2023-2024学年广东省广州市番禺区高二下学期期中数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期中数学试卷1.、互为共轭复数，，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，、互为共轭复数，∴，所以=2.故选：B.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗由题意设等差数列的首项、公差分别为，因，所以，从而.故选：D.3.将序号分别为1，2，3，4，5五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，

则有种不同的分法；

故选:B．4.已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，故，故选：A.5.在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗棱长为的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：，所以该球的表面积.故选：C.6.已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.故选：D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与一条渐近线垂直，垂足为，交双曲线右支于点，，则离心率（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗设，不妨取其中一条渐近线，由两直线垂直，斜率乘积为-1有，过的直线的方程为，联立上述两直线可求得点M的坐标为，因为，则，故，由直线的方程为得N点坐标为，因为点在双曲线上，所以，化简得，故，故A，C，D错误.故选：B.8.已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故当时，有最大值，而，由此可知当时，，当时，，若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知的最大值又，所以，所以，解得，所以，即的取值范围是.故选：B.9.在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（）A. B.展开式中各项系数和为C.第项的二项式系数最大 D.展开式中所有系数的绝对值的和为〖答案〗ABD〖解析〗由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；令，得，B选项正确；时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项正确；故选：ABD.10.已知函数，则（）A.的最大值为3 B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.在上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗，对选项A：函数的最大值为，错误；对选项B：函数的最小正周期为，正确；对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；对选项D：，则，函数单调递增，正确；故选：BCD.11.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以选项C正确；因为，所以，因此选项D正确；因为，所以选项B不正确，故选：ACD12.已知的面积为，，则=____．〖答案〗〖解析〗,，解得,所以，∴,∴,故〖答案〗为：.13.已知抛物线顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．〖答案〗1〖解析〗设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故〖答案〗为：114.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故〖答案〗为：15.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）由，可得，又，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，，设，前n项和为，，，两式相减得，，得，.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获奖.（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中将的次数为，求的分布列和数学期望.解：（1）记事件{甲、乙两箱中摸出球都是红球}，则.即顾客抽奖次能获奖的概率为；（2）由题可知，，，.故的分布列为：所以的数学期望为.17.如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，，，，P为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为，平面平面，平面平面,平面，所以平面，又因为平面，所以．在矩形中，，，P为的中点，所以，，因为，根据勾股定理逆定理可得．因为，平面，所以平面EPF，又因为平面，所以平面平面．（2）以F为坐标原点，FA，FC，FE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面DPC的法向量为，由得令，则．同理可得平面BCD的一个法向量为．设平面BCD与平面DPC的夹角为，故，即平面BCD与平面DPC夹角的余弦值为．18.已知椭圆E：过点，且其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）．解：（1）由题意可知，，解得：，，，所以椭圆的方程为；（2）设过点的直线为，，，，，联立，得，，，，所以，，联立直线和方程，得，，所以，得，，即因为点是的中点，，所以，所以.所以是定值，且定值为.19.设函数，其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.解：（1）由已知，的定义域为，且，因此当时，，从而，所以在内单调递增.（2）（i）由（1）知，，令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，，即，从而，即，因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得，广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期中数学试卷1.、互为共轭复数，，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，、互为共轭复数，∴，所以=2.故选：B.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗由题意设等差数列的首项、公差分别为，因，所以，从而.故选：D.3.将序号分别为1，2，3，4，5五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，

则有种不同的分法；

故选:B．4.已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，故，故选：A.5.在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗棱长为的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：，所以该球的表面积.故选：C.6.已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.故选：D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与一条渐近线垂直，垂足为，交双曲线右支于点，，则离心率（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗设，不妨取其中一条渐近线，由两直线垂直，斜率乘积为-1有，过的直线的方程为，联立上述两直线可求得点M的坐标为，因为，则，故，由直线的方程为得N点坐标为，因为点在双曲线上，所以，化简得，故，故A，C，D错误.故选：B.8.已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故当时，有最大值，而，由此可知当时，，当时，，若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知的最大值又，所以，所以，解得，所以，即的取值范围是.故选：B.9.在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（）A. B.展开式中各项系数和为C.第项的二项式系数最大 D.展开式中所有系数的绝对值的和为〖答案〗ABD〖解析〗由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；令，得，B选项正确；时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项正确；故选：ABD.10.已知函数，则（）A.的最大值为3 B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.在上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗，对选项A：函数的最大值为，错误；对选项B：函数的最小正周期为，正确；对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；对选项D：，则，函数单调递增，正确；故选：BCD.11.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以选项C正确；因为，所以，因此选项D正确；因为，所以选项B不正确，故选：ACD12.已知的面积为，，则=____．〖答案〗〖解析〗,，解得,所以，∴,∴,故〖答案〗为：.13.已知抛物线顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．〖答案〗1〖解析〗设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故〖答案〗为：114.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故〖答案〗为：15.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）由，可得，又，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，，设，前n项和为，，，两式相减得，，得，.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获奖.（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中将的次数为，求的分布列和数学期望.解：（1）记事件{甲、乙两箱中摸出球都是红球}，则.即顾客抽奖次能获奖的概率为；（2）由题可知，，，.故的分布列为：所以的数学期望为.17.如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，，，，P为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为，平面平面，平面平面,平面，所以平面，又因为平面，所以．在矩形中，，，P为的中点，所以，，因为，根据勾股定理逆定理可得．因为，平面，所以平面EPF，又因为平面，所以平面平面．（2）以F为坐标原点，FA，FC，FE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面DPC的法向量为，由得令，则．同理可得平面BCD的一个法向量为．设平面BCD与平面DPC的夹角为，故，即平面BCD与平面DPC夹角的余弦值为．18.已知椭圆E：过点，且其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）．解：（1）由题意可知，，解得：，，，所以椭圆的方程为；（2）设过点的直线为，，，，，联立，得，，，，所以，，联立直线和方程，得，，所以，得，，即因为点是的中点，，所以，所以.所以是定