2024届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷选择题一、单项选择题1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，则，所以.故选：B2.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，则，的虚部为2.故选：D.3.双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，不妨设，则，依题意，，因点在双曲线上，故有，于是，.故选：B.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸，所以平地降雨量等于寸.故选：C.5.质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数有对组合，在不超过20的正整数中有共个数，所以，所以任取两个素数共有个对组合，其中是“孪生素数”有，，，共对，所以这两个数不是孪生素数的共有对，所以，所以.故选：A6.在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如图，设的外心为，则点是的中点，由，因，故,而，故当且仅当与同向时取等号.故选：A.7.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为5.故选：C8.已知函数，，则下列命题不正确的是（）A.有且只有一个极值点 B.在上单调递增C.存在实数，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），所以在上单调递增，即B正确；在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.故选：C.二、多项选择题9.下列说法中，正确是（）A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B.两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则〖答案〗BC〖解析〗A选项，，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即，A错误；B选项，，，因为，（），故，故，，故，B正确；C选项，因为，，关于对称，所以，C正确；D选项，由题意得，整理得，D错误.故选：BC10.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（）A. B.函数的图象关于点对称C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，因为为偶函数，可得：，即，∴，即，故选项A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且，则的图象关于点对称，故选项B正确；对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，可得：，即，得，所以，即，则，可知的周期为4，故选项C错误；对于选项D，因为为奇函数，将代入，得，得，因为为偶函数，可得：关于对称，由且关于对称，知，又的周期为4，可得（），选项C中有等式，即，则有（）成立，∴，故选项D正确；故选：ABD.11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.若为线段上的一个动点，则的最大值为3C.点到直线的距离是D.直线与平面所成角正弦值的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于A项，因为，所以，故A项错误；对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，设点，使，，则，故，则，因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确；对于C项，又，则，，故得：，，则点到直线的距离为：，故C项错误；对于D项，设平面的一个法向量为，所以，取，所以由，则，由，又，当且仅当时，取等号知，D项正确.故选：BD第Ⅱ卷非选择题三、填空题12.已知，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以.故〖答案〗为：13.设数列的前项和为，，，，则______.〖答案〗（）〖解析〗因为，当时，，两式相减可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗为：（）14.已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，的斜率分别为，且，过点M的切线方程为，联立，解得，所以，即，所以，设切点，由导数几何意义知，所以，，所以直线，即：且，所以：，直线恒过定点，其到的距离为1，联立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗为：.四、解答题15.的内角的对边分别为，，，满足.（1）求证：；（2）求的最小值.（1）证明：由，可得且，所以，因为为三角形的内角，可得，即，得证.（2）解：由（1）知，且，所以所以，当且仅当时，等号成立，所以取最小值16.如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：取，的中点为，，连接，，，由于侧面为矩形，所以，∵，∴，由于底面为等边三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四边形为平行四边形，故平面，故，又是中点，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故为的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，由于平面的法向量为，故故平面与平面的夹角的余弦值为.17.等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料材料合计试验成功

试验失败

合计

单位：次（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：材料材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100计算可得，依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，易知的可能取值为，，，，，，，，，则的分布列为00.20.40.60.8修复费用的期望，所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.18.设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.（1）求椭圆的方程：（2）设直线，的斜率分别为，.（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.解：（1）由题意知：，即，，所以椭圆的方程为；（2）方法一：（ⅰ）易知，，，，设直线的方程为，由直线过知，联立方程，得，变形得：，即.（ⅱ）设直线，的倾斜角分别为，，则，，，，，在中，所以由知，即，故.方法二：（ⅰ）易知，，，，设，，直线的方程为，则……（*）联立方程，得，∴，……（1）将（1）式代入（*）得：（ⅱ）由（ⅰ）知，：即……（2）：即……（3）联立（2），（3）得，即∴即为的中点，故19.“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；（2）已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：（3）求证：.（1）解：当时，，则，当时，，当时，我们需证，设，，注意到，，令得，即，令，则，所以在单调递增，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即恒成立，.不等式对，成立，得证，不等式取等号的条件是，或.（2）证明：当时，原不等式即，显然成立，当时，构造数列，，则，若（），由上式易得，即；若（），则，所以，故，即此时也成立，所以当时，，由于，所以（），故原不等式成立.（3）证明：要证，只需证由（2）知又∴，得证.

江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷选择题一、单项选择题1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，则，所以.故选：B2.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，则，的虚部为2.故选：D.3.双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，不妨设，则，依题意，，因点在双曲线上，故有，于是，.故选：B.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸，所以平地降雨量等于寸.故选：C.5.质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数有对组合，在不超过20的正整数中有共个数，所以，所以任取两个素数共有个对组合，其中是“孪生素数”有，，，共对，所以这两个数不是孪生素数的共有对，所以，所以.故选：A6.在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如图，设的外心为，则点是的中点，由，因，故,而，故当且仅当与同向时取等号.故选：A.7.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为5.故选：C8.已知函数，，则下列命题不正确的是（）A.有且只有一个极值点 B.在上单调递增C.存在实数，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），所以在上单调递增，即B正确；在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.故选：C.二、多项选择题9.下列说法中，正确是（）A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B.两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则〖答案〗BC〖解析〗A选项，，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即，A错误；B选项，，，因为，（），故，故，，故，B正确；C选项，因为，，关于对称，所以，C正确；D选项，由题意得，整理得，D错误.故选：BC10.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（）A. B.函数的图象关于点对称C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，因为为偶函数，可得：，即，∴，即，故选项A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且，则的图象关于点对称，故选项B正确；对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，可得：，即，得，所以，即，则，可知的周期为4，故选项C错误；对于选项D，因为为奇函数，将代入，得，得，因为为偶函数，可得：关于对称，由且关于对称，知，又的周期为4，可得（），选项C中有等式，即，则有（）成立，∴，故选项D正确；故选：ABD.11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.若为线段上的一个动点，则的最大值为3C.点到直线的距离是D.直线与平面所成角正弦值的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于A项，因为，所以，故A项错误；对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，设点，使，，则，故，则，因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确；对于C项，又，则，，故得：，，则点到直线的距离为：，故C项错误；对于D项，设平面的一个法向量为，所以，取，所以由，则，由，又，当且仅当时，取等号知，D项正确.故选：BD第Ⅱ卷非选择题三、填空题12.已知，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，所以，所以.故〖答案〗为：13.设数列的前项和为，，，，则______.〖答案〗（）〖解析〗因为，当时，，两式相减可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗为：（）14.已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，的斜率分别为，且，过点M的切线方程为，联立，解得，所以，即，所以，设切点，由导数几何意义知，所以，，所以直线，即：且，所以：，直线恒过定点，其到的距离为1，联立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗为：.四、解答题15.的内角的对边分别为，，，满足.（1）求证：；（2）求的最小值.（1）证明：由，可得且，所以，因为为三角形的内角，可得，即，得证.（2）解：由（1）知，且，所以所以，当且仅当时，等号成立，所以取最小值16.如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：取，的中点为，，连接，，，由于侧面为矩形，所以，∵，∴，由于底面为等边三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四边形为平行四边形，故平面，故，又是中点，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故为的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，由于平面的法向量为，故故平面与平面的夹角的余弦值为.17.等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料材料合计试验成功

试验失败

合计

单位：次（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如