2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河南省新乡市2024届高三第三次模拟考试数学试卷一、选择题1.下列集合中有无数个元素的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，因为，，则，，故A错误；对于B，因为，，则，所以，故B错误；对于C，，，所以，故C错误；对于D，有无数个元素.故D正确.故选：D.2.已知为纯虚数，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由是纯虚数，得，所以.故选：B.3.已知向量，若与的夹角为，则（）A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗，则，故选：A.4.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时，直线，则，当时，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3，因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为，所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是.故选：C.6.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，因此，即D正确，ABC错误.故选：D.7.倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，则，解得，同理可得，如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，则，而，可得，故，故A正确，故选：A8.设，其中是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函数，求导得，即函数在上单调递减，而，又，因此，所以.故选：B二、选择题9.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（）A.这组新数据平均数为3 B.这组新数据的平均数为6C.这组新数据的方差为 D.这组新数据的方差为〖答案〗BC〖解析〗依题意，这组新数据的平均数为，方差为.故选：BC.10.已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则与为异面直线C.若，且，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，显然，又，则，A正确；对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；对于C，由，，知点在平面内，即为平面的公共点，而，因此，C正确；对于D，由，得，而，因此，D正确故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足，且，若，则（）A. B.的图象关于直线对称C.是周期函数 D.〖答案〗BCD〖解析〗由，得，则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；令，得，则，因此，A错误；由，得，则，因此的图象关于直线对称，B正确；由，得的图象关于直线对称，因此直线及均为图象的对称轴，从而，令，得，即，则，故，D正确.故〖答案〗为：BCD.三、填空题12.双曲线的实轴长为4，则________.〖答案〗1〖解析〗显然恒成立，则双曲线焦点在x轴上，于是，所以.故〖答案〗为：1.13.已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗函数，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗设，则，由，得，显然，连接，由，，得，，因此的周长显然，当，即时，，而时，，所以的周长的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）求的极值；（2）若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．（1）解：因为，所以，令，得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.（2）证明：设切点为，则切线的方程为，则，整理得，由过点可以作两条直线与曲线相切，可得方程有两个不相等的正根.令，则，当时，在上单调递减，则方程最多只有一个正根，不符合题意，当时，若，则在上单调递增，若，则在上单调递减，则，故要使得方程有两个不相等的正根，则.16.如图，在四面体中，分别为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，因为，所以，且，又，所以，≌，则，有，因为，所以，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，因为，分别为，的中点，所以，则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．解：（1）记这2个球颜色相同为事件，则；（2）依题意的可能取值为、、，则，，，所以的分布列为：所以18.已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设，则，即，显然点，依题意，，解得，由椭圆的焦距是2，得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设，因为，则，由（1）知，则直线的方程为，即，从而点到直线的距离，即，即.因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以，即，点在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，故存在定点，使得.19.函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数,例如：.对于任意的实数,定义数列满足．（1）求的值；（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．①求的通项公式；②证明：对任意的，都有．（1）解：由，得，则，所以；由，得，则，所以.（2）①解：依题意，，则，对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，而，则当时，，设，此时，即；当时，，设，此时，即，因此，恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，因为，所以.②证明：由，得，则为递增数列，，当时，，则，所以对任意的，都有.河南省新乡市2024届高三第三次模拟考试数学试卷一、选择题1.下列集合中有无数个元素的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，因为，，则，，故A错误；对于B，因为，，则，所以，故B错误；对于C，，，所以，故C错误；对于D，有无数个元素.故D正确.故选：D.2.已知为纯虚数，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由是纯虚数，得，所以.故选：B.3.已知向量，若与的夹角为，则（）A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗，则，故选：A.4.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时，直线，则，当时，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3，因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为，所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是.故选：C.6.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，因此，即D正确，ABC错误.故选：D.7.倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，则，解得，同理可得，如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，则，而，可得，故，故A正确，故选：A8.设，其中是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函数，求导得，即函数在上单调递减，而，又，因此，所以.故选：B二、选择题9.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（）A.这组新数据平均数为3 B.这组新数据的平均数为6C.这组新数据的方差为 D.这组新数据的方差为〖答案〗BC〖解析〗依题意，这组新数据的平均数为，方差为.故选：BC.10.已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则与为异面直线C.若，且，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，显然，又，则，A正确；对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；对于C，由，，知点在平面内，即为平面的公共点，而，因此，C正确；对于D，由，得，而，因此，D正确故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足，且，若，则（）A. B.的图象关于直线对称C.是周期函数 D.〖答案〗BCD〖解析〗由，得，则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；令，得，则，因此，A错误；由，得，则，因此的图象关于直线对称，B正确；由，得的图象关于直线对称，因此直线及均为图象的对称轴，从而，令，得，即，则，故，D正确.故〖答案〗为：BCD.三、填空题12.双曲线的实轴长为4，则________.〖答案〗1〖解析〗显然恒成立，则双曲线焦点在x轴上，于是，所以.故〖答案〗为：1.13.已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗函数，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗设，则，由，得，显然，连接，由，，得，，因此的周长显然，当，即时，，而时，，所以的周长的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）求的极值；（2）若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．（1）解：因为，所以，令，得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.（2）证明：设切点为，则切线的方程为，则，整理得，由过点可以作两条直线与曲线相切，可得方程有两个不相等的正根.令，则，当时，在上单调递减，则方程最多只有一个正根，不符合题意，当时，若，则在上单调递增，若，则在上单调递减，则，故要使得方程有两个不相等的正根，则.16.如图，在四面体中，分别为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，因为，所以，且，又，所以，≌，则，有，因为，所以，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，因为，分别为，的中点，所以，则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．解：（1）记这2个球颜色相同为事件，则；（2）依题意的可能取值为、、，则，，，所以的分布列为：所以18.已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设，则，即，显然点，依题意，，解得，由椭圆的焦距是2，得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设，因为，则，由（1）知，则直线的方程为，即，从而点到直线的距离，即，即.因为，所以，所以，所以，即，因为，所