2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一下学期5月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省丽水市五校高中发展共同体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.2.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，化简得，即，，即与共线，当与共线时，则存在唯一实数，使得，，，与不一定相等，即不一定相等，故“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.3.在空间几何中下列说法正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.过一点有且只有一个平面与已知直线平行D.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直〖答案〗D〖解析〗A选项：根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两种情况，故当已知点在已知直线上时，可作无数条直线与已知直线垂直；当已知点在直线外时，可以作一条或者无数条直线与已知直线垂直，故A选项错误；B选项：当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行直线；当已知点在已知直线外时，可以作一条与已知直线平行的直线，故B选项错误；C选项：当已知点已知直线上时，不能作出平面与已知直线平行；当已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平行，故C选项错误；D选项：无论已知点在已知直线上还是已知直线外，假设过一点能作出两个平面与已知直线垂直，则这两个平面平行，显然与两平面经过一个点相互矛盾，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故D正确.故选：D.4.已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（）A. B.9 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，得，所以.故选：A.5.已知点O为所在平面内一点，且，，，则为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗如图所示，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，于是四边形BOCE是平行四边形，，又，，四点共线，AD是中线，同理可证BO、CO延长线均为的中线，O是的重心．又，，，，，，，O是的垂心，又，O是的外心，有上述可知：，，同理可证，，△ABC是等边三角形．故选：C.6.已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则（）A.， B.，C.直线， D.直线，〖答案〗C〖解析〗选项A，假设，则，与、为异面直线矛盾，故A错误；选项B，假设，结合，得到，与矛盾，故B错误；选项C、D，因为、为异面直线，所以在空间内过一点可以作，则，，即垂直于与所在的平面，又因为平面，平面，所以平面，平面，所以平面既垂直于平面，又垂直于平面，所以平面与平面相交，且交线垂直于平面，故平行于，故C正确.故选：C.7.已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（）A.的最小值是1 B.为定值C.的最大值是10 D.的最小值是8〖答案〗D〖解析〗A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，2为半径的圆上运动，所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确；B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以，，是定值，故B正确；选项C、D，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误.故选：D.8.设A、B、C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知条件及三角函数诱导公式得：，所以函数，的周期，在同一直角坐标系中作出函数，的图像，如图所示：因为A、B、C为连续三交点，(不妨设B在x轴下方)，D为AC的中点，由对称性知，是以AC为底边的等腰三角形，所以，由展开整理得：，又，所以，设点A、B的纵坐标分别为，则，即，要使为锐角三角形，则，又，所以当且仅当时满足要求，此时，解得，所以的取值范围是.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）9.已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，由题意可知，且，则，当为锐角时，由在上单调递增，则，当为钝角时，即，则，所以，故A正确；对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误；对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确；对于D，当，，时，符合题意，则，，即，故D错误.故选：AC.10.若复数，满足（为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，所以，故A正确；对于B，由已知，，所以，故B正确；对于C和D，由，设，则，故C错误，D正确.故选：ABD．11.已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（）A.动点M在侧面内轨迹的长度是B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2C.直线与所成的角为，则的最小值是D.存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为〖答案〗ABC〖解析〗如图所示，取中点，连接，取中点，连接，在立方体中，因为，为中点，所以，所以，，，四点共面，又因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，，所以平面，又因为平面，所以，因为，且，且均为锐角，所以，又因为平面，且平面，所以，又因为平面，且，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，且，所以平面，又因为，则平面，所以的轨迹为截面，对于A，因为平面，且平面平面，所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，且，又因为，所以，，所以四棱锥的体积为，故B正确；对于C，因为，所以直线与直线所成角为，在直角三角形中，当时，，所以，故C正确；对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大，且为或，因为，所以，所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，.故〖答案〗为：.13.高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为______．〖答案〗2〖解析〗设底面半径为，则母线长为，因为侧面积为，所以，解得，当截面为中轴面时顶角最大，截面的顶角设为，则，，所以最大面积为，此时，顶角为.故〖答案〗为：2.14.已知在锐角中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗根据正弦定理，，又因为，所以：，因为三角形为锐角三角形，因此，解得，所以，所以，因此的范围为，所以得的范围为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）若，，求b；（2）求证：．解：（1）由，得：，∴，结合余弦定理得：，∵，，∴．（2）由（1）得，∴，∴，，∴，，由可知，，即，∴，即．16.如图在三棱台中，四边形是等腰梯形，平面平面，，．（1）求三棱台的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）记与的面积分别为和，则由题可得，，如图过点作，垂足为O，平面平面且交线为，平面，，，，.（2）过点O作，垂足为E，连接，由（1）得平面，平面，，又，平面，平面，平面，，为平面与平面夹角的平面角，是上靠近的四等分点，由得，，平面与平面ABC所成角的余弦值为．17.欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．（1）根据欧拉公式计算；（2）设函数，求函数在上的值域．解：（1）．（2），因，所以，，，即.18.如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，．（1）若，①请用，表示；②设与相交于点，求.（2）若，求的取值范围．解：（1）①，，，．②设，则，三点共线，，．（2），，，，．19.“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连接，得到如图（2）所示的四棱锥．（1）求证：平面；（2）若E为棱上一点，记，①若求直线与平面所成角的正切值；②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由．解：（1）①连接AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴，由题可得，，且平面，平面，∴平面，又平面∴，∵，平面，平面，∴平面．（2）①连接SO交CE于点G，由（1）得平面，∴为直线CE与平面SBD所成角，∵，AD＝CD＝1，，∴，∵，∴，在三角形中，由，，所以由余弦定理得：，，∴，即，∴，∴直线与平面所成角的正切值为．②连接，∵，∴或其补角为直线与直线所成角，则假设存在点，满足，由得，，在三角形中，由，所以由余弦定理得：，过点作，交于，由平面，平面，得，所以，由可得，因为，所以，，在三角形中，由余弦定理得：，再由，平面可得平面，又因为平面，所以，在直角三角形中，由勾股定理得：．在三角形中，又因为，所以由余弦定理得：，解得，∴存在使得直线与直线所成角为．浙江省丽水市五校高中发展共同体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.2.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，化简得，即，，即与共线，当与共线时，则存在唯一实数，使得，，，与不一定相等，即不一定相等，故“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.3.在空间几何中下列说法正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.过一点有且只有一个平面与已知直线平行D.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直〖答案〗D〖解析〗A选项：根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两种情况，故当已知点在已知直线上时，可作无数条直线与已知直线垂直；当已知点在直线外时，可以作一条或者无数条直线与已知直线垂直，故A选项错误；B选项：当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行直线；当已知点在已知直线外时，可以作一条与已知直线平行的直线，故B选项错误；C选项：当已知点已知直线上时，不能作出平面与已知直线平行；当已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平行，故C选项错误；D选项：无论已知点在已知直线上还是已知直线外，假设过一点能作出两个平面与已知直线垂直，则这两个平面平行，显然与两平面经过一个点相互矛盾，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故D正确.故选：D.4.已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（）A. B.9 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，得，所以.故选：A.5.已知点O为所在平面内一点，且，，，则为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗如图所示，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，于是四边形BOCE是平行四边形，，又，，四点共线，AD是中线，同理可证BO、CO延长线均为的中线，O是的重心．又，，，，，，，O是的垂心，又，O是的外心，有上述可知：，，同理可证，，△ABC是等边三角形．故选：C.6.已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则（）A.， B.，C.直线， D.直线，〖答案〗C〖解析〗选项A，假设，则，与、为异面直线矛盾，故A错误；选项B，假设，结合，得到，与矛盾，故B错误；选项C、D，因为、为异面直线，所以在空间内过一点可以作，则，，即垂直于与所在的平面，又因为平面，平面，所以平面，平面，所以平面既垂直于平面，又垂直于平面，所以平面与平面相交，且交线垂直于平面，故平行于，故C正确.故选：C.7.已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（）A.的最小值是1 B.为定值C.的最大值是10 D.的最小值是8〖答案〗D〖解析〗A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，2为半径的圆上运动，所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确；B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以，，是定值，故B正确；选项C、D，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误.故选：D.8.设A、B、C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知条件及三角函数诱导公式得：，所以函数，的周期，在同一直角坐标系中作出函数，的图像，如图所示：因为A、B、C为连续三交点，(不妨设B在x轴下方)，D为AC的中点，由对称性知，是以AC为底边的等腰三角形，所以，由展开整理得：，又，所以，设点A、B的纵坐标分别为，则，即，要使为锐角三角形，则，又，所以当且仅当时满足要求，此时，解得，所以的取值范围是.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）9.已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，由题意可知，且，则，当为锐角时，由在上单调递增，则，当为钝角时，即，则，所以，故A正确；对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误；对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确；对于D，当，，时，符合题意，则，，即，故D错误.故选：AC.10.若复数，满足（为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，所以，故A正确；对于B，由已知，，所以，故B正确；对于C和D，由，设，则，故C错误，D正确.故选：ABD．11.已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（）A.动点M在侧面内轨迹的长度是B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2C.直线与所成的角为，则的最小值是D.存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为〖答案〗ABC〖解析〗如图所示，取中点，连接，取中点，连接，在立方体中，因为，为中点，所以，所以，，，四点共面，又因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，，所以平面，又因为平面，所以，因为，且，且均为锐角，所以，又因为平面，且平面，所以，又因为平面，且，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，且，所以平面，又因为，则平面，所以的轨迹为截面，对于A，因为平面，且平面平面，所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，且，又因为，所以，，所以四棱锥的体积为，故B正确；对于C，因为，所以直线与直线所成角为，在直角三角形中，当时，，所以，故C正确；对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大，且为或，因为，所以，所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，.故〖答案〗为：.13.高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为______．〖答案〗2〖解析〗设底面半径为，则母线长为，因为侧面积为，所以，解得，当截面为中轴面时顶角最大，截面的顶角设为，则，，所以最大面积为，此时，顶角为.故〖答案〗为：2.14.已知在锐角中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗根据正弦定理，，又因为，所以：，因为三角形为锐角三角形，因此，解得，所以，所以，因此的范围为，所以得的范围为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）若，，求b；（2）求证：．解：（1）由，得：，∴，结合余弦定理得：，∵，，∴．（2）由（1）得，∴，∴，，∴，，由可知，，即，∴，即．16.如图在三棱台中，四边形是等腰梯形，平面平面，，．（1）求三棱台的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）记与的面积分别为和，则由题可得，，如图过点作，垂足为O，平面平面且交线为，平面，，，，.（2）过点O作，垂足为E，连接，由（1）得平面，平面，，又，平面，平面，平面，，为平面与平面夹角的平面角，是上靠近的四等分点，由得，，平面与平面ABC所成角的余弦值为．17.欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．（1）根据欧拉