44-第四章习题课(概率统计)

第四章随机变量的数字特征习题课四习题课四中,归纳第四章的概念、理论与方法等内容.在“例题分类解析”部分,讲解:直接按定义计算随机变量的数学期望;利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算.直接按定义计算随机变量的方差;利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算;习题课四内容简介：

5.对较复杂的随机变量进行分解,化为简单随机变量之和进行计算.

6.一维随机变量函数的数字特征;

7.二维随机变量及其函数的数字特征;

8.相关性与独立性问题;

9.有关数字特征的证明问题.

介绍学习与研究方法所谓随机变量的数字特征是指联系于分布函数的某些数,它们反映随机变量的某方面的特征.找到这些特征,往往分布函数(或概率分布,概率密度函数)随之就确定了.不过在许多实际问题中,我们并不需要完全知道分布函数,只需要知道随机变量的某些数字特征就够了.随机变量的数字特征在理论和实际中均具有重要作用. 内容简介

在本章中,首先,给出了数学期望的定义,介绍了关于随机变量函数的数学期望的定理,然后讨论了数学期望的性质.其次,给出了方差的定义,讨论了方差的性质.最后,定义了相关系数、协方差和矩.本章重点:1.数学期望的概念和性质;2.方差的概念和性质;3.相关系数的概念和计算.本章难点:1.随机变量函数的数学期望的计算;2.方差的计算;

3.随机变量的相关性和独立性的关系.

4.1主要内容归纳1.一维随机变量的数学期望表4-1一维随机变量的数学期望若X的概率密度为则(2)若随机变量函数为则连续型随机变量

若X的分布律为则(2)若随机变量函数为则离散型随机变量

(1)(为常数);(2)(3)(4)(5)若X与Y相互独立,则数学期望性质

2.一维随机变量的方差表4-2一维随机变量的方差连续型离散型

若X的概率密度为则若X的分布律为则(1)(2)(C为常数);(3)(4)(5)若X与Y相互独立,则.方差性质

表4-3二维随机变量的数学期望与方差设的联合分布律为则(2)二维离散型随机变量的函数的数学期望等于数学期望

离散型随机变量3.二维随机变量的数学期望与方差(1)设的概率密度为,则(2)二维随机变量函数的数学期望等于数学期望连续型随机变量方差方差

(1)-1≤≤1;(2)若X,Y相互独立，则(3)以概率1与X线性相关,即存在常数a,b,使相关系数(1)(2)(3)(4)(5)协方差表4-4协方差和相关系数

4.协方差和相关系数

5.矩和协方差矩阵X的k阶原点矩X的k阶中心矩连续型X的k阶原点矩X的k阶中心矩离散型矩

表4-5矩和协方差矩阵

（X,Y）的协方差矩阵其中协方差矩阵6.常用分布的数学期望和方差表4-6常用分布的数学期望和方差泊松分布

二项分布

两点分布

方差

期望

分布律或概率密度

分布

均匀分布

正态分布

几何分布

指数分布

7.重要结论和常用公式表4-7重要结论和期望、方差计算时常用公式(1)特别地,当X与Y独立时(2)(3)X与Y独立但反过来不成立.(4)若服从二维正态分布,则X与Y独立X与Y不相关.重要结论

(1)(2)

(3)

-函数的性质:

其中(5)常用公式

4.2例题分类解析1.直接按定义计算随机变量的数学期望

例4.1

设随机变量X的概率密度为,求因此只需按照数学期望的定义计算即可.这里随机变量X的概率密度已知,分析解由定义

例4.2

已知随机变量X的分布函数为求我们由此求得其概率密度,进而得到数学期望.分析这里给出的是随机变量的分布函数解随机变量X的概率密度为由此次数的数学期望.相互独立的,其概率均为

例4.3

设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,又设在各个交通岗遇到红灯的事是试求途中遇到红灯解令X表示途中遇到红灯的次数,由题意即X的分布律为P3210X从而

2.利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算

例4.4

已知X服从参数为2的泊松分布,即则随机变量的数学期望____.

分析本题涉及泊松分布的数学期望和数学期望的运算性质.由于所以因此解这里由于未给出分布律,所以须先由试验写出分布律,然后计算.

例4.5

对某目标进行射击,直到击中为止.若每次命中概率为p(0<p<1),求射击次数的期望和方差.分析解以X表示射击的次数,则X的分布律为P321X3.直接按定义计算随机变量的方差又故有

4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算

例4.6

设随机变量相互独立,其中[0,6]上服从均匀分布,在服从正态分布服从参数为的指数分布.记求和分析差和由它们所构成的线性函数的方差问题.本题涉及几种常用分布的期望、方由题设知解由期望的性质可得由于相互独立,所以

例4.7

设随机变量X与Y独立,且试求的概率密度.分析组合的计算.涉及用数字特征表示随机变量函数的概率密度问题.涉及独立正态随机变量函数的线性因此解由题设知,故有

例4.8

设二维随机变量(X,Y)在区域内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度及随机变量的方差分析本题涉及边缘概率密度的计算和函数方差的计算.易知D的面积为1.解因此(X,Y)的概率密度为由关于X的边缘概率密度讨论如下:(1)当x≤0或x≥1时,(2)当0<x<1时,所以由此可得此外于是有最后,由方差的性质可得5.对较复杂的随机变量进行分解,化为简单随机变量之和进行计算

例4.9

设某人先写了n封投向不同地址的信,再写n个标有这n个地址的信封,然后在每个信封内随意装入一封信.试求信与地址配对的个数的数学期望.这是一个“配对”问题.若采用先求分布再按定义计算期望的方法将十分麻烦.下面我们将这个比较复杂的随机变量分解为简单随机变量之和.分析首先定义如下：则解进而再设X表示配对的个数,则故有

例4.10

若有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能打开门上的锁,用它们去试开门上的锁.设取到每把钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去,试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.(1)写出X的分布律;(2)不写出X的分布律.分析就意味着前次所取的钥匙均未能打开门,而第k次所取的钥匙能将门打开.据此我们可以写出X的分布律.解(1)以表示事件“第k次试开成功”.表示前k-1次所取的钥匙均未能打开门,第k次所取的钥匙能将门打开.即有即X的分布律为故(2)引入随机变量如下:则沿用(1)中的记号,

则有故有6.一维随机变量函数的数字特征分析

例4.11

设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则的数学期望____.

解,得到所以本题涉及二项分布及函数的数字

特征.

例4.12

设随机变量X服从参数为1的指数分布,求分析本题涉及一维随机变量函数的数学期望的计算.解由题设可知X的概率密度于是因此,7.二维随机变量及其函数的数字特征的分布律为

例4.13

设和是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知

又设(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律;

(2)求分析本题涉及二维离散随机变量的函数的分布律和期望.解(1)下面实际计算一下注意到因此类似地计算,可得的分布律如下表332121YX000所以(2)由的分布律可得关于X的321X边缘分布律和

例4.14

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求分析由于概率密度中含有待定参数,所以应首先根据求得A.解由得因此,于是有利用对称性,有由于所以,协方差的两个随机变量,则_____.

分析注意到相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布,得X,Y的分布是确解记U=X-Y,则

由此可知

例4.15设X和Y是相互独立且服从正态分布于是8.相关性和独立性问题

例4.16

设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充分必要条().(A)

(B)(C)

(D)分析本题涉及协方差的计算,因为不相关等价于协方差为零.解而等价于与不相关,

所以选(B).(A)不相关的充分条件,但不是必要条件.(B)独立的充分条件,但不是必要条件.

例4.17

设随机变量X和Y的方差存在且不是X与Y().等于0,

则(C)不相关的充分必要条件.(D)独立的充分必要条件.两个随机变量不相关的充要条件是它们的相关系数为零,而后者只是两个随机变量立的必要条件.分析解因为故选项(C)正确.所以X和Y不相关的充分必要条件是即分析本题涉及知识点很多,包括期望、方差和相关系数及独立性等.

例4.18

已知随机变量且X与Y的相关系数设(1)求和(2)求X与Z的相关系数(3)问X与Z是否相互独立?为什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X与Z不相关,因Z不一定服从正态分布,(X,Z)更不一定服从正态分布,X与Z不一定相互独立..

9.有关数字特征的证明问题分析事实上就是一个以C为参数的二次函数.

在

例4.19

设X是随机变量,C是常数,证明处取得最小值函数≥

取得最小值等号仅当时成立,所以在处证由于分析本题涉及随机变量的方差的性质.证由于所以从而有

例4.20

证明:对于任意两个随机变量X和Y,则有

若称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B相互独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质证明≤1.分析这里定义了随机事件的相关系数,并讨论了它的某些性质.证(1)由的定义可知

例4.21

对于任意二事件A,B,即二事件A和B独立.因此是A和B独立的充分必要条件.(2)考虑随机变量由条件知,X,Y都服从0-1分布

于是.这样,可知随机事件A和B的相关系数就等于随机变量X和Y的相关系数.因此≤1.

例4.22

设A,B是二随机事件,随机变量

试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是随机事件A和B相互独立.分析本问题涉及随机变量的相关性和随机事件的独性.证记由数学期望的定义有注意到XY的可能取值为-1,1,又

因此从而由此可见即故X和Y不相关的充要条件是A和B相关独立.关系是一个非常重要的问题,在以往研究生考试中曾多次涉及,参见第三节历年考研真题详解.

注2.随机变量的独立性和不相关性的概念和随机事件独立的概念.切记,相互独立的随机变量一定是不相关的,但反之不然.

注1.

本题考查了随机变量的不相关的10.应用题

例4.23

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里机器无故障企业可获利10万元;机器发生一次故障企业仍可获利润5万元;机器发生二次故障企业所获利润0元;机器发生三次或者三次以上故障企业就亏损2万元,求一周内企业期望利润是多少?分析本题涉及离散型随机变量函数的数学期望.易知一周内发生故障的次数服从二项分布,而所获利润是它的函数.

解以X表示一周5天内机器发生故障天数,

则X服从参数为5,0.2的二项分布

于是≥以Y表示所获利润,则因此

=5.216(万元).例4.24

假设由自动生产线加工的某种零件

的内径X(单位:mm)服从正态分布内径小于10或大于12为不