2022-2023学年江苏省宿迁市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（）A. B.且C. D.且〖答案〗B〖解析〗由题可知，即，又向量不共线，所以，，所以实数k的取值范围为且.故选：B.2.已知是空间中两条不重合的直线，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，若，，则或和为异面直线，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则或和相交，故C错误；对于D，若，，则，故D正确.故选：D.3.下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（）A.互斥事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事件C.互斥事件一定是独立事件 D.独立事件一定是互斥事件〖答案〗B〖解析〗互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.故选：B.4.设，且，在复平面内，z对应点Z，则Z点的轨迹图形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，且知，在复平面内，z对应的点Z的轨迹图形为圆环，大圆半径为2，小圆半径为1，其面积为.故选：C.5.用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由直观图还原得到原图形如下，由斜二测画法可得，，，所以，故选：C.6.在中，角所对的边分别为．若，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D.7.设，，，则有（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，，且在上单调递增，所以，即.故选：B.8.八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（）A.39 B.48 C.57 D.60〖答案〗A〖解析〗如图所示建立平面直角坐标系，因为正八边形的每个内角为，所以，所以，又因为，所以，，由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，所以设，则，所以，（），所以当时，取得最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗设，，则，，若，则，即，因，，所以，A正确；若，则，而，，B错误；若，则两复数至少一个为零，即至少一个是，可得，故C正确；若，可得，而，可得，故D错.故选：AC.10.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（）A. B.众数为80C.71百分位数是82 D.平均分是〖答案〗ACD〖解析〗由频率分布直方图可得，，解得，故A正确；众数的估计值为，故B错误；前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为，则设71百分位数是，所以，解得，所以71百分位数是82，故C正确；由频率分布直方图估计平均数为，故D正确.故选：ACD.11.在中，，，则下列判断正确的是（）A.的周长有最大值为21B.的平分线长的最大值为C.若，则边上的中线长为D.若，则该三角形有两解〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，故，变形得到，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长有最大值为，A正确；B选项，如图，为三角形的角平分线，故，过点作⊥于点，⊥于点，则，设，则，，又，所以，解得，由A选项可知，又，故，，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的平分线长的最大值为，B正确；C选项，若，则，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故边上的中线长为，C错误；D选项，若，则，而，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD.12.如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（）A.动点的轨迹长度为B.当//平面时，与平面的距离为C.直线与底面所成角的最大值为D.二面角的范围是〖答案〗AC〖解析〗正四棱柱中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，对于A选项，因为且与所成角为，所以与所成角也为，又，，又在底面内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为，故选项A正确；对于B选项，当//平面时，到平面的距离即为与平面的距离，，，在中，，边上的高为2，设到平面的距离为，则，解得，故选项B错误；对于C选项，连接，则线段为线段在底面的投影，故直线与底面所成角为，且，由选项A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为，即，故选项C正确；对于D选项，当在线段上时，，，因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则，过作交于点，分别连接，则，故四边形是等腰梯形，取中点，则，所以是二面角的平面角，在四边形中，，，故，又，故，由选项B知，，在中，由余弦定理得，所以，故选项D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为_________海里．〖答案〗〖解析〗由题意知：，，所以，又，由正弦定理知：，则海里.故〖答案〗为：.15.某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的均分为70，方差为4；6名男生的均分为80，方差为14．则该小组10名同学的测验成绩的方差为__________．〖答案〗34〖解析〗该小组10名同学的测验成绩的均值为，所以该小组10名同学的测验成绩的方差为.故〖答案〗为：34.16.用以棱长为2的正方体的各个顶点为球心，1为半径分别作球面截该正方体，则该正方体所剩部分的体积为__________，表面积为__________．〖答案〗〖解析〗由题意，以各顶点为球心所截几何体均为一个八分之一球体，且没有重叠部分，所以正方体所剩部分的体积为，其表面积为正方体表面积减去6个半径为1的圆，再加上球体表面积，所以表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知平面向量，都是单位向量，．（1）求与的夹角；（2）若，求在上的投影向量的坐标．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：（1）选①：由知，又，所以，得，则，又，则．选②：由知，又，所以有，得，则，又，则.选③：由知，又，所以有，得，则，又，则．（2）设，由（1）可知，解得或，所以或，即或．18.一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球．（1）请你写出该随机试验的样本空间；（2）记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件．①试判断事件A与事件是否为相互独立事件；②求事件的概率．解：（1）根据已知，可得样本空间，包含8个等可能样本点.（2）①由（1）可知，事件A包含的样本点有：，，，，故；事件包含的基本事件有：，，，，故；事件包含的基本事件有：，，故；因，故事件与事件为相互独立事件.②方法一：事件包含的基本事件有：，，，，，，故.方法二：设事件的对立事件为，则事件包含的基本事件有：，，故，.方法三：.19.已知，且为纯虚数，其中是虚数单位．（1）若，求复数；（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围．解：（1）设，则，由为纯虚数知，，则且，故，由得，则，故复数或.（2），由在复平面内对应的点在第三象限知，解得，又，故复数的实部的取值范围为．20.已知．（1）求值；（2）已知，求的值．解：（1）法一：，得，．法二：，由，得，，．（2）法一：由，得，，，由（1）知，，得．法二：由，得，或，当时，，当时，，故，由（1）知，，得．21.如图，在三棱台中，侧面底面，且，，底面为正三角形．（1）求三棱台的体积；（2）过点作平面平行于平面，分别交，，于，，．求证：平面．解：（1）在三棱台，因为底面为正三角形，所以也为正三角形，因为，，所以，，因为，，所以四边形为等腰梯形，作交于，则，所以梯形高为，由侧面底面，侧面底面，，，所以平面，所以为三棱台的高，由三棱台体积公式得.（2）连接，因为平面于平面，平面平面，平面平面，所以，同理：，由，则四边形为平行四边形，又，，得，所以为中点，同理为中点，所以，，因为，，所以四边形为菱形，所以，因为为菱形对角线交点，所以为中点，又，所以，又，则，又，平面，平面，所以平面．22.在圆的内接四边形中，，，，示意如图．（1）若是圆的直径，求的长；（2）若圆的直径为，求四边形的面积．解：（1）连接，设，则，因为是圆O的直径，则与为直角三角形，有，又，，即，整理得，所以.（2）连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得，设，同理在中有，，解得，因此四边形的面积，所以四边形的面积为或.江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（）A. B.且C. D.且〖答案〗B〖解析〗由题可知，即，又向量不共线，所以，，所以实数k的取值范围为且.故选：B.2.已知是空间中两条不重合的直线，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，若，，则或和为异面直线，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则或和相交，故C错误；对于D，若，，则，故D正确.故选：D.3.下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（）A.互斥事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事件C.互斥事件一定是独立事件 D.独立事件一定是互斥事件〖答案〗B〖解析〗互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.故选：B.4.设，且，在复平面内，z对应点Z，则Z点的轨迹图形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，且知，在复平面内，z对应的点Z的轨迹图形为圆环，大圆半径为2，小圆半径为1，其面积为.故选：C.5.用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由直观图还原得到原图形如下，由斜二测画法可得，，，所以，故选：C.6.在中，角所对的边分别为．若，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D.7.设，，，则有（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，，且在上单调递增，所以，即.故选：B.8.八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（）A.39 B.48 C.57 D.60〖答案〗A〖解析〗如图所示建立平面直角坐标系，因为正八边形的每个内角为，所以，所以，又因为，所以，，由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，所以设，则，所以，（），所以当时，取得最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗设，，则，，若，则，即，因，，所以，A正确；若，则，而，，B错误；若，则两复数至少一个为零，即至少一个是，可得，故C正确；若，可得，而，可得，故D错.故选：AC.10.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（）A. B.众数为80C.71百分位数是82 D.平均分是〖答案〗ACD〖解析〗由频率分布直方图可得，，解得，故A正确；众数的估计值为，故B错误；前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为，则设71百分位数是，所以，解得，所以71百分位数是82，故C正确；由频率分布直方图估计平均数为，故D正确.故选：ACD.11.在中，，，则下列判断正确的是（）A.的周长有最大值为21B.的平分线长的最大值为C.若，则边上的中线长为D.若，则该三角形有两解〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，故，变形得到，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长有最大值为，A正确；B选项，如图，为三角形的角平分线，故，过点作⊥于点，⊥于点，则，设，则，，又，所以，解得，由A选项可知，又，故，，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的平分线长的最大值为，B正确；C选项，若，则，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故边上的中线长为，C错误；D选项，若，则，而，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD.12.如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（）A.动点的轨迹长度为B.当//平面时，与平面的距离为C.直线与底面所成角的最大值为D.二面角的范围是〖答案〗AC〖解析〗正四棱柱中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，对于A选项，因为且与所成角为，所以与所成角也为，又，，又在底面内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为，故选项A正确；对于B选项，当//平面时，到平面的距离即为与平面的距离，，，在中，，边上的高为2，设到平面的距离为，则，解得，故选项B错误；对于C选项，连接，则线段为线段在底面的投影，故直线与底面所成角为，且，由选项A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为，即，故选项C正确；对于D选项，当在线段上时，，，因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则，过作交于点，分别连接，则，故四边形是等腰梯形，取中点，则，所以是二面角的平面角，在四边形中，，，故，又，故，由选项B知，，在中，由余弦定理得，所以，故选项D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为_________海里．〖答案〗〖解析〗由题意知：，，所以，又，由正弦定理知：，则海里.故〖答案〗为：.15.某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的均分为70，方差为4；6名男生的均分为80，方差为14．则该小组10名同学的测验成绩的方差为__________．〖答案〗34〖解析〗该小组10名同学的测验成绩的均值为，所以该小组10名同学的测验成绩的方差为.故〖答案〗为：34.16.用以棱长为2的正方体的各个顶点为球心，1为半径分别作球面截该正方体，则该正方体所剩部分的体积为__________，表面积为__________．〖答案〗〖解析〗由题意，以各顶点为球心所截几何体均为一个八分之一球体，且没有重叠部分，所以正方体所剩部分的体积为，其表面积为正方体表面积减去6个半径为1的圆，再加上球体表面积，所以表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知平面向量，都是单位向量，．（1）求与的夹角；（2）若，求在上的投影向量的坐标．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：（1）选①：由知，又，所以，得，则，又，则．选②：由知，又，所以有，得，则，又，则.选③：由知，又，所以有，得，则，又，则．（2）设，由（1）可知，解得或，所以或，即或．18.一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球．（1）请你写出该随机试验的样本空间；（2）记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件．①试判断事件A与事件