2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考三数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三数学试题一、选择题1.已知集合，，若，则实数的值为（）A. B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗由题意，，，故选：D.2.若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据，，…，的标准差为，故选：D.3.对任意的实数，若，则的值为（）A.15 B.6 C.1 D.20〖答案〗C〖解析〗因为，令，可得.故选：C.4.已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.故选：C.5.已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，由题意，圆锥的底面半径为，则，要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大，故须使平面，因平面底面圆，且交线为,故只须使即可，此时.故选:A.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故选：A.7.在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，由向量的线性运算法则，可得，因为，所以，，所以，所以是的充分条件；若，令得，代入，得，由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件.故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取AB的中点，因为，故得，,设，由双曲线的定义得①，，所以，在中，，，，所以，，代入①式可得，.所以，在中，，解得，则双曲线的离心率为.故选：B.二、选择题9.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，若，，则，所以A正确；对于选项B，若，，，则与平行或异面，所以B不正确；对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确；对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，因为，所以，所以，所以D正确.故选:AD.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.C.函数在上单调递增D.方程的解为，〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，所以，故B正确；对于C，，由，得，而，即时，没有意义，故C错误；对于D，，则，方程，得，即，即，所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（）A.函数图像关于直线对称B.函数为偶函数C.4是函数的一个周期D.〖答案〗BCD〖解析〗因为是偶函数，所以，所以函数图象关于直线对称，因为是奇函数，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函数为偶函数.故选项B正确；因为，所以，由，得，所以，得，所以，所以4是函数的周期.故选项C正确；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因为，所以，故选项A错误；由，得即，所以，故选项D正确.故选:BCD三、填空题12.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因为是关于方程（其中p、q为实数）的一个根，所以也是该方程的一个根，由韦达定理得，解得，所以.故〖答案〗为：.13.已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为___________.〖答案〗〖解析〗由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，由，则，所以圆方程为，圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.故〖答案〗为：14.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，若，令，则，又，则，因为，故，故，故在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增.若，则，而，故，故在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递增.因为，所以，得，故实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图所示，在三棱柱中,已知平面平面，，，.（1）证明：平面；（2）已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为平面平面，平面平面，又平面，且，所以平面，而平面，所以，在中，因为，，所以，所以，又，、平面，所以平面.（2）解：因为平面，平面，所以，而，所以两两互相垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因为是棱的中点，所以，所以，，设平面的法向量为，则，令，得；又，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.16.生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）男生女生合计历史类152540物理类352560合计5050100（1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；（2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.附，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为学生的性别对选科分类有影响.（2）设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.由题意，，，且，，.则，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234（另解：因为，所以）17已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题设当时，，所以，得，又，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）若，不等式恒成立，则，，当时，对于，，所以在上单调递增，所以时，，即满足题意；当时，若，则，在上单调递减，所以，与矛盾，不合题意.综上所述，实数取值范围为.18.已知椭圆.（1）已知的顶点均在椭圆上，若坐标原点为的重心，求点到直线PQ距离的最小值；（2）已知定在椭圆上，直线（与轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）.（1）解：设，记线段PQ中点为，因为为的重心，所以，则点的坐标为，若，则，此时直线PQ与轴垂直，故原点到直线PQ的距离为；若，此时直线PQ的斜率存在，设，，则，又两式相减得，可得.故直线PQ的方程为，即，则点到直线PQ的距离为，将代入得，因为，所以，故原点到直线PQ距离的最小值为.（2）证明：设，，，因为，所以，所以，即①，设直线，代入椭圆的方程，得，则，，，，，将以上4个式子代入①，得，得，即②，因为点在椭圆上，所以，，代入②得，得，即，因为，所以不在直线AB上，则，则，得，所以直线过定点.19.已知正项数列的前项和为，首项.（1）若，求数列的通项公式；（2）若函数，正项数列满足：.（i）证明：；（ii）证明：.（1）解：正项数列中，，，，当时，，两式相减得，即，而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）证明：（i）令，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，于是，即，即，当时，，当时，因此，所以（ii）由已知，所以，得，当时，，于是，当时，，又，所以，恒有，当时，，由，得当时，，则当时，，从而，于是，所以.湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三数学试题一、选择题1.已知集合，，若，则实数的值为（）A. B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗由题意，，，故选：D.2.若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据，，…，的标准差为，故选：D.3.对任意的实数，若，则的值为（）A.15 B.6 C.1 D.20〖答案〗C〖解析〗因为，令，可得.故选：C.4.已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.故选：C.5.已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，由题意，圆锥的底面半径为，则，要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大，故须使平面，因平面底面圆，且交线为,故只须使即可，此时.故选:A.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故选：A.7.在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，由向量的线性运算法则，可得，因为，所以，，所以，所以是的充分条件；若，令得，代入，得，由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件.故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取AB的中点，因为，故得，,设，由双曲线的定义得①，，所以，在中，，，，所以，，代入①式可得，.所以，在中，，解得，则双曲线的离心率为.故选：B.二、选择题9.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，若，，则，所以A正确；对于选项B，若，，，则与平行或异面，所以B不正确；对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确；对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，因为，所以，所以，所以D正确.故选:AD.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.C.函数在上单调递增D.方程的解为，〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，所以，故B正确；对于C，，由，得，而，即时，没有意义，故C错误；对于D，，则，方程，得，即，即，所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（）A.函数图像关于直线对称B.函数为偶函数C.4是函数的一个周期D.〖答案〗BCD〖解析〗因为是偶函数，所以，所以函数图象关于直线对称，因为是奇函数，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函数为偶函数.故选项B正确；因为，所以，由，得，所以，得，所以，所以4是函数的周期.故选项C正确；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因为，所以，故选项A错误；由，得即，所以，故选项D正确.故选:BCD三、填空题12.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因为是关于方程（其中p、q为实数）的一个根，所以也是该方程的一个根，由韦达定理得，解得，所以.故〖答案〗为：.13.已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为___________.〖答案〗〖解析〗由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，由，则，所以圆方程为，圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.故〖答案〗为：14.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，若，令，则，又，则，因为，故，故，故在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增.若，则，而，故，故在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递增.因为，所以，得，故实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图所示，在三棱柱中,已知平面平面，，，.（1）证明：平面；（2）已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为平面平面，平面平面，又平面，且，所以平面，而平面，所以，在中，因为，，所以，所以，又，、平面，所以平面.（2）解：因为平面，平面，所以，而，所以两两互相垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因为是棱的中点，所以，所以，，设平面的法向量为，则，令，得；又，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.16.生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）男生女生合计历史类152540物理类352560合计5050100（1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；（2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.附，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为学生的性别对选科分类有影响.（2）设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.由题意，，，且，，.则，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234（另解：因为，所以）17已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程