2024届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、选择题1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，图中阴影部分表示的集合是,．故选：B．2.若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题得，，，其对应的点位于第四象限.故选：D．3.公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（）A.4 B.6 C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗设公差为，，，∴，．故选：C．4.自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的〖解析〗式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（）A. B.3 C.1 D.或3〖答案〗A〖解析〗，，，（舍）．，．故选：A5.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗设直线的方程为，设的坐标分别为联立直线与抛物线的方程，得，消去，得.则，.故选：C.6.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，过点作，交直线于点，则，可得.设，，则，因为，所以，由图可知，当与半圆相切时，最大，又由，，可得，所以，即最大为，所以的最大值为.故选：B.7.《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心.在上取一点，满足，则，则为三棱锥的外接球球心，当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，此时点与点重合.作，垂足为，，为三棱锥的高.由正四面体的棱长为，知，，，.设，则，故，.由，得，解得.，.故选：A.8.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，定义域为.所以.当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以当时，取得最大值为.所以函数的值域为.令，则，要使函数的值域为，则，解得或，综上，.故选：D.二、选择题9.某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；对于B，，，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：ABC．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.对任意实数，都有，则B.若，函数在上是单调递增函数，则C.若，函数在上的最大值为，最小值为，则的最小值为D.若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为〖答案〗ACD〖解析〗选项A，易知为最大值或最小值，则是的一条对称轴的方程.，，，，，正确；选项B，令，解得.在区间上是单调递增函数，则是的一个子区间.当时，，则，错误；选项C，当时，.令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为.要使最小，则的最大值或最小值点是区间的中点.根据的图象特点，由周期性不妨取或，解得或.当时，，，；当时，，，，正确；选项D，，，根据正弦函数图象知，在上有最小值，则，解得，正确.故选：ACD.11.已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（）A.若直线的斜率之和为，则直线恒过定点B.若直线的斜率之积为，则直线恒过定点C.若直线的斜率之和为，则直线恒过定点D.若直线的斜率之积为.则直线恒过定点〖答案〗ABC〖解析〗A选项，易知，，设，.依题意，设直线的方程为.，，，.联立得.，.，，.代入整理，得.，，.直线恒过定点，A正确；B选项，，代入整理，得，解得或（舍去）.直线恒过定点，B正确；C选项，，代入整理，得，或，恒过定点或，由于，故舍去，C正确；D选项，.代入整理，得，解得或，恒过定点或.由于，故舍去，直线恒过定点，D错误.故选：ABC.三、填空题12.已知的二项展开式中常数项为60，则______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，得，则的常数项为，当常数项为60时，.故〖答案〗为：.13.光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.〖答案〗〖解析〗如图，入射角，设折射角为，，，则，，所以，则，，所以，且.该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，则其所在直线的斜率为，直线的方程为，整理得.故〖答案〗为：14.若不等式，对于恒成立，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗令函数，则，由，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值为，由不等式，可得，所以，令，则，当时，；当时，，所以上单调递增，在上单调递减，即，即，所以的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.（1）解：，，，，两式相除，得，当，时，，，即；当，时，，，即，综上所述，数列的通项公式为；（2）证明：，，又，.16.双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求的值及年产量的第75百分位数；（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值.解：（1）由题意得，设产量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9，则，，解得，年产量的第75百分位数为180；（2）产量在中的工人有（人），，，若，则，解得，若，则，故当时，；当时，，故当时，取得最大值.17.如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（1）证明：在直三棱柱中，，则直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，显然，点平面，所以平面平面.（2）解：假设线段上存在点满足条件，，，设直线与平面所成的角为，则，化简得，而，解得，所以存在点符合题意，此时.18.已知双曲线左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上.（1）解：依题意，双曲线过点，代入双曲线〖解析〗式，得，解得，所以双曲线的标准方程为；（2）证明：直线与双曲线方程联立得消去并整理可得，所以，则，设，，则，，所以，点到直线的距离为，所以的面积为，令，则，，，，则，所以，则点在双曲线上.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若有两个极值点，证明：.（1）解：当时，函数，可得，所以，，所以切线方程为，当时，；当时，，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.（2）证明：依题意，有两个不等正根，不妨设，由得，设，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，可得，，且，，令，所以，当时，，可得，当时，，可得，所以在上单调递增，因为，所以，，再令，可得，当时，，上单递减；当时，，在上单递减，所以，所以，所以，令，，可得，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以，，所以.河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、选择题1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，图中阴影部分表示的集合是,．故选：B．2.若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题得，，，其对应的点位于第四象限.故选：D．3.公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（）A.4 B.6 C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗设公差为，，，∴，．故选：C．4.自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的〖解析〗式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（）A. B.3 C.1 D.或3〖答案〗A〖解析〗，，，（舍）．，．故选：A5.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗设直线的方程为，设的坐标分别为联立直线与抛物线的方程，得，消去，得.则，.故选：C.6.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，过点作，交直线于点，则，可得.设，，则，因为，所以，由图可知，当与半圆相切时，最大，又由，，可得，所以，即最大为，所以的最大值为.故选：B.7.《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心.在上取一点，满足，则，则为三棱锥的外接球球心，当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，此时点与点重合.作，垂足为，，为三棱锥的高.由正四面体的棱长为，知，，，.设，则，故，.由，得，解得.，.故选：A.8.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，定义域为.所以.当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以当时，取得最大值为.所以函数的值域为.令，则，要使函数的值域为，则，解得或，综上，.故选：D.二、选择题9.某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；对于B，，，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：ABC．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.对任意实数，都有，则B.若，函数在上是单调递增函数，则C.若，函数在上的最大值为，最小值为，则的最小值为D.若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为〖答案〗ACD〖解析〗选项A，易知为最大值或最小值，则是的一条对称轴的方程.，，，，，正确；选项B，令，解得.在区间上是单调递增函数，则是的一个子区间.当时，，则，错误；选项C，当时，.令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为.要使最小，则的最大值或最小值点是区间的中点.根据的图象特点，由周期性不妨取或，解得或.当时，，，；当时，，，，正确；选项D，，，根据正弦函数图象知，在上有最小值，则，解得，正确.故选：ACD.11.已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（）A.若直线的斜率之和为，则直线恒过定点B.若直线的斜率之积为，则直线恒过定点C.若直线的斜率之和为，则直线恒过定点D.若直线的斜率之积为.则直线恒过定点〖答案〗ABC〖解析〗A选项，易知，，设，.依题意，设直线的方程为.，，，.联立得.，.，，.代入整理，得.，，.直线恒过定点，A正确；B选项，，代入整理，得，解得或（舍去）.直线恒过定点，B正确；C选项，，代入整理，得，或，恒过定点或，由于，故舍去，C正确；D选项，.代入整理，得，解得或，恒过定点或.由于，故舍去，直线恒过定点，D错误.故选：ABC.三、填空题12.已知的二项展开式中常数项为60，则______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，得，则的常数项为，当常数项为60时，.故〖答案〗为：.13.光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.〖答案〗〖解析〗如图，入射角，设折射角为，，，则，，所以，则，，所以，且.该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，则其所在直线的斜率为，直线的方程为，整理得.故〖答案〗为：14.若不等式，对于恒成立，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗令函数，则，由，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值为，由不等式，可得，所以，令，则，当时，；当时，，所以上单调递增，在上单调递减，即，即，所以的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.（1）解：，，，，两式相除，得，当，时，，，即；当，时，，，即，综上所述，数列的通项公式为；（2）证明：，，又，.16.双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求的值及年产量的第75百分位数；（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值.解：（1）由题意得，设产量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9，则，，解得，年产量的第75百分位数为180；（2）产量在中的工人有（人），，，若，则，解得，若，则，