2024届湖南省怀化市高三下学期第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3湖南省怀化市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题1.设集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，变形得到，故，所以，故选：A.3.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均为单位向量，得，所以，故与的夹角为.故选：B.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分条件．故选：B.5.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，因此函数在上递增，BD错误；当时，，求导得：在上递增，，，而，即有，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.故选：A6.给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（）A.是规范数集，不是规范数集 B.是规范数集，是规范数集C.不是规范数集，是规范数集 D.不是规范数集，不是规范数集〖答案〗C〖解析〗集合中，，则，即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；集合，，，即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.故选：C.7.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由当时，由三角函数线知识可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，即，当且仅当时等号成立，故而，所以.故选：A.8.为等差数列，公差为，且，,，函数在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos•2cossin2sina5cos2d•2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上单调∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零点，即，得到ω．故〖答案〗为故选D.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C.线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；对于B，由，得第75百分位数为，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选：ABD10.已知函数的零点为的零点为，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依题意，，，则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，则，于是，，，AC正确，B错误；，即，D错误.故选：AC11.在三棱锥中，平面，点是三角形内动点（含边界），，则下列结论正确的是（）A.与平面所成角的大小为B.三棱锥的体积最大值是2C.点的轨迹长度是D.异面直线与所成角的余弦值范围是〖答案〗ACD〖解析〗如图，把三棱锥补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系，对于A，由平面，得是与平面所成的角，，因此，A正确；对于C，由，得点的轨迹是以线段为直径的球面与相交的一段圆弧及点，令的中点分别为，则平面，，于是，显然点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C正确；对于B，由选项C知，当时，点到平面距离最大，最大距离为1，因此三棱锥的体积，B错误；对于D，设，则点，而，于是，又，令异面直线与所成的角大小为，则，令，在上单调递增，因此，D正确.故选：ACD三、填空题12.已知，则的单调增区间为_______．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故〖答案〗为：13.根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为_______．〖答案〗36〖解析〗依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为.故〖答案〗为：3614.已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为_______．〖答案〗〖解析〗显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，由消去y并整理得，，则且，设，于是，，由，得，则，，而，因此，解得，所以点坐标为.故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在三棱锥中，是等边三角形，是边的中点．（1）求证：；（2）若，平面平面，求直线与平面所成角余弦值．（1）证明：在三棱锥中，是等边三角形，是的中点，则，由，得≌，则，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，则平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，因此，所以直线与平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所对的边分别为,,,满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（当且仅时取等号）又，∴.17.现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.假设每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.（1）若，求；（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行2局，当时，甲以赢，，当时，甲以赢，，因此甲赢的概率为，则乙赢的概率为，所以.（2）设比赛再继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，当时，乙以赢，，当时，乙以赢，，于是得乙赢得全部奖金的概率，甲赢得全部奖金的概率，，，即函数在上单调递增，则有，因此乙赢的概率最大值为，所以事件A是小概率事件.18.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.又，所以而，所以，在四边形中，，所以，在中，根据余弦定理得即，化简得.所以椭圆的离心率；（2）因为椭圆的上顶点为，所以，所以，又由（1）知，解得，所以椭圆的标准方程为.在中，，，所以，从而，又为线段的中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，联立消去得①，，根据韦达定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.19.已知正项数列的前项和为，且.（1）求和的值，并求出数列的通项公式；（2）证明：；（3）设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.（1）解：由题意知当时，.当时，.因为，则当时，有.两式相减，得：，又因为，所以.故，，两式相减，得.因为，所以.又因为，，所以对，有，故等差数列，因此.（2）证明：设，则，所以在上单调递减，则，从而.令，得，即，分别取，则，……，，累加得.（3）解：由（2）知.由知.故，，，，所以.又由知，故，，，，所以.故，即.湖南省怀化市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题1.设集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，解得，因此，而，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，变形得到，故，所以，故选：A.3.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，均为单位向量，得，所以，故与的夹角为.故选：B.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，反之不成立．是的必要不充分条件．故选：B.5.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，因此函数在上递增，BD错误；当时，，求导得：在上递增，，，而，即有，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.故选：A6.给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（）A.是规范数集，不是规范数集 B.是规范数集，是规范数集C.不是规范数集，是规范数集 D.不是规范数集，不是规范数集〖答案〗C〖解析〗集合中，，则，即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；集合，，，即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.故选：C.7.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由当时，由三角函数线知识可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，即，当且仅当时等号成立，故而，所以.故选：A.8.为等差数列，公差为，且，,，函数在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos•2cossin2sina5cos2d•2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上单调∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零点，即，得到ω．故〖答案〗为故选D.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C.线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05〖答案〗ABD〖解析〗对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；对于B，由，得第75百分位数为，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选：ABD10.已知函数的零点为的零点为，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依题意，，，则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，则，于是，，，AC正确，B错误；，即，D错误.故选：AC11.在三棱锥中，平面，点是三角形内动点（含边界），，则下列结论正确的是（）A.与平面所成角的大小为B.三棱锥的体积最大值是2C.点的轨迹长度是D.异面直线与所成角的余弦值范围是〖答案〗ACD〖解析〗如图，把三棱锥补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系，对于A，由平面，得是与平面所成的角，，因此，A正确；对于C，由，得点的轨迹是以线段为直径的球面与相交的一段圆弧及点，令的中点分别为，则平面，，于是，显然点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C正确；对于B，由选项C知，当时，点到平面距离最大，最大距离为1，因此三棱锥的体积，B错误；对于D，设，则点，而，于是，又，令异面直线与所成的角大小为，则，令，在上单调递增，因此，D正确.故选：ACD三、填空题12.已知，则的单调增区间为_______．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故〖答案〗为：13.根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为_______．〖答案〗36〖解析〗依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为.故〖答案〗为：3614.已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为_______．〖答案〗〖解析〗显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，由消去y并整理得，，则且，设，于是，，由，得，则，，而，因此，解得，所以点坐标为.故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在三棱锥中，是等边三角形，是边的中点．（1）求证：；（2）若，平面平面，求直线与平面所成角余弦值．（1）证明：在三棱锥中，是等边三角形，是的中点，则，由，得≌，则，，而平面，因此平面，平面，所以.（2）解：由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，则平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，因此，所以直线与平面所成角的余弦值是.16.在中，角，，所对的边分别为,,,满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.解：（1）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（2）∵，，∴（当且仅时取等号）又，∴.17.现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.假设每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.（1）若，求；（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行2局，当时，甲以赢，