析典例分析1．计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)0(3)2(4)【分析】本题考查了幂的混合运算，平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式等，熟知运算法则并准确进行运算是解题关键．（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算即可；（3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式分别计算即可；（4）根据平方差公式，完全平方公式分别计算即可；【详解】（1）解：原式．（2）解：原式；（3）解：原式．（4）解：原式．2．我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）：因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．请用上述方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键；（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；（2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；【详解】（1）解：；（2）．．3．把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，，所以，即，，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．(1)①若，，且，则________；②我们知道，若，则________．(2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)①1；②15(2)5【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．（1）①先根据求出的值，再求平方根即可得；②将和看作整体，利用完全平方公式计算即可得；（2）先根据题意得出，，再根据求解即可得．【详解】（1）解：①∵，，∴，∴，又∵，即，∴，故答案为：1；②∵，，∴，故答案为：15．（2）解：由题意可知，，，则图中阴影部分的面积为，答：图中阴影部分的面积为5．精选好题精选好题一、单选题1．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．多项式的公因式是（

）A． B． C． D．3．下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．4．下列算式中能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．5．已知，则的值是（

）A． B． C． D．6．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．7．若是完全平方式，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．8．通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）A． B．C． D．二、填空题9．计算：．10．计算：．11．已知：，则．12．已知，那么的值是．13．若的一个因式是，则另一个因式为．14．若多项式是完全平方式，则．15．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是．16．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是．三、解答题17．因式分解：(1)(2)．18．分解因式：(1)；(2)．19．先化简，再求值．，其中．20．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：这种因式分解的方法叫做分组分解法．(1)请用上述方法因式分解：；(2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由；(3)已知，求的值．21．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第6个等式：______；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明其正确性．22．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________；(2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：题号12345678答案DCCDCDCA1．D【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法与除法的运算法则逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；D、，则此项正确，符合题意；故选：D．2．C【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可．【详解】解：多项式的公因式是，故选：C．3．C【分析】本题考查了整式的乘方．根据整式的乘方运算法则求解即可判断．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：C．4．D【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．【详解】解：A、不是两个数的和与这两个数的差的积，故不符合题意；B、是和的和与和的积，故不符合题意；C、可化为，故不符合题意；D、是和的和与差的积，故符合题意；故选：D．5．C【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，根据，可得，可得，再利用平方差公式可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C．6．D【分析】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．【详解】解：A．，该选项不符合题意；B．没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；C．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；D．是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意．故选：D．7．C【分析】根据完全平方公式即可求出答案．本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．【详解】解：，，或．故选：C．8．A【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积为两个正方形的面积之差，还可以表示为两个梯形的面积，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由题意得：图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，∴，故选：A．9．【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握是解题的关键．将式子变形为，再利用积的乘方的逆运算计算即可．【详解】解：，故答案为：．10．【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．将变形为，利用平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．11．【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将变形为，利用降次的思想求即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．12．1【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，先把原式整理为，再把代入化简计算，即可作答．【详解】解：∵∴故答案为：113．【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，结合题意列式计算，即可作答．【详解】解：∵的一个因式是，且∴故答案为：．14．16【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可．【详解】解：∵多项式是完全平方式，∴，故答案为：16．15．等边三角形【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键．先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答．【详解】解：，，，，，，，，是等边三角形．故答案为：等边三角形．16．2024【分析】本题考查了单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键，根据单项式的乘除法计算即可解答．【详解】解：∵，∴等号右边的数字依次为等号左边代数式中x，y，z的次数∵∴他输入的密码是2024．故答案为：2024．17．(1)(2)【分析】本题主要考查了分解因式：（1）先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．18．(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式以及提公因式是解本题的关键．（1）提取公因式分解即可；（2）先将原式变形为，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．19．，33【分析】本题考查了整式的化简求值和非负数性质．根据多项式的乘法进行化简，根据非负数的性质求得的值代入化简结果进行计算即可求解；【详解】解：，∵，，解得；原式．20．(1)(2)是等边三角形，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定：（1）仿照题意分为两组，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解；（3）把原式分组得到，据此求解即可．【详解】（1）解：（2）解：是等边三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形；（3）解：∵，∴．21．(1)(2)第个等式为，，理由见解析【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式：（1）观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，即可求解；（2）分别计算等式左边，右边，即可验证．【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第6个等式为：；（2）解：第个等式为：，理由如下：等式左边，等式右边：，，成立．22．(1)(2)12【分析】本题考查完全平方公式的几