一文搞定高中数学一题多解与一题多变

专题01一题多变，利用条件求范围

【典例】已知P={x4—8x—20W0},非空集合S={Ml-mW九W1+机}.若xGP是xGS的必

要条件，求机的取值范围.

解由小一&丫-2040,得一24.《10,

/.P={x|-2<X10}.

是xEs的必要条件，

则SCR

fl-w>-2,上

,金m解付次43-

J十次&10,

又'.'S为非空集合，1-加<1+制,解得，〃>0.

综上，可知物》0<3时，尸是x€s的必要条件.

【变式」】本例条件不变，问是否存在实数机，使xep是XGS的充要条件？

解由例题知P={x|—2WxW10}.

1—m=-2,机=3,

若xGP是xGS的充要条件，则P=S,这样的m不存在

l+m=10,m=9.

【变式2】本例条件不变，若V是F的必要不充分条件，求实数机的取值范围.

解由例题知「={可一2WxW10}.

•.…P是F的必要不充分条件，是S的充分不必要条件，...P=S且西、P.

[—2,10]£[1—m,1+m].

1—mW—2,1~m<一2,

或1一.・・加29，则机的取值范围是［9，+8）.

1+m>10」十根310,

【小结】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式（或不等式组）求解；

⑵要注意区间端点值的检验.

【巩固提升】

1.已知命题p：/+2%—3>0；命题q：x>a,且飞的一个充分不必要条件是>,则。的取值

范围是()

A.[l,+8)8.(—8r,1]C.[-i,+8)D(—8,-3]

解析：由/+2x—3>0,得x<—3或x>』，由力的一个充分不必要条件是“，可知力是飞

的充分不必要条件，等价于q是〃的充分不必要条件.故位L选A

2.已知P：f-8x-20W0；q-.\-m2^x^l+m2.若「p是一'"的必要不充分条件，则实数机的取

值范围是.

解析：是rq的必要不充分条件，

h一加2<一2

.•应是p的必要不充分条件，即~即〃及29,解得〃?23或〃zW-3

[1+/M2>10

即机的取值范围是(-°°,-3]U[3,+8).

3.已知条件p：x2+12x+20<0,条件q：l-"?VxVl+/"(机>0).若一"p是q的必要不充分条件

“求机的取值范围.

解析:,；P：-104x4-2,「p：x<-10或x〉-2,

若「P是q的必要不充分条件，

则-241-m,即0<m43.

4.已知p：(x-m)2>3Cx-jn),s：x2+3x-4<0,若〃是x£s的必要不充分条件，求的

取值范围.

解析：由(x-"〃)2>3(x-m),得(犬-〃2-2)(x-m)>0,即x>/n+2或彳〈加，

由f+3/4V0得-4VxV1,

是x£s的必要不充分条件，

或〃?+2<-4,

即\或“W-6,

即实数机的取值范围是加21或机W-6

5.已知p：{R-2W%W10},q：{x|l-m<尤<l+〃2,m>0},若q的一个充分不必要条件是p,则

实数m的取值范围是.

解析：V/?：{M-2WxW10},q：{x\\-m^x^l+m9m>0},

设A={R-2〈xW10},B={x\l-m^x^1+m,m>0},

要使p是q一个充分不必要条件，即

l-m<-2

m>9

l+m>10

6.已知〃：犬<-2或X>10；q：1-777<X<1+77Z2；是q的充分而不必要条件，则实数”的取

值范围—.

解析：V/z：xV-2或x>10,；Lp：-2W«xW10.q：l-m<x<l+/n2.

1—"zV—2

•・・「P是q的充分而不必要条件，・•・s一2，，〃2>3

10<l+m

7.已知集合A=1x；V2'V8,XGRJ,B={x\~\<x<m+1,x^R},若九GB成立的一个充分

不必要的条件是xdA,则实数m的取值范围是

解析.4=ix1<2X<8,R={x|-l<x<3},

成立的一个充分不必要条件是x^A,

：.A^B,/.w+l>3,即次>2.

8.已知命题p：aSr%+l,命题q：x2—4x<0,若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围

是.

2

解析：令M=3。0立。+1},N={xl^—4x<0,}=r{x|0<r<4}

,:p是q的充分不必要条.件，

a>0,

.Y,解得0<a<3.

[a+l<4,

9.已知「nHjAZc-lSWO},S={x|2-〃zWxW3+m},使是x©S的必要条件，则〃z的取值

范围是.

解析：若存在实数m,使xEP是x£S的必要条件，

则SUP,若2-m>3+m得m<-2此时s=0,满足条件.

2-w<3+w

-1

<3+w<5w<2<w<2

2

2-w>-3w<5

若S#。，则满足

10.已知集合P={x||x-l|>2},S={尤|/-(a+l)x+a>0},若QWI,x£S是的必要条件，

求实数。的取值范围.

解析：由|41|>2解得%V-1或x>3，P=3%V/或x>3}

由x2-Ca+l)尢+〃>0即(x・〃)(x-1)>0

VxeS是尸的必要条件/.P£S

当a>l时，S={x|x<l或x>a}

由P£S,得〃<3,・二1«

当a<1时，S={x|xVa或x>1}

由PGS,得心・L：.-l^a<l

综上所述，T4V1或lVaW3

专题02一题多变，综合函数性质来帮忙

【典例】定义在R上函数/(x)满足：/(x+D=—―，X©(0,1］时，f(x)=2*,f(logA)等于()

/(x

98

人aD

一

16一--25

/?.89

2516

【解析】函数f(x)满足：f(Kl)=R^可得：f(x+2)=——;v=f(x),

〃x)〃x+l)

Q1I

二.函数的周期T=2.「.f(log；9)=f(2+log：-)=/logt

4i

【变式1】本例条件，(x+l)改为fQ-x)=f(/+x),结果又如何呢？

【解析】函数f(x)满足：fU-x)=fG+x\所以/(x)=/(2+x),：.f(x)是周期为2的函数,

/9\

:JQlogQ=f(2+log2)=flog^

4IJ

-998

---=-

xz89选c

1

【变式2】本例条件，(x+l)=改为/(X)+f^-x)=0,f(x-1)V(x+1),结果又如何?

/(x)

【解析】由f(v)+f(-X)=0得，/(-%)(%),所以/(x)是定义在R上的奇函数,

由/(JC-1)-f(x+1)得，f(x)-f(x+2),

<9\

-

是定义在R上以2为周期的周期函数，."(/咱9)=/,(2+/O^2)=/14

所以/(X)og2

\<7

【小结】

1.运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

2.在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关

系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变'量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可

实现去,即将函数值的大小转化自变量大小关系，对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.

抽象函数的周期性：

(1)若/(x+T)=/(x),则函数/(x)周期"为T

(2)若/(x+a)=/(x+〃)，则/(x)函数周期为6-a

⑶若=—/(£),则函数的周期为2a

(4)若+—7~r则函数的周期为2a

【变式训练】

1.定义在R上的函数/(%),满足/(%+5)=/(x),当xe(-3,0］时，/(x)=-x-l,当xe(0,2］时,

/(x)=log2x,则“1)+,⑵+〃3)+”2018)的值等于()

A.403B.405C.806D.809

【答案】B

t解析】定义在及上的函数八X),满足〃A'匚/㈤，即函数的周期为5.

当xc(0j］时，y(x)=log2X,所以/⑴=logj=0,/(2)=log;2=l

当xe(T0］时，/(x)=-x-lt

所以〃3)=〃-2)=1J(4)=/(T)=OJ(5)=/(O)=T

川)+/(2)+〃3)+.•力：2018)=403乂(八1)+.2)+八3)+外4)+力到+42016)+以20功+〃2018)

=403x1+/(1)+/(2)+7(3)=403+0+1+1=405

3

2.已知定义在R上的函数满足“X一3)=—/(%),在区间0,-上是增函数，且函数y=f(x—3)

为奇函数，则()

A./(-31)</(84)</(13)B./(84)</(13)</(-31)

C./(13)</(84)</(-31)D./(-31)</(13)</(84)

【解析】根据题意，函数/(x)满足f(x—3)=—/(£),

则有./■(x-6)=—y(x—3)=f(x),则函数/(x)为周期为6的周期函数，

若函数y=/(x—3)为奇函数，则/(x)的图象关于点(-3,0)成中心对称，则有fCx)=fC-6-x)

又由函数的周期为6,则有/(x)=—/(—x),函数/(X)为奇函数；

-3-1「33-

又由函数在区间o--上是增函数，则函数/(x)在-5，万上为增函数，

/(84)=/(14x6+0)=/(0),/(-31)=/(-l-5x6)=/(-I),/(13)=/(l+2x6)=/(l),

则有了(一1)</(0)勺'⑴，即/(-31)</(84)寸(13)；选A

3.设fO)是定义在R上的奇函数，且其图象关于龙=1对称，当无£[0,2]时，fM=2x-x2,则

/(0)+f⑴+.“+/(2017)的值为()

4.-1,B.0C.1D.不能确定

【答案】C

【解析】定义在火上的奇函数“外的图象是关于直线*=1对称，

/(2-x)=/(x)

f[2-(x+2)]=f(x+2)府(x+2)=-/(x),f(x+4)=f(x)

故函数"功的周期为4

•••r(-l)=-AD=-1.f(D=1J(2)=f(0)=0/(3)=r(-l)=-l,/(4)=f(0)=0

则f(l)+f⑵+f(3)+•••+f(2017)

=504X[/•(0)+/(I)+/(2)+f(3)]+f(2016)+/(2017)=504x0+/(O)+/(I)=1

4.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=f(x),当(-2,0)时，f(x)=2*-2,则八-3)的值

等于()

3131

4.一一B.—C,—D.——

2222

【解析】因为f(x+2)=/(x),所以函数/(x)的周期是2.

13

所以/(-3)(-1)=2--2=a-2=-万，选A

5.已知定义在R上的函数/(x)满足条件/(廿4)=于'(x),且函数元/"(x+2)是偶函数，当xW(0,2]

时，/(x)=lnx-ax(d>,当xW[-2,0)时，f(x)的最小值为3,则a的值等于()

A./B.eC.2D.1

【答案】A

【解析】<f<x+2)是偶函数，；.f(x+2)=f(-x+2),

/.f(x)关于直线x=2对称，

.,.当2WY4时,f(x)=f(4-x)=ln(4-x)-a(4-x).

,/f(x+4)=-f(x),

.,.当-2WxVO时,f(x)=-f(x+4)=-ln[4-(x+4)]+a[4-(x+4)]=-ln(-x)-ax,

1111rr21

——--e(-2,0)—

.'.fz(x)=x-a,令f'(x)=0得x=a..%>2,a.,.当-2Wx<时，f'(x)<

0,当a<x<0时，f‘(x)>0,

：.■£(x)在[-2,a)上单调递减，在(a,o)上单调递增，

_££

...当X=a时，f(X)取得最小值f(a)=-ina+i,

■.•f(x)在[-2,0)上有最小值3,

二.Tna+1=3,解得a=e：.

6.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=《+|)/(2014)=2,则/(-1)=

f(x+-)

【解析】••・函数f(X)满足f(-X)=2,

故函数f(X)为周期为3的周期函数，

'：-£(2014)=2,

.,.f(1)=2,

又二.函数f(x)为定义在R上的奇函数，

：.f(-1)=-f(1)=-2,

]

7.已知定义在［L3］上的函数/(x)满足/(x+l)=且当xe[2,3]时,/(x)=W.若对

〃x)+l

任意。、b、cG[l,r],都有+成立，则实数，的最大值是.

【解析】当xe[l,2)时，X+1G[2,3),/(x+l)=—(x+l)--,.-./(x+l)=—x-—

1221212

12

-l,xe[l,2)

1175x-l

又听，•.・/3=不一】,•../(])=,

5

—x——x.xe[2冏

1122

当xe［l,2)时，“X)单调递减；当xe［2,3］时，/(x)单调递增;

当a、b、。€［1"］时都有/(。)+/仅)2/©,

247

若时，则“2)+/(2)2/(1)舍去；若f<2时，则/⑺+/(。2/(1),---2>2,解得

5t—15

7

故答案实数f的最大值是二

8.已知函数/(X)对任意xeR都有〃x+6)+/(x)=2/(3),y=4％—1)的图象关于点(1,0)对称且

"2)=4,则/(22)=,一

【解析】因为＞'=〃xT)的图象关于点(L0)对称，所以N=/(x)的图象关于点(0P)对称,即函数/(X)

为奇函数，由/(x+Gj+flxJuZ/m,l得/(x+12)+/|.X+6,I=2/(3)所以

/(x+12)=〃x),T=12但此〃22)"(—2)=—42)=-4.

专题03一题多变，分段函数求值或范围

2'1—2,%<1,

,:「二,且儿0=—3,则穴6—〃)=()

{—1022(X+1),X>1,

7531

--c--

44-44

解⑴当W时,图)=2门-2=-3,

即2。-1二一1,不成立，舍去；

当心1时，岫=-log2(a+1)=-3,

即log：(a+l)=3,解得a=7,

此时人6—a)』.1)=2-2—2二一

.答案A.

【变式1】设函数段)=[Q)'—7'“<0,若人。)<1,则实数。的取值范围是()

[y[x9x>0,

A.(-oo,—3)B.(1,+oo)C.(—3,1)D.(—oo,—3)U(1,+oo)

解：法一：当a<0时，不等式加)<1为(?一7<1,即管〃<8,即⑤"〈⑤汽因为所以3,此

时一3<a<0：当介0时，不等式为/<1,所以037<1.故a的取值范围是(一3,1),故选C.

法二：取。=0,/0)=0<1,符合题意，排除A,B,D.

答案：C

log2j+a,x>0

【变式2]已知於)=,1八，若44)=3,则大幻>0的解集为(「)

cix\1Jx^O

A.{x|x>—1}B.{x|—1<A<0}C.{x|x>—1且#0}D.jx|—1<A<0BJU>^

解：因为x>0时，_/(x)=/og2x+a,所以/(4)=2+a=3,所以a=l.

x>0,i[x<0

所以不等式外)>0等价于，「八即x>；，或」八，即一1X0

[log以+1>0,2lx+1>0

所以危)>0的解集为口—1X0或L

答案。

【小结】

（1）根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解。

（2）已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分捌求解，但要注意检验

所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围。

【巩固提升】

5、、

1.设函数段）=[3x0—b,.x<l,若瓶就）=4,则一）

AA,B三

解⑴蜡=3x1一b三一b,

若^一上1,即b>涧，

则b=；lb]-b=』，,选。

解之得b=1,不合题意舍去.

若，应1,即区|,则小=4,解得b=；.

[l+log2(2—X),X<1,

2.设函数危)=.「I则1-2)十/(四212)=()

A.3B6C.90.12

解：根据分段函数的意义，八-2)=1+/og2(2+2)=1+2=3.又/og212>l,

.\/(/og212)=2(%i2F=2%6=6,因此人一2)+必笈212)=3+6=9,答案C

x+〃，-l<x<0,

3.设7U）是定义在K上且周期为2的函数，在区间[―I,I）上,2其中“GR.若

5—X,0<¥<1,

4号，则贝5a）的值是（）

选C

[10g3X»X>0,

4.已知八》)=且_/(。)=2,人-1)=3,则欢—3))=()

[a+b,烂0n,

A.-2B.2C.3D.-3

解：<0)=M+8=l+匕=2,解得匕=1;

人-1)=丁1+方=小+1=3,解得a=；.

logs%,JOQ,

故网=<傲+1在0<-3)=a-3+1=9,加-3))=虺)=皿9=2,故选B.

3x—],x<1,

则满足欢"))=2火。的4的取值范围是()

{2,%>1,

「21「2、

1JB.[0,I]唱，+oojD.[\,+a>)

解:由欢“))=2刎得，&)“

22

当〃<1时，有3〃一61,与，；・石〃<1.

当生1时,有221,・・・介0,：.d>\,

2

综上，6f>T.,选C

卜*~1,X<1,

6.设函数凡¥)=，1则使得.危丑2成立的X的取值范围是_________.

L?,x>i,

解：当x<l时，炉一七2,解得它1+02,所以比<1.

当后1时，x3<2,解得让8,所以1SE8.

综上可知x的取值范围是(-8,8].

(2

元+二一3,x>i,

7.已知函数/U)=<x则欢—3))=，的最小值是.

Jg(/+1),x<l,

解：:1-3)=/加(-3)2+1]=k10尸1,・••欢—3))=x1)=0,

2

当於1时，40=》+嚏-3工2小一3,当且仅当》=也时，取等号，此时人尤)而“=2地一3<0；

当x<l时，Kt)=/g(W+l)2/g1=0,当且仅当x=0时,取等号，此时兀为同=0,；,心)最小值为2吸一3

2。x>0

8.已知函数氏0=八.若次〃)+41)=0,则实数。的值等于______

X-T1(,它0

解：・・・川）=2>0,且式1）+X”）=0,

・\/（。）=-2<0,故处0.依题知〃+1=—2,解得。=一3.

9.定义新运算：当〃》时，ab=a；当时，a6=户.设函数/(x)=x)x-x),—2,2],

则函数段)的值域为.

解：由题意知©=l<x—_2,2x,£[g—2I,21J].,

当工£[—2,1]时，段)可一4,-1]；当工£(1,2]时，於)《(一1,6].

故当天£[-2,2]时,於)£[-4,6].

—2ax+3。，x<l,

10.己知函数的值域为K,那么。的取值范围是______

Jnx,x>l

解：要使函数9的值域为R’需使t1—归2a>一0勿r+3“，所以,吃,所以一lWa<1.

a>—

11.已知奇函数孔0=jK则函数力。)的最大值为.

hxx<,

解：先求出x〉0时，网=，1的最小值.当x>0时，/(x)=-^Y不~~-1，二x&0,l)时，/(x)<0,函数单

调递减，x€(l,+8时，/(x)>0,函数单调递增，.匕=1时，函数取得极小值即最小值，为e-l,.•.由

已知条件得幽X)的最大值为l—e.

专题04一题多变，函数单调性的应用

(21a)—|—[x<]f/\f/x

、.:''满足对任意8g小都有-二:~~匚〉0成立，那

{a,xNlx\—xi

么a的取值范围是

(2)(2017•珠海模拟)定义在R上的奇函数y=/(x)在(0,+8)上递增，且《")=(),则不等式/(依?产)〉0的

9

解集为.

解析(1)对任意汨去检，都有/(二)./(山-〉0,所以y=/(x)在(-8,+8)上是增函数

矛1X2

f2-a>0,

3「3、

所以ja>l,解得尹水2,故实数。的取值范围是2J

.(2-a)Xl+lWa,

(2)■,>=fix)是定义在R上的奇函数，目尸f(x)在9,+8)上递增..♦.尸f(x)在(-8,0)上也是熠函数

又《尸知W一：一《；二°•故原不等式f(log；x)>。可化为

/(logx)>/.■.log.x>^-^<log,JT<0,解得OCK；或

f(log,x)>

_\4/_4/_J

9S9

所以原不等式的解集为;X|0〈K|或1<叱31

【变式1】在例题第⑴题中，条件不变，若设%=/(一)n=f(a),tt=/(2),试比较小n,t的大小.

解析由例题知f(x)在(-8,+8)上是增函数，且2c又一T〈水2,.,/一，54)</(2),HPm<n<t

【变式2】在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在7?上的偶函数)，=/(x)在[0,+8)上单调递减”，且

(9=0,则不等式/(/ogR>0的解集是

解析因为f(x)在R上为偶函数，且不；)=0,所以等价于《

Ilog,^r111,1

又一(x)在[0,+8)上为减函数，所以-<-,即一解得鼻Vx<3

9/z2,zo

【小结】

(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或

先得到其图象的升降，再结合图象求解

(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“广符号脱掉，使其转化为具体的不等

式求解，此时应特别注意函数的定义域

【巩固提升】

1.已知函数/3=(病一根一5)/是基函数，且在xe(O,+8)上为增函数，则实数机的值是()

A.-2B.4C.3O.-2或3

解：f(x)=(〃『一,"一5)/是幕函数=/一m一5=1=〃?=-2或加=3.又在xG(0,+8)上增函数，机=3

答案：C

2.已知於)是偶函数，当x>0时，/(尤)单调递减，设“=一2'2,。=2例2贝Uf(a),,/(c)

的大小关系为()

A./(c)</(Z?)<f(a)B.y(c)<f(a)<f(b)C.f(c)>f(b)>f(a)D./(c)»(a)〉/(〃)

解：依题意，注意到2，：>吸'=⑤-°"20=1=1。雳5>io费4=2］。雳2>0,又函数f(x)在区间9,+8)上是减

函数，于是有f(2°')«(21咕⑵，由函数fG)是偶函数得f(a)=f(2：；),因此f(a”f(b)<f(c),选

C.

3.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0］上单调递增，若实数。满足镜),

则〃的取值范围是()

A.(-8,小)B.(0,小)C.他,+8)£>.(1,小)

解：是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0］上单调递增，

.•./(X)在区间［0,+8)上单调递减.

根据函数的对称性，可得f(一⑫=式木)，；.f⑵唯山小木).；2bgw〉0,

/(X)在区间［0,+8)上单调递减，,o<2/og心<，^=/og3a<；=0<a</,

故选B.

4.已知函数y=/G)的图象关于x=l对称，且在(1,+8)上单调递增，设b=f②,c=/(3),

则a,6,c的大小关系为()

A.c^b^aB.b〈a〈cC.b〈c〈aD.a〈b〈c

解：：函数图象关于X=1对称，."=(一+娟，又尸於)在(1,+8)上单调递增，

/./(2)〈局7(3)，即b<a<c.

答案B

5JG)是定义在(0,+8)上的单调增函数,满足/(xy)=/(x)+/(y),/(3)=1,当/⑺+/6—8)W2时,x

的取值范围是()

A.(8,+8)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

解2=1+1=f(3)4-f(3)=/(9),由f(x)+f(x-8)W2,可得f[xG-8)]Wf(9),因为f(x)是定义在

(0,+8)上的增函数，

\>0,

所以有<x-8>0,解得8<xW9.

.x(x-8)W9,

答案B

—|4xx'^^-4

6.设函数/(x)=,'''若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增，则实数«的取值范围是

log2x,x>4.

解：作出函数八x)的图象如图所示，由图象可知/(x)在(a,。+1)上单调递增，需满足或“+1W2,即

aWl或心4.

答案(一8,1]U[4,+8)

7.若函数/(x)=优(〃>0,"1)在［-1,2］上的最大值为4,最小值为相，且函数g(x)=(1—4加在［0,

+8)上是增函数，则。=()

11

442GD

2-4-

］

解析当a>l,则y="为增函数，有d=4,a~=mf此时。=2,加=：

此时g(x)=一，:在［0,+8)上为减函数，不合题意

当0<水1,则y="为减函数

有〃T=4,a=m,此时a=：,加=上

416

此时g(x)=*〃在［0,+8)上是增函数.故4=］

答案。

8.设函数/(尤)=52—9/心在区间［”-1,〃+1］上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.l<aW2B.心4C.aW2D.0<aW3

解：易知函数f(x)的定义域为9,+8),f(jr)=x--,由，(x)=x—腹0,解得。《3.因为函数

XX

1—..a―1>0

f(x)=;x；-91nx在区间［a-1,a+l］上单调递减，所以，解得1</2,选A.

答案：A

9.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增.若实数〃满足/(2则

a的取值范围是

解：/(x)在R匕是偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增，.•./(X)在(0,+8)上是减函数,

则八2L)»(一的=/《「),

因此2"-'〈*=22,又y=2*是增函数,

|a—11<1,解得上<水,.

Iw

答案2,2

10.已知函数f(x)=；f+2ar—/"X,若/(x)在区间;，2上是增函数，则实数。的取值范围为.

解：由题意知£(X)=X+23-SC^；,2'|±恒成立，即2e一x+1在;，21b恒成立.

“L3广*L3广

又.・>=一X+亍在21h单调递减，."-"+5==|,

一84

「.2含即含

答案：|，+8)

11.已知函数八X)=X-2X+，T，其中e是自然对数的底数.若/(〃一l)+/(2d)W0,则实数。的取值范

围是.

解析：因为/(—X)=(一工)'-2(-x)+er一甘7

=~xi+2x-ex+\=-/(%),

所以/U)=d—2x+F—5是奇函数.

因为/(〃-1)+/(21)二0,

所以/(24)即f(2a2).

因为/(x)=3x2—2+F+ex3x2—2+2y/ex•ev=3x20,

所以/(x)在K上单调递增，

所以2〃-W1—a,E[J2aa—IWO,

所以一Kwg.

答案：一1,I

专题05一题多变，深挖式子巧解题

(x+1)~+qinx

【典例】设函数，(x)=——7-—~~■的最大值为M,最小值为机则加+机=

x+2x4-1+sinx2x4-sinx

解：fix)------：-1d-

x+lx+1

人、2x4-sinx、

々式z公=X：+］，贝”式z-x)二一虱x),

...g(x)为奇函数,

由奇函数图象的对称性知g(x)a+g(x)…=0,

故JH•42.

(V—I-1)2-4-ainv

【变式1】设函,数/(x)=---------F+J-------+m已知,f(lnx)+/(-lnx)=4,则a:

、x+2%+l+sinx,2%+sinx

解：/U)=---------苕方------吃=1+小一笠+])

9Y-X-sinx

令g(x)=球：,则g(—x)=-g(x),所以M+N=2+2a=4,r.a=l

(x~\~1)"+sinx

【变式2】设函数/(x)=矢:，最大值为必最小值为mM+N>4,则a的范围

f+2x+l+sinX2x+sinx

解：f(x),=—+〃=1+。+

7+i%2+15

2x+qinx

令g(x)=—云力一,则g(—x)=-g(x),所以M+N=2+2。>4/.a>1

【小结】

题干中条件很简单，但我们要从已知中挖掘信息，如/(lnx)+/(—lnx)=4,在［一〃，可上的值域为

［a,b］,在［—2017,2017］上的最大值与最小值的和，川取力+工2f(1)可以看出无论从给出的等

式还是不等式，还是研究的区间都暗示着要研究函数的奇偶性，对称性等，奇函数在对称区间上最值互为

相反数即最值之和为0的性质的应用，其中构造函数g(X)是求解本题的关键。

【巩固提升】

oX

1.若对有/(%+)，)=/■彳讨乂｝■3,则函数8(力=彳彳+/(力在［-2017,2017］上的

最大值与最小值的和为()

A.4B.6C.9D.12

解：对~Vx,yeR,有/(x+y)=/(x)+/(y)-3,令x=y=O,

有〃O)=〃O)+〃O)—3J(())=3,

令，=一》，有F(O)=/(X)+/(T)-3,则〃x)+f(r)=6,

令//(x)=/(x)-3”，则〃(x)+〃(一x)=0,则/?(x)为奇函数，

又设函数9(x)=2+］，°(x)为奇函数，则g(x)=0(x)+〃(x)+3,而o(x)+〃(x)为奇函数，由于

奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则g(x)的最大值与最小值之和为6.

答案8

b

2.已知函数/0)=Qsinx+—+c,xe［-5TT,0)0(0,5^］,若/⑴+/(-1)=4034,贝ljc=.

x

解：设：9⑴-3"+”是奇函数，f(x)=gO)+c,/(T)+"l)=g(-l)+2)+2c,

p(x)=asinx+-0、，八

因为,是奇函数，所以g(D+g(-D=0,

/(-I)+/(I)=g(T)+j(l)+2c=2c=4034,故c=2017.

故答案为c=2。”.

3.12018河南溪河三模】设函数〃x)=2+.'、—：若/(X)在上的值域为［。,目,

乙i-人

其中a,方,〃z,〃eR,且”〉0,则。+匕=()

A.0B.2C.4D.2m

XX

/、7MX(2+cosjc)+siru-sinr2sincos

解：/'(x)=2+—------------------=2+mx+-----------=2+mx+--------乜——

2+cosx2+cosxsin2X+3cos2%

22

2tan—

n2

=2+mvd------------=2+mx+

x3

tan2'+3tan+

2x

2tan

2

g(X)=/研+---------_2

令tan-+-------，则g(-x)=-g(x)，为奇函数,

2tan-

2

若存在玉,取得g(x)皿=g5)"-2,则有g(x)1nhi=g(F>)=-gGb)，

即a—2=2—人，得a+Z?=4,

答案C

4.已知函数〃x)=lg(Jl+4x2+2x)+2,则“ln2)+/(ln；)=()

A.4B.2C.1D.0

解：由于函数的解析式可得：

/(x)+/(-x)=lg(Jl+4/+2x)+2+应(71+4X2.2x)+2

=7g(1+4/-4f)+4=4S

.-/(ln2)+/5n£；=/(ln2)+/(-ln2)=4

答案A

5.已知函数f(x)=(eX-e-)Gfao93X)+f，o"x)W2f(l),则x的取值范围是.

解：由题意可得f(-x)寸U),所以/(尤)是偶函数，又/3见，=/("。％》)=4。93。