生活中的概率统计（知识拓广）-人教版

生活中的概率统计

古典概型的定义

如果随机试验满足两个条件：（1）有限性：样本空间所包含的基本事件仅

有〃个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型

称为古典概型.

在古典概型中，设随机事件A含有机个样本点，那么事件A发生的概率定

义为

m

尸（A）=一.

n

古典概型的基本模型——摸球模型

一.无放回地摸球模型

设袋中有4只白球和2只黑球，现从中无放回地依次摸出2只球，求这2

只球都是白球的概率。

解：设人=｛摸得2只都是白球｝

解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。则P（A）=^=竺?=4。

6x55

解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。则P（A）=与=2。

C15

解法三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。

设一=｛第i次摸到白球Mi=1,2）,则

432

P（A）=P（8出2）=口用）尸（星回）=/xw=g。（乘法公式）

二.有放回地摸球模型

袋中有4个红球，6个黑球。从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、

第三次摸到红球的概率。

解法一：用古典概率方法求解。

P（A）="==0.144。

103

解法二：令A,=｛第z•次摸到黑球｝（i=l,2,3）。

—独立性—664

P（A）=P（AA2A3）=P（4）P（42）P（A3）=5x正义元=0.144。

摸球模型的应用：

抽奖问题1某班级只有一张晚会入场券，而有10位同学都要参加，教师采用

抽签的方式来确定这张入场券给谁。这跟抽签的顺序有关吗？

分析：设给10个同样大小的球编号，抽到I号球得晚会入场券。

设4：第i个人抽到1号球（i=l,2,…，10）。

则P（A）=?

P（4）=P（A）P（4H）+P（T）P（4同=0+.[=:（全概率公式）

p（A）=P（4•工…即4）=P（QP（布）P（丽・私••P（AJ4…4

9810-z+l

（乘法公式）

109lO-i+210-z+l10

由上式可知：当一个人抽签时，若他前面的人抽的结果都不公开时，那么

每个人抽到的概率都相等。

抽奖问题2若某班级有a+b个人，其中有。个人可以抽到晚会入场券，那么

他们抽到入场券的概率与抽的次序有关吗？对抽奖人有何约定？

分析：设4：第i个人抽到入场券（z=L2,a+b）□

p（a）=P（A1A2）+P（AlA2）=尸⑷尸52%）+P（羽尸⑷4）

---------------------------1-------------------------二-----------

a+ba4-Z?a^-b-la+b

P（4）=?

电话号码问题在七位数的电话号码中，求数字0恰好出现了三次的概率。

分析：把0看作红球，1〜9都看作黑球，本例相当于袋中有1只红球，9只黑球

采用有放回摸取方式，从中摸球7次，求其中恰有3次摸到红球，但第一次不

能摸到幻球的概率。

骰子问题掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。

分析：同时掷3颗骰子和先后掷1颗骰子3次效果是一样的。掷一次骰子出现3

点，可看成从装有编号为1〜6的6个球的袋子中，有放回地取一次球，取出的

是3号球。所以本问题的概率等于从装有编号1〜6的6个球的袋子中，有放回

地取球3次，求3个球的编号之和为4的概率。

投球问题把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概

率，其中假设每个杯子可放任意多个球。

解：先求4个球放入3个杯子的基本事件总数。因为每个球都可以放入3个杯

子中的任意一个，有3种不同的放法。又因为一个杯子中放入的球数无限制，

所以4个球放入3个杯子的基本事件总数为3、第1、2个杯子中各有2个球所

包含的基本事件数为从4个球中任取2个球放入第1个杯子，再将剩余的2个

球放入第2个杯子，即共有

分房问题设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去

住（〃WN）,求下列事件的概率：

（1）指定的n个房间各有一个人住；

（2）恰好有n个房间，其中各住一个人。

分析：因为每一个人有N个房间可供选择所以n个人住的方式共有N",它们是

等可能的。

（1）指定的n个房间各有一个人住，其可能总数为n个人的全排列〃!，于是

n\

Pi=--°

N"

(2)恰好有n个房间，其中各住一个人：这n个房间可以在N个房间中任意选

取，其总数有C£，对选定的n个房间，按题(1)的讨论，所以

%=，卡。

生日问题某班有50个学生，求至少有两人在同一天生日的概率。

分析：把学生看成“球”，一年365天看成是杯子。此问题可转化为把50个球

放入365个杯子中去，求至少有一个杯子中至少有两个球的概率。用对立事件

求之。P(A)=1-P(用

「50

565

P(A)=1—«0.97

36550

问：其中0.97如何解释?

思考题：某班有20个学生都是同一年出生的，求有10个学生生日是1月1

日、另外10个学生生日是12月31日的概率。

分析：把学生看作“球”，一年365天看成365个“杯子”，此问题即归属于

将20个球放入365个杯子中去的概率模型，原问题转化为求第1和第365只杯

子中各有10个球的概率。

「10「10

P(A)=^^。

36520

生日问题求500人中至少有1人的生日是10月1日的概率。

解：设人=｛500人中至少有1人的生日是10月1日｝。

纥=｛500人中恰有i个人生日在10月1日｝,一互不相容(i=l,2,…,500)

5005005005P91\//^500-rorj500-/\

解法一：P(A)=P(|JB,)=Y)=X--~«

1=1f=i/=]303

其中把P(B,)年成500个球放到365个杯子中去，10月1日这个杯子恰

有i个球的概率。

解法二：用逆事件处理。

364500

P(A)=1—P(6°)=1—

365500

解法三：用事件的独立性。设。尸｛第i个人生日在10月1日｝0=1,2,…,500)。

显著G相互独立，故

500_500—

&A)=1-尸(8。)==1-p(nG)=1-nP(G)

i=l/=!

,364364364,364500

365365365365500

解法四：用贝努利概型。把对每个人的生日是否在10月1日进行观察看成是一

次试验，此进相当于进行了500次独立试验，每次试验结果只有2个：“是”

或“不是”，且每个试验结果为“是”的概率都是-匚。令J表示500重贝努

利试验中“是”发生的次数，则

P(A)=PC21)=1—P©=0)=1—C；。。(2)。(1一-i-)500

365365

=1_(空产。

365

知识点：

贝努利概型

如果试验E只有两个可能的结果：4与3,并且P(4)=p(0<〃<1),把

E独立地重复进行〃次的试验构成了一个试验，这个试验称作〃重贝努利试验

或贝努利概型.

在n重贝努利试验中事件A出现k次的概率为

P(4)=C,：p，l—p尸k=0,l,2,-,n

她笨拙吗？

有5个女孩，她们去洗餐具，在打破的4个餐具中有3个是最小的女孩打

破的，因此人家说她笨拙。你能否运用概率统计原理为她申辩，说这完全可能

是碰巧？

分析：假设每个女孩打破餐具的概率相等，那么打破4个餐具中同一人打破3

14

个的概率为p(A)=C\(1)3x£=0.0256o

根据小概率原理，这概率很小，可以认为在一次试验中是不可能发生的。

这意味着每个女孩打破餐具的概率不相等，也就是说，最小的女孩打破餐具的

概率要大些。

小概率原理概率很小的事件在一次试验中认为是不会发生的。

碰运气能否通过英语四级考试

大学英语四级考试是为全面检验大学生英语水平而设置的一种考试，具有

一定的难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、综合填空、写作等。

除英文写作占15分外，其余85道多种答案选择每题1分，即每一道题附有

A,B,C,D四个选择答案，要求考生从中选择最佳答案。这种考试方式使有

的学生产生想碰运气的侥幸心理，那么靠碰运气能通过英语四级考试吗？

分析：假定不考虑英文写作所占的15分，那么按及格成绩60分计算，85道选

择题必须答对51道题以上。如果单靠碰运气、瞎猜测的话，则每道题答对的概

率为1答错的概率是3:。显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答

44

85道选择题看成85重贝努利试验。

设随机变量J表示答对的题数，则自服从参数"=85,p=0.25的二项分

布，其分布律为

P(4=k)=C：pR-p)…k=0,l,2,-,n

若要及格，必须JN51,其概率为

85

尸(维51)=X。,：0.25*(1-0.25尸B8.74x10-12。

女=51

这个概率非常小，因此可以认为，想靠碰运气通过四级考试几乎是一个不

可能发生的事件，它相当于在一千亿个想碰运气的考生中，仅有0.874人能通

过四级考试。

几何概型

在奖品的诱惑面前要冷静

在一所小学的门口有人设一游戏(如图)吸引许多小学生参加。小学生每

转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文

具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一

台。不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这

是为什么呢？

利用儿何概率可以解释这个问题。由于指针位于圆周

上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm,阴影部分位

于圆周上的每一弧长为2cm,由儿何概型及指针的对称性

知，指针落于阴影上的概率为

2CD2x2

尸(A)==0.08

圆周长/250

即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08o由于每次转动可看成相互独立的随机

事件，设A产{指针与阴影连续重合i次},则

44)=0.08,P(4)=0.082=0.0064,

尸(4)=0083=0.000512,p(4)=0.084=0.00004096o

可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064,那

么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。由小概率原理可知，只参加一次游

戏，几乎不可能中奖。所以，这是一个骗人的把戏。

知识点：

几何概型的定义

设随机试验的样本空间是某一个区域G,G的测度(或长度，或面积，或

体积)为。，并设随机点等可能地落入G中的任意点。即点落入S中的任意

一个小区域4的可能性仅与4的测度成正比，与A在G中的位置及形状无关.记

“点落入小区域A”这个随机事件记为P(A),贝U

DZ..区域4的测度

区域G的测度

这一类概率通常称为几何概率.

概率为零的事件不一定是不可能事件

不可能事件的概率一定为零，即若4=0,则P(A)=0。但反之不然，概

率为零的事件却不一定是不可能事件，即若尸(A)=0,则不一定有A=0。

例如，在儿何概率中，设0={(%/)：/+>2<4},

A={(x,y):x2+y2=1}o。为圆域，而A为其中一圆周。则

D,..A的面积0.

。的面积4万

显然，A是可能发生的，即若向Q内随机投点，点落在圆周/+y2=l上的情

况是可能发生的。

又如，对于连续型随机变量有尸4=。)=0,但q="}是可能发生的,

即4可以取到值

仅在样本点有限(比如古典概型)或样本点可数这种特殊的情况下，若

P(A)=O,则A=0。

“犯人”的机智

有一个古老的传说，一个绅士因看不惯王爷的所作所为而得罪了他，并被

关进了监狱，众人替他求情，王爷就给他出了个难题：给他两个碗，一个碗里

装50个小黑球，另一个碗里装50个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，要他先

选择一个碗，并从这个碗里拿出一个球。如果他拿的是黑球，就要继续关在监

狱；如果他拿的是白球，就将获得自由。但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望

的任何方式把球进行混合。这个绅士两眼直盯着两个碗，因为关系到他今后的

人生和众人的情意，他不得不慎重考虑。王爷说：“这就要看你的造化了，你

挑一个碗并从里面拿出一个白球的儿率是50%。”

绅士紧皱眉头，“天无绝人之路”，灵机一动，只见他把所有的球都混合

在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，对王爷说：“现在我获得

自由的儿率为75%。”

的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概率为,，如果他选了另一个

2

碗，他还能以竺(接近L)的概率从碗里拿出一个白球，这样他获得自由的机

992

会提高到'+'x竺。2。

22994

但他并不因此而满足，因为他仍有’的几率选到黑球。怎样才能把获释的

4

机会再扩大一点呢？耍小聪明的时候到了，思维犹如奔驰的野马，“允许我用

'任何’方式把球混合”，急中生智，突然，他大叫一声：“这一下，我有救

了。”只见他把白球覆盖在黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，这样他获

释的机会为100%了。王爷大叫一声：“好，君无戏言，立刻放人。”

这个故事的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球覆盖在黑球上，那

是运用智谋。

全概率公式：设用…是一列互不相容的事件，且有0鸟=。，

(=1

P(6J>0,则对任一事件A,有尸(A)=fp(8,)P(A•)。

可见，概率正是生命的指引。概率论是“生活真正的领路人，如果没有对

概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为”。

赌注押在哪？

17世纪末，法国的ChevaliesDeMere注意到在赌博中一对骰子抛25次，

把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”有利。但

他本人找不出原因，后来请当时著名的法国数学家Pascal才解决了这一问题。

这问题应如何解决呢？

解：题中一对骰子抛25次，是指2颗同样的骰子同时抛掷，共抛25次。“至

少出现一次双六”是指抛25次中至少出现一次数对(6,6)(记为事件B),“完

全不出现双六”是指抛25次出现的数对完全没有(6,6),它是B的对立事件

Bo因此，题中把赌注押到“至少出现一次双六”比押到“完全不出现双六”

,——1

有利的意思，即为P(3)>P(B)。因为P(8)+P(B)=1,故只要证明P(B)>5。

一对骰子抛1次有36种情况，其中只有1种是(6,6)。因此一对骰子抛1次

出现双6的概率为上。

36

设-={第i次抛掷时出现对(6,6)}(i=1,2,…6),则有

1——35

P(A，)=去，

JoJo

一对骰子抛1次，可视为1次随机试验，一对骰子抛25次可视为25重独

立贝努利试验。

25

B=UA.

f=l

25____________________

p（B）=p（ua）=i-P（A&…%）=i-p（a）p（A?）…p（A25）

1=1

351

=1-(—)25=0.5045>-

362o

注：进一步讨论投掷次数对结论的影响也是很有趣的，值得考虑一下的是为什

么正好掷25次呢？掷的次数少了或多了会怎样呢？这只要在上面的不等式中把

25换成n,看会出现什么结果，要决定n,使

«1

P(B)=P(UA)>-

/=12

P(B)=P(0A,)=1—尸(］不…不)=1—P(T)尸(无)…尸(工)

即

362

解之得n>24.67

故要使尸(⑷〉尸(B),抛掷25次是起码的要求，少于25次不行。当然抛掷的次

数超过25次越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利，且

..f,,35、

问1-（—）n=1

奖金如何分配才算公平

问题在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘，谁获得

全部奖金。设甲、乙二人的球技相当，现已打了3盘，甲2胜1负，由于某特

殊原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平？

分析：方案一：平均分，这对甲欠公平。方案二：全部归甲，这对乙不公平。

方案三：按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理，双方可以接

受的方法，即甲拿4,乙拿上。仔细分析，发现这也并不合理。理由如下：设

33

想继续比赛，要使甲、乙有一个胜3盘，只要再比2盘即可，结果无非是以下

四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙

其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜，其余类推。把乙比赛过的3盘与

上述四种结果结合，即甲乙打完5盘，可以看出前3个结果都是甲先胜3盘，

因而甲可得1000元，只有最后一个结果才由乙得1000元。在球技相当的条件

下，上述四个结果应有等可能性。因此，方案四是因为甲乙最终获胜可能性的

大小这比为3：1,所以全部奖金应按制胜率的比例分，即甲分750元，乙分

250元，才算公平合理。

用全概率公式计算：若再比一盘，甲乙胜的概率各为工。若甲胜，由甲得全部

2

奖金；若乙胜，则甲乙各胜2盘，奖金平分。所以有

甲得奖金='x1000+,X500=750（元）。

22

这个问题实际上是利用了加权平均数的方法，即求均值的思想方法，在决

策分析中经常用到。

数学期望（均值）：

若离散型随机变量自可能取值为4（i=1,2,…），其分布列为

.

Pj（i=l,2,…），则当»山＜+8时，称自存在数学期望，并且数学期望为

»=]

8

E&=o

/=1

如果之同P,=+8,则称g的数学期望不存在。

数学期望应用举例

承包工程问题某工程队承包一项工程。若三天完成可获利10000元，四天完

成可获利2500元，五天完成要罚款7000元。由以往经验知：获利金额4的分

布列为

4100002500-7000

P152

888

问承包这种工程平均可获利多少元？

分析：假设承包这种工程N项，其中有小项获利10000元，有的项获利2500

元，有出项获利-7000元。贝汁%+勺+的=1*

则承包这N项工程平均每项获利=10°°°%+250°生+-7000%

NNN

=10000X0+2500X”+（-7000卢

NN、JN

[52-

=10000X-+2500X-+（-7000）x-=1062.5（元）

88'78

其中我们注意到:生是对应随机变量取相应值的概率。

N

商店进货问题：

已知顾客对商店中某种食品每天的需求量J（单位：袋）的分布如下：

"012345678、

0.050.100.100.250.200.150.050.050.05

每出售一袋食品商店可获利4元，但若当天卖不完，每袋食品将损失3元，商

店希望利润达到极大，那么每天对这种食品应进货多少袋？

由于对该食品的需求量是随机的，因此事先无法确定利润，也无法使某天

的利润达到极大，但由于商店天天营业，可以通过控制进货使该食品的平均利

润达到极大。

解:这种食品平均每天的需求量

=0X0.05+1X0.1+2X0.1+3X0.25+4X0.2+5X0.15+6X0.05+7X0.05+8X0.05

=3.65(袋)

开门次数问题：

某人的一串钥匙有n把，其中只有一把能打开自己家的门.当他随意地试用这

串钥匙时,求打开门时乙试用过的钥匙数的数学期望.假定

(1)他把每次用过的钥匙分开；(2)他每次用过的再混杂在这串钥匙中。

解：先求分布列，再求数学期望.

(1)产化=0=壮.匕…^=1k=l,2,……,n

nn-1n-k+2n-k+\n

〃11+〃

造2腔厂F

(2)前.k-l次都没有打开，第k次才打开.所以

…8

*n-l

令—=t

n-I1、A一1n13

=（o<t<i）

〃7〃k=\

12

—n=n

n

这个题目也给出了儿何分布数学期望的•种求法.

预测录取分数线和考生考试名次

当今社会，考试作为一种选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试

过后，考生最关心的两个问题是：自己能否达到最低录取分数线？自己的考试

名次如何？

招工问题某公司在某次招工考试中，准备招工300名(其中280名正式工，

20名临时工)，而报考的人数是1657名，考试满分为400分.考试后不久，通

过当地新闻媒介得到如下信息：考试总评成绩是166分，360分以上的高分考

生31名.某考生A的成绩是256分，问他能否被录取？如被录取能否是正式

工？

解先来预测一下最低录取分数线，记该最低分数线为X。。

设考生考试成绩为则J是随机变量，对于一次成功的考试来说，J应服

从正态分布。本题中，&〜N(166Q2),则〃=:—166〜N(O,I)

(J

因为考试成绩高于360分的频率是一匕，所以

1657

“八、〜360-166、31

P(4>360)=P(r)>--------------)-

（T

于是P(0<^<360)=P(0<77<360-166)«1---=0.981

a1657

查正态分布表知，360~166-«2.08,即(7x93。

(7

所以^~W(166,932)o

因为最低录取分数线X。有确定应使高于此线的考生的频率等于能,即

产300

(J>x0)=P(7>入\66)x

1657

所以P(0WJ</)=P(0W〃W\；6)x1_=0.819

查正态分布表，得演)一166圣091,求得%=251。

93

即最低录取分数线是251。

下面预测考生A的考试名次。他的考分x=256,查正态分布表知,

P化>256)=P(〃>256^166)=1-①(0.968)a1-0.834=0.166

这说明，考试成绩高于256分的频率是0.166,也就是说成绩高于考生A的人数

大约占总人数的16.6%。所以，考试名次排在A之前的人大约有

1657x16.6%=282

即考生A大约排在第283名。

从以上分析得出：最低录取分数线251分低于考生A的分数，所以，考生A

能被录取。但因其考试名次大约是283名，排在280名之后，所以，被录取为

正式工的可能性不大。

正态分布(又称Gauss分布)：

(x-〃)2

1------

设r.vj的概率密度函数为p(x)一22b2—00<x<+00

其中〃、O•为参数，CT>0o

则称r.vj服从参数为/J,a2的正态分布，记为r.vJ~N(

正态分布密度函数p(x)的性质：

(1)在直角坐标系内，p(x)的图形呈钟形；

(2)在x=〃处取得最大值p(〃)=；

J2乃CT

(3)关于直线x=〃对称，〃为J的平均值；

(4)在x=4+0■处有拐点；

(5)当x->±oo时，曲线以x轴为渐近线；

(6)当。固定，改变〃的值，则图形沿着X轴平行移动，而不改变其形态，故

〃称为形状参数；而当〃固定，当。的值变大时，最大值p(〃)变小，曲线变得

平缓；当。的值变小时，最大值p(〃)变大，曲线变得陡峭，故称b为形状参

数。

当〃=0,<7=1时，4〜N(0,l),称为标准正态分布。标准正态分布的密度

函数记为°(x),分布函数记为①(x)。

①(x)+①(—x)=1；0(0)=1/20

若r.vj〜NT,，)，则标准化r.v~~甚〜N(0,l)。由此，要计算正态随机

变量的概率，可以利用标准正态分布表进行计算：

Pg“<冷)=①(^^)-0(^^-)o

(ja

慎之又慎的可靠性理论

可靠性，顾名思义，就是一个产品在规定的时间内，在规定的条件下，完

成规定任务的可能性。许多设备，特别是军工设备，必须保证其有效性。以防

空导弹为例，雷达发现敌机入侵到敌机临空时间是“规定的”，只有若干分

钟。防空导弹的发射由设备本身的性能所决定，也需要人力和物力的各种配

合，这也是“规定的”。至于规定的任务当然是导弹设备不发生故障，能将敌

机拦截成功。因此，把防空导弹在执行任务中不发生故障的可能性，用一个数

字(概率)来加以表示，就是这一“防空设备”的可靠性。

导弹是一个复杂系统，它由许多零部件组成。复杂系统的可靠性需要零部

件的可靠性来保障。一个小小零件的不起眼的故障导致整个系统失败的例子数

不胜数。1962年美国发射火星探测卫星失败，就因为软件的一个字母出错。

一个有1000个零件组成的系统是常见的。假如每个零件的可靠性是

0.999,即只有千分之一次品率，而且各零件之间的故障出现相互独立，那么

任何一个零件的失效，将导致整个系统的失效。此时，全系统的可靠性为

O.9991000*0.368。

这就是说，如果零件厂的产品的正品率达到0.999,1000个零件组成的系

统的可靠性还不到三成七，这是何等的可怕。

第二次世界大战中，美军对日本作战时使用的电子设备暴露了很多问题。

海军用的电子设备70%发生故障。轰炸机电子设备的使用平均不到20小时就

出故障。1943年，美军设立了真空管设备的可靠性研究机构。对可靠性研究起

真正推动作用的是美国在朝鲜战争中的失败经验。那时，美国国防部每年为维

持电子设备所花费用竟超过了采购这些设备费用的10倍。这种反常现象使美国

军方真正认识到可靠性的重要。1952年，美国国防部成立了“电子设备可靠性

顾问委员会”(AdvisoryGroupOfReliabilityofElectronicEquipment,简称

AGREE),以军用电子设备为中心开展了9个方面的研究，包括如何建立电子

设备的可靠性指标，如何通过试验证明达到预定的可靠性指标，一直到研究包

装运输的可靠性，并制定了相应的检定标准。这些标准都先后成为现在通用的

国际标准。直到今天，AGREE标准仍有相当大的参考价值。可靠性导致生产的

“军用标准”。符合美国军用标准成为可靠性的代名词。很多美国和欧洲、日

本的生产厂家都以能按美国军用标准提供产品为荣。

1962年，美国和苏联在加勒比海进行导弹对峙。美国进一步认识到导弹的

可靠性建立在集成电路的可靠性之上。在I960年，美国的集成电路可靠性提高

了一到两个数量级。民兵II型导弹的可靠性较民兵I型导弹的可靠性提高了许

多倍。据报道，民兵H型导弹的可靠性改进的费用高达60.5亿美元，比民兵I

型导弹的研制费用51亿美元还要多。可见，提高可靠性需要大投资，要舍得下

本钱。

我国的可靠性研究也是和国防需要密切相关的。“两弹一星”的成功凝聚

着许多工程技术人员的心血，也包括无数工人的精心制作。我国的火箭发射有

很高的成功率，这要归功于党和国家各级领导对可靠性的高度重视和精心组

织，同时也是可靠性研究的结果。

可靠性研究不仅适用于军用产品，也适合民用产品。是否重视可靠性研

究，是一个国家、产业、工厂所有领导都必须重视的问题。作为领导来说，极

为重要的是要有决心和勇气发现自己产品的薄弱环节。有一个实际的例子。两

家工厂生产同一种设备，国家要求寿命为2000小时。甲厂的样机达到2000小

时之后，再继续进行长寿命实验，发现在3000小时左右出故障的情况，并加以

改进。以后又发现在5000小时寿命会出现的故障，再加以改进。这样，在批量

生产时，保证产品的2000小时寿命就绰绰有余。另外的乙厂，生产的样机也达

到了2000小时寿命，因急欲完成任务，就立即投入批量生产。由于质量不可能

和样机完全一样，结果一部分产品寿命达不到2000小时，与别的设备配套时，

把别的设备也损坏了。结果用户退货索赔，乙厂损失严重。

进入21世纪的中国，科技含量、质量水平更加严峻地摆在人们的面前。可

靠性研究的普及将是一项迫切的任务。

一般电子产品的可靠性函数为：

R(f)=e"是正数，表示故障率。

当t=0时，R(t)=e^=l,当t变化时，可靠性随时间指数式地快速下

降。故障率4越大，可靠性下降就越快。

例设飞机的寿命T具有指数分布，即可靠性函数如上。如果每次飞行任务

为10小时，要求“万无一失”。问：飞机的故障率4要求为多少？

“万无一失”指在1万次任务执行中，出故障不到1次，亦即可靠性在

0.9999以上，所以要求一次飞行10小时的可靠性超过0.9999o因此

P(T>10)=7?(10)=e-uo>0.9999。

解得4<10)

即飞机的故障率要小于IO,。也就是说，飞机的寿命(正常工作时间)应

为10万小时。

作为一台整机，需要将整机的可靠性指标分配给各个零部件。要整机寿命

t,必须每个部件的寿命都超过t。即

P(T>t)=P(Ti>t)P(T2>t)-P(Tn>0

R(t)=P(T>r)=e"=e^'e^'•••*""=/如冬…曾

于是我们有

4=4+丸2+••,+41©

这样，我们就能把整机的故障率要求分解为每个零部件的故障率要求。

例某规格型号的电视机使用的电子元件的数量和故障率要求见下表。求此

种电视机的故障率和平均使用寿命。

故障率入

所用电子元器件名称序号:用量m,(单位桃丸

10Y/小时)

真空管11534510

二极管224.59.0

整流器324.59.0

固定电阻4850.043.4

可变电阻571284

云母电容器661.59.0

陶瓷电容器7310.515.5

电解电容器8154.466

纸电容器9221.434

变压器1044.016

线圈1194.036

开关1237.021

其他（灯泡，接插件……）.

13总共20

总和2=813X10-6/小时

因为乃是第i个部件的个数，所以叫4是第i个部件引起的故障率。总故

障率是各部件故障率的总和。所以有

4=8.13x10-4

f=l

平均寿命为8=工=1230（小时）。

A

1980年的黑白电视机大体上就是这样的可靠性水平，每1万小时约有8次

故障。当然，经过努力，我国目前的电视机故障率已经大大下降了。达到万分

之一或更低。

可靠性研究是一门丰富多彩的学科。除了描述系统可靠性的数量指标需要

仔细确定之外，如何提高可靠性的努力则更为重要。故障树分析法（FTA）将

系统画成逻辑框图，显示各种故障之间的关联，找出发生故障的最基本原因，

然后逐一加以解决。例如研究锅炉爆炸事件T。造成爆炸的第一层原因A,B,

C…他们彼此间的关系是只要一种原因便可引起爆炸，这样的逻辑关系是

“或”，可用加号“+”表示，如果A的发生是由4*2,A3三种原因同时发生

才能发生，那么这三者和A原因的关系是“与”，用乘号“•”来表示。这样

一步一步分拆下去，就会形成一个倒立的树形图。最下面一层（用圆圈表示）

的是基本原因，整个可靠性工作即从此开始。

这种起源于20世纪60年代的技术，已广泛用于宇宙航行、核电站运行等

领域。它直观，便于操作。但是编制这样的图形相当复杂。一个系统可能发生

的故障可能性成千上万，彼此关系错综复杂。许多情形下，人力往往无法完

成，得由计算机程序帮助执行。

找到原因之后，最直接的工作是“替换修理”。零部件到时一律更换，以

保证可靠性。至于如何换法，就是技术层面的东西了。

指数分布：

设r.vj的概率密度函数为

2T及x>0

Mx)=•

0其它

其中人为大于0的常数。

则称r.vj服从参数为X的指数分布，记为r.v^-E(2)o

几点注记：

(I)指数分布的实际背景：

前面我们用泊松分布P(/l)来描述在单位时间内来到电话局的电话呼唤次

数、公共汽车站乘客人数、母鸡下蛋的个数、排队等待服务的人数等等。其中

参数人为单位时间内来到的次数(呼唤次数、乘客人数、下蛋个数、等待服务

的人数)的平均值。如果要考虑［0,t］时间内的情况，那么这个平均值与时间长

度成正比，应该是力。即在［0,t］时间内来到的(呼唤次数、乘客人数、下蛋个

数、顾客人数)次数应服从2(4=%)=皿"为伏=0,1,2,…)。在排队论中称它们

kI

是泊松流。对Poisson流主要研究“等待时间”的统计规律。为此以下推导这一

规律。

设在一服务系统中，在任意的的时间间隔内来到的顾客个数服

从参数为力的泊松分布：

PC=k)="二产/=0,1,2,…)

那么相邻两个顾客来到的间隔时间7服从指数分布。

证：不妨设前一个顾客来到的时刻为0,则〃>0

...two时,F(t)=P(7<0=0

当t>0时，•.•等待时间内顾客没有来到，.•・{〃>，}=低=0}

...尸(〃>f)=P(当=0)=e",即尸①<f)=1—e~^o

现要求尸(7<f)

81

{7<0=U^-r一一}

»=1«

由集函数的下连续性，得：

001CO1

P(7<f)=P(U仍<——})=lim尸(U仞Wf-一

„=1〃…”=]n

=lim[l-e"]=1-

Z7->00

...77的分布函数F(x)=P(〃<f)=<；<

(II)指数分布的性质：

(a)无记忆性或永远年轻性：

r.v^~£(2),WOVs>0,t>0,有

P(J=s+楣〉s)=P(»

P(4>S+f,g>s)P(^>s+t)

证:VP(J>s+tIJ>s)=

PC>s)

l-P^<s+t)<s+t)_1-F(s+1)

\~P^<5)1一<s)1-F(5)

l-(l-e-(i+,))7.

=-----------------=e=P(f>f)

1-(1-ev)

假如把r.vJ解释为寿命，则上式表明，如果已知寿命长于s年，则再活t

年的概率与年龄s无关——永远年轻。

(b)指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布。

引理：若/*)是连续函数(或单调函数)，且Wx,yER,都有：

/(x+y)=/(x)/(y),

则ma20,3f(x)=ax

VVx>0,f(x)=/(1+1)==[/(1)]2>0

/(x)非负。

VVneNVxGR,有/(〃X)="(X)]"

上式中当取x=i/n,有/⑴="d)r

n

记a=/(l)NO,则/(1)=a"

n

即VxGQ,有=

再利用连续性或单调性，可证得：对Vxe/?-Q,结论也成立。因此引

理成立。

下面证明：具有无记忆性的连续分布为指数分布。

证：设自是非负的随机变量，其分布函数为F(x),令G(x)=PC>x),则对

Vs,t>0,有

P(g〉s+fg>s)=P(J>f)。

故尸4>s+f)=P化>s)P(J>t),即G(s+t)=G(s)G(f).

x

又G(x)关于x单调，由引理得：G(x)=a(x>0)o

因为G(x)是概率，且0<。<1,令。=6々(其中入>0)。

因为F(x)是连续型分布，并且F(x)=1-G(x)=l-e~^(x>0)o

所以r.v1〜E(2)o

“去掉最高分和最低分”的启示

近几年来，电视屏幕上不断出现各种竞赛的实况。当一个演员表演完毕

后，先由10个(或若干个)评委亮分，裁判长用这10个数据判分时，总要去

掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为该演员的最后得分。现

在这已是人们的常识了。

这一常识背后的数学，就是数据处理中的代表数问题。

算术平均数是最常用的数字特征，在我国也是最普及的数学知识之一。任

何一个干部和工人，至少都懂得平均数和百分数这两个概念。“我厂工人平均

工资是多少，这次有百分之几的人可以加工资”这类话人人都能懂。学生的成

绩用总分来衡量，也会用总平均来衡量。比较两班学生的某科成绩，也用各班

该科得分数的平均数作为衡量标准。至此，人们将平均值奉为至宝，似乎是金

科玉律、无可更改的科学定则。

实际上不尽然，用算术平均数来作为代表数，有两个缺点：一是容易受异

常值的影响；二是计算比较复杂，不能一眼看出。前面所说的去掉最高分和最

低分就是为了避免异常值的影响。让我们看一个极端的例子。如果一个班级有

30个学生，其中两学生逃学旷课，数学考试只得2分和10分。此外，有5个学

生得90分，22个得80分，1个得78分。此时该班数学成绩的平均分是：

-1

x=—（2+10+90x5+80x22+78）®76.67（分）。

确实，如以76.67分作为该班的平均分，太受那个得2分和10分的同学牵

连了。结果不能反映大多数人的真实情况。从直观上看，应在80分或80分以

上才对。于是我们就去掉一个最低分，总平均约是79.2分，如果去掉两个最低

分，总平均则是81.7分。这似乎比较符合实际了。

但是这种去掉最高分或最低分的方法，在计算全班总成绩时未免有“弄虚

作假”之嫌。明明是本班的学生为何不计入总分呢？所以在用去掉最高分和去

掉最低分方法时，要先检验是否存在异常值。

上述的以平均数作为代表数，由于异常值的影响往往不能反映中等水平，

一般认为平均数就是中等水平，乃是误解。上述30个学生的数学成绩中，总平

均约是76.67分。某同学得78分，超过平均数似乎该是“中上”水平了，其实

他是倒数第三名！那么我们用什么办法来刻画“中等水平”呢？这还可以用数

据的中位数。

中位数：设有n个数据占/2,将片按从小到大的次序排列，得

x(l)4X(2)-',,-x(n)°

xIn:奇

（-2）

中位数M（或/）：M=\1

-（x+x）n:偶

[2（2）（丁2

中位数是描述数据中心位置的数字特征。大体上比中位数大或小的数据个

数为整个数据个数的一半。对于对称分布的数据，均值与中位数较接近；对于

偏态分布的数据，均值与中位数不同。中位数的又一显著特点是不受异常值

（特大或特小）的影响，具有稳健性，因此它是数据分析中相当重要的统计

量。

例1.在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。如

9.309.359.459.90

其中中位数是当中两项的平均值，9.35+9.45））=9.40（分）。

这相当于去掉最低分9.30和最高分9.90而得出的平均分。体操比赛规定这

样给分，就避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于四个裁判分的中间位

数，不偏不倚，十分公正。

例2.若一个生产小组有15个工人，每人每天生产某零件数目是

6,7,7,8,8,8,8,9,10,10,11,12,12,17,18。

如以平均数作为标准日产量，则近似为10.07件。若取中位数则是第8个

数字9件。比9大的有7个人，比9小的也有7个人。以9为标准日产量，则

有半数人可超产。管理者若希望多数人超产，则奕定得较中位数为低；若希望

少数人超产，则应定得比中位数大一些。这些都是中位数提供的信息。

众数也是常常使用的代表数，即数据中重复次数最多的那个数据。例如，

全班30人所穿鞋尺寸为33号的5人，34号的6人，35号的15人，36号3人

和37号1人。如取平