强度计算.结构分析：振动分析：结构动力学数值模拟教程

强度计算.结构分析：振动分析：结构动力学数值模拟教程1强度计算.结构分析：振动分析：结构动力学数值模拟1.1基础理论1.1.1经典力学回顾经典力学是研究物体运动的基本理论，其核心包括牛顿运动定律和能量守恒定律。在结构动力学中，我们主要关注牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度（F=示例：简谐振动的牛顿第二定律应用假设一个质量为m的物体，通过一个弹簧与固定点相连，弹簧的弹性系数为k。当物体偏离平衡位置x时，它将经历简谐振动。我们可以使用牛顿第二定律来描述这一运动：m其中，x表示物体的加速度。这是一个二阶线性微分方程，其解描述了物体随时间的位移变化。1.1.2振动理论基础振动理论是结构动力学的基础，它研究结构在动态载荷作用下的响应。振动可以分为自由振动、受迫振动和自激振动。在数值模拟中，我们通常关注受迫振动，即结构在外部载荷作用下的振动。示例：受迫振动的数值模拟考虑一个单自由度系统，其运动方程可以表示为：m其中，m是质量，c是阻尼系数，k是弹性系数，x和x分别是位移的二阶和一阶导数，Ftimportnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#参数设置

m=1.0#质量

c=0.1#阻尼系数

k=10.0#弹性系数

F0=5.0#外部载荷的幅值

omega=2.0*np.pi#外部载荷的角频率

#时间参数

t_start=0.0

t_end=10.0

dt=0.01

t=np.arange(t_start,t_end,dt)

#外部载荷

F=F0*np.sin(omega*t)

#初始条件

x=[0.0]#初始位移

v=[0.0]#初始速度

#欧拉法求解

foriinrange(1,len(t)):

a=(-c*v[i-1]-k*x[i-1]+F[i])/m

v.append(v[i-1]+a*dt)

x.append(x[i-1]+v[i]*dt)

#绘制结果

plt.figure()

plt.plot(t,x,label='位移')

plt.plot(t,F,label='外部载荷')

plt.legend()

plt.show()这段代码使用欧拉法模拟了一个受迫振动的单自由度系统。通过设置不同的参数，可以观察到系统响应的变化，从而理解振动理论的基本概念。1.1.3结构动力学概述结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的行为。它涉及到结构的振动、稳定性、疲劳和断裂等问题。在现代工程中，结构动力学的数值模拟是设计和评估结构性能的关键工具。示例：多自由度系统的动力学分析多自由度系统（MDOF）的动力学分析通常涉及到矩阵运算和求解线性微分方程组。考虑一个由两个质量块组成的系统，每个质量块通过弹簧和阻尼器与地面相连，同时两个质量块之间也通过弹簧和阻尼器相连。系统的运动方程可以表示为：M其中，M是质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，x是位移向量，Ftimportnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#系统参数

M=np.array([[1.0,0.0],[0.0,1.0]])#质量矩阵

C=np.array([[0.1,0.0],[0.0,0.1]])#阻尼矩阵

K=np.array([[10.0,-5.0],[-5.0,15.0]])#刚度矩阵

F=lambdat:np.array([5.0*np.sin(2.0*np.pi*t),0.0])#外部载荷

#定义微分方程

defsystem(t,y):

x1,x2,v1,v2=y

dx1dt=v1

dx2dt=v2

dv1dt=(-C[0,0]*v1-K[0,0]*x1-K[0,1]*x2+F(t)[0])/M[0,0]

dv2dt=(-C[1,1]*v2-K[1,0]*x1-K[1,1]*x2+F(t)[1])/M[1,1]

return[dx1dt,dx2dt,dv1dt,dv2dt]

#初始条件

y0=[0.0,0.0,0.0,0.0]

#时间参数

t_span=(0.0,10.0)

#求解微分方程

sol=solve_ivp(system,t_span,y0,t_eval=np.arange(0.0,10.0,0.01))

#绘制结果

plt.figure()

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='质量1位移')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='质量2位移')

plt.legend()

plt.show()这段代码使用了egrate.solve_ivp函数来求解多自由度系统的动力学方程。通过调整参数和载荷，可以模拟不同类型的结构动力学问题，如桥梁、建筑物或机械部件的振动分析。2数值方法2.1有限元法原理有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种广泛应用于工程分析的数值技术，主要用于求解复杂的结构力学、热力学、流体力学等问题。其基本思想是将连续的结构或系统离散化为有限个单元的集合，每个单元用简单的函数来近似表示其行为，然后通过组合这些单元来模拟整个结构的行为。2.1.1原理有限元法基于变分原理和加权残值法。在结构分析中，它通过将结构划分为多个小的、形状规则的单元，然后在每个单元内假设位移或应力的分布形式，通常是多项式函数。这些单元通过节点连接，节点处的位移或应力是连续的。通过求解单元的平衡方程，可以得到整个结构的解。2.1.2示例假设我们有一个简单的梁，需要使用有限元法来分析其在载荷作用下的变形。我们可以使用Python的SciPy库来实现这一过程。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义梁的长度、弹性模量、截面惯性矩和节点数

L=1.0

E=200e9

I=0.05

n=10

#计算单元长度和刚度矩阵

h=L/(n-1)

k=(E*I)/(h**3)*np.array([[12,6*h,-12,6*h],

[6*h,4*h**2,-6*h,2*h**2],

[-12,-6*h,12,-6*h],

[6*h,2*h**2,-6*h,4*h**2]])

#创建全局刚度矩阵

K=diags([np.repeat(k[0,0],n-1),

np.repeat(k[1,1],n),

np.repeat(k[2,2],n-1),

np.repeat(k[3,3],n),

np.repeat(k[0,1],n-2),

np.repeat(k[0,2],n-2),

np.repeat(k[1,2],n-1),

np.repeat(k[1,3],n-1),

np.repeat(k[2,3],n-1)],

[0,1,2,3,-1,-2,1,2,-3],

shape=(2*n,2*n)).toarray()

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[-1,:]=0

K[-1,-1]=1

#定义载荷向量

F=np.zeros(2*n)

F[n-1]=-10000

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print("位移向量:",U)2.1.3解释上述代码中，我们首先定义了梁的基本参数，然后计算了单元的刚度矩阵。通过diags函数创建了全局刚度矩阵，并应用了边界条件（两端固定）。最后，我们定义了载荷向量，并使用spsolve函数求解了位移向量。2.2时间积分方法时间积分方法是解决动力学问题的关键技术，它用于求解随时间变化的系统响应。在结构动力学中，时间积分方法可以用来模拟结构在动态载荷作用下的行为，如地震、爆炸等。2.2.1原理时间积分方法基于牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。在数值模拟中，我们通常将时间离散化，然后在每个时间步上求解动力学方程。常见的方法有显式和隐式时间积分方法，其中显式方法计算速度快，但稳定性条件严格；隐式方法计算速度慢，但稳定性好。2.2.2示例考虑一个简单的单自由度系统，我们可以使用显式欧拉法来求解其动力学响应。importnumpyasnp

#定义系统参数

m=1.0#质量

k=100.0#弹簧刚度

c=10.0#阻尼系数

F=100.0#外力

#定义时间参数

t0=0.0

tf=10.0

dt=0.01

#初始化状态向量

x=np.zeros(int((tf-t0)/dt)+1)

v=np.zeros(int((tf-t0)/dt)+1)

x[0]=1.0#初始位移

v[0]=0.0#初始速度

#显式欧拉法求解

foriinrange(1,len(x)):

a=(F-c*v[i-1]-k*x[i-1])/m

x[i]=x[i-1]+v[i-1]*dt+0.5*a*dt**2

v[i]=v[i-1]+a*dt

#输出结果

print("位移向量:",x)2.2.3解释在这个例子中，我们使用显式欧拉法来求解单自由度系统的动力学响应。我们首先定义了系统的参数，包括质量、弹簧刚度、阻尼系数和外力。然后，我们初始化了状态向量，并在每个时间步上使用欧拉法更新位移和速度。2.3模态分析技术模态分析是一种用于结构动力学分析的技术，它通过求解结构的固有频率和模态形状，来分析结构在动态载荷作用下的响应。2.3.1原理模态分析基于结构的振动方程，即质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵的组合。通过求解这些矩阵的特征值和特征向量，可以得到结构的固有频率和模态形状。这些信息对于理解结构的动力学行为至关重要，特别是在设计和优化结构时。2.3.2示例考虑一个简单的二自由度系统，我们可以使用Python的numpy库来求解其模态。importnumpyasnp

#定义质量矩阵和刚度矩阵

M=np.array([[1.0,0.0],

[0.0,1.0]])

K=np.array([[100.0,-50.0],

[-50.0,100.0]])

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(M)@K)

#输出固有频率和模态形状

omega=np.sqrt(eigenvalues)

T=2*np.pi/omega

print("固有频率:",omega)

print("周期:",T)

print("模态形状:",eigenvectors)2.3.3解释在这个例子中，我们定义了一个二自由度系统的质量矩阵和刚度矩阵。然后，我们使用numpy的linalg.eig函数求解了特征值和特征向量，从而得到了固有频率和模态形状。固有频率和周期是结构动力学分析中的关键参数，模态形状则描述了结构在不同频率下的振动模式。3振动类型3.1自由振动分析自由振动分析是结构动力学中的一种基本分析方法，它研究的是结构在没有外部激励作用下，仅由初始条件（如初始位移和速度）引起的振动。自由振动分析可以帮助我们理解结构的固有特性，如固有频率、振型和阻尼比。3.1.1原理自由振动的运动方程可以表示为：M其中，M是质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，u是位移向量，点表示时间导数。3.1.2内容在自由振动分析中，我们通常关注的是结构的固有频率和振型。固有频率是结构振动的自然频率，振型则描述了结构在特定频率下振动的形状。这些信息对于设计和评估结构的动态性能至关重要。示例假设我们有一个简单的单自由度系统，其运动方程为：m其中，m=1 kgimportnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

#定义质量矩阵和刚度矩阵

m=1.0#质量

k=10.0#弹性系数

M=np.array([[m]])

K=np.array([[k]])

#求解固有频率和振型

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#固有频率（单位：Hz）

natural_frequencies=np.sqrt(eigenvalues)/(2*np.pi)

#振型

modes=eigenvectors

print("固有频率:",natural_frequencies)

print("振型:",modes)3.1.3解释上述代码中，我们使用了numpy和scipy.linalg库来求解特征值问题，从而得到固有频率和振型。eig函数用于计算矩阵K和M的特征值和特征向量，特征值的平方根除以2π3.2受迫振动分析受迫振动分析研究的是结构在外部激励作用下的响应。这种分析对于理解结构在实际工作条件下的动态行为非常重要，例如，风、地震或机器运转时的振动。3.2.1原理受迫振动的运动方程可以表示为：M其中，Ft3.2.2内容在受迫振动分析中，我们关注的是结构的动态响应，包括位移、速度和加速度。这些响应可以通过数值模拟来预测，例如使用有限元方法或时域分析。示例假设我们有一个单自由度系统，受到一个正弦波激励力的作用，其运动方程为：m其中，m=1 kg，c=0.1importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定义参数

m=1.0#质量

c=0.1#阻尼

k=10.0#弹性系数

F0=5.0#激励力幅值

omega=2*np.pi#激励力频率

#定义运动方程

defforced_vibration(t,y):

x,v=y#位移和速度

dxdt=v#位移对时间的导数

dvdt=(-c*v-k*x+F0*np.sin(omega*t))/m#速度对时间的导数

return[dxdt,dvdt]

#初始条件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#时间范围

t_span=(0,10)

#求解动态响应

sol=solve_ivp(forced_vibration,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#输出结果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='位移')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='速度')

plt.legend()

plt.show()3.2.3解释在受迫振动分析的示例中，我们使用了egrate.solve_ivp函数来求解微分方程。forced_vibration函数定义了运动方程，y0是初始条件，t_span定义了时间范围。通过solve_ivp函数，我们得到了系统的动态响应，包括位移和速度，最后使用matplotlib库来可视化这些响应。3.3随机振动分析随机振动分析处理的是结构在随机激励下的响应，这种激励通常无法用确定的函数来描述，例如风或海浪的振动。3.3.1原理随机振动分析通常涉及到概率和统计理论，我们关注的是结构响应的概率分布，而不是确定的响应值。3.3.2内容在随机振动分析中，我们通常使用功率谱密度（PSD）来描述激励的特性，以及响应的统计特性，如均方根值（RMS）。示例假设我们有一个单自由度系统，受到一个随机激励力的作用，我们可以通过模拟随机力的时间序列，然后使用时域分析来预测系统的响应。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

m=1.0#质量

c=0.1#阻尼

k=10.0#弹性系数

#生成随机激励力

np.random.seed(0)

t=np.linspace(0,10,1000)

F=np.random.normal(0,1,len(t))

#定义运动方程

defrandom_vibration(t,y):

x,v=y#位移和速度

dxdt=v#位移对时间的导数

dvdt=(-c*v-k*x+F[int(t*100)])/m#速度对时间的导数

return[dxdt,dvdt]

#初始条件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#时间范围

t_span=(0,10)

#求解动态响应

sol=solve_ivp(random_vibration,t_span,y0,t_eval=t)

#输出结果

plt.plot(t,sol.y[0],label='位移')

plt.plot(t,sol.y[1],label='速度')

plt.legend()

plt.show()3.3.3解释在随机振动分析的示例中，我们首先生成了一个随机激励力的时间序列，然后定义了运动方程，其中激励力Ft是随机生成的。通过solve_ivp函数，我们得到了系统的动态响应，最后使用matplotlib以上三个部分详细介绍了自由振动分析、受迫振动分析和随机振动分析的原理、内容和示例，通过这些示例，我们可以更好地理解如何使用数值模拟来分析结构的动态行为。4动力学模拟4.1瞬态分析瞬态分析是结构动力学数值模拟中的一种方法，用于研究结构在时间域内对瞬时或非周期性载荷的响应。这种分析特别适用于预测结构在动态载荷作用下的行为，如地震、爆炸或机械冲击等。4.1.1原理瞬态分析基于牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。在瞬态分析中，结构的运动方程可以表示为：M其中：-M是质量矩阵，-C是阻尼矩阵，-K是刚度矩阵，-u是位移向量，-Ft4.1.2内容瞬态分析通常涉及以下步骤：1.建立模型：定义结构的几何、材料属性、边界条件和载荷。2.离散化：使用有限元方法将连续结构离散化为一系列离散单元。3.求解：通过数值积分方法（如Newmark方法或中央差分法）求解运动方程。4.后处理：分析和可视化结果，如位移、速度、加速度和应力。4.1.3示例假设我们有一个简单的单自由度系统，质量为1kg，刚度为100N/m，受到一个随时间变化的力Ft=10importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义系统参数

m=1.0#质量

k=100.0#刚度

c=0.1#阻尼

#定义外力函数

defF(t):

return10*np.sin(10*t)

#定义运动方程

defmotion(t,y):

u,v=y#位移和速度

du_dt=v

dv_dt=(-c*v-k*u+F(t))/m

return[du_dt,dv_dt]

#定义求解参数

t_span=(0,10)

y0=[0,0]#初始条件：位移和速度为0

#求解

sol=solve_ivp(motion,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#可视化结果

plt.figure()

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='位移')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='速度')

plt.legend()

plt.show()此代码示例展示了如何使用数值积分方法求解瞬态响应，并通过matplotlib库可视化结果。4.2谐波响应分析谐波响应分析用于评估结构在正弦载荷作用下的稳态响应。这种分析特别适用于预测结构在周期性载荷下的行为，如旋转机械的振动。4.2.1原理在谐波响应分析中，外力FtF其中：-F0是力的幅值，-ω是角频率，-ϕ4.2.2内容谐波响应分析通常包括：1.建立模型：与瞬态分析类似，定义结构的几何、材料属性、边界条件和载荷。2.求解：使用频域分析方法求解结构的稳态响应。3.结果分析：计算位移、速度、加速度和应力的幅值和相位。4.2.3示例继续使用上述单自由度系统，但这次我们假设外力为正弦载荷Ftimportnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义系统参数

m=1.0#质量

k=100.0#刚度

c=0.1#阻尼

F0=10.0#力的幅值

omega=10.0#角频率

#计算谐波响应

defharmonic_response(m,c,k,F0,omega):

#计算阻尼比

zeta=c/(2*np.sqrt(m*k))

#计算无阻尼自然频率

wn=np.sqrt(k/m)

#计算有阻尼自然频率

wd=wn*np.sqrt(1-zeta**2)

#计算幅值

A=F0/np.sqrt((k-m*omega**2)**2+(c*omega)**2)

#计算相位角

phi=np.arctan((c*omega)/(k-m*omega**2))

returnA,phi

#求解

A,phi=harmonic_response(m,c,k,F0,omega)

#可视化结果

plt.figure()

plt.plot(omega,A,label='幅值')

plt.plot(omega,phi,label='相位角')

plt.legend()

plt.show()请注意，此示例中的代码仅计算了特定频率下的幅值和相位角，而实际的谐波响应分析通常会计算一系列频率下的响应，以生成频率响应函数。4.3频谱分析频谱分析用于研究结构对随机或复杂载荷的响应，通过将载荷分解为一系列频率成分来分析。4.3.1原理频谱分析基于傅里叶变换，将时间域内的信号转换为频域内的信号。对于结构动力学，这通常涉及到计算结构的频率响应函数（FRF）。4.3.2内容频谱分析包括：1.建立模型：定义结构的几何、材料属性、边界条件和载荷。2.载荷频谱：确定载荷的频谱特性。3.求解：使用频域分析方法求解结构的响应。4.结果分析：分析频率响应函数，确定关键频率和响应特性。4.3.3示例假设我们有一个结构，受到一个具有特定频谱特性的随机载荷作用。我们可以使用Python的numpy和matplotlib库来分析该载荷的频谱，并可视化结果。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#生成随机载荷信号

t=np.linspace(0,10,1000)

F=np.random.normal(0,1,t.shape)

#使用傅里叶变换计算频谱

F_fft=np.fft.fft(F)

freq=np.fft.fftfreq(t.shape[-1],d=(t[1]-t[0]))

#可视化频谱

plt.figure()

plt.plot(freq,np.abs(F_fft),label='频谱')

plt.xlabel('频率(Hz)')

plt.ylabel('幅值')

plt.legend()

plt.show()此代码示例展示了如何使用傅里叶变换计算随机载荷的频谱，并通过matplotlib库可视化结果。在实际应用中，频谱分析会结合结构的频率响应函数来评估结构的响应。5结构动力学在桥梁工程中的应用5.1概述桥梁作为交通网络中的关键组成部分，其结构动力学分析对于确保桥梁的安全性和耐久性至关重要。振动分析和动力学模拟能够帮助工程师理解桥梁在动态载荷下的行为，如风、地震、车辆通过等，从而优化设计，预防潜在的结构失效。5.2动力学模型桥梁的动力学模型通常基于有限元方法构建，将桥梁结构离散为多个单元，每个单元具有特定的物理属性，如质量、刚度和阻尼。这些属性决定了桥梁对动态载荷的响应。5.2.1有限元模型示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义桥梁的物理参数

E=2.1e11#弹性模量，单位：帕斯卡

rho=7850#密度，单位：千克/立方米

A=0.5#截面积，单位：平方米

I=0.05#惯性矩，单位：平方米^4

L=100#桥梁长度，单位：米

n_elements=10#元素数量

#计算每个元素的长度

element_length=L/n_elements

#构建质量矩阵和刚度矩阵

M=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

K=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

#填充质量矩阵和刚度矩阵

foriinrange(n_elements):

M[i:i+2,i:i+2]+=rho*A*element_length*np.eye(2)

K[i:i+2,i:i+2]+=(E*I/element_length**3)*np.array([[12,6*element_length],[6*element_length,4*element_length**2]])

#转换为稀疏矩阵以提高求解效率

M=csc_matrix(M)

K=csc_matrix(K)

#定义外部载荷

F=np.zeros(n_elements+1)

F[5]=1e6#在第6个节点施加1百万牛顿的力

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print("节点位移：",U)此代码示例展示了如何使用有限元方法构建桥梁的简化动力学模型，并求解在特定载荷下的节点位移。5.3振动分析振动分析用于评估桥梁在动态载荷下的响应，包括固有频率、振型和阻尼比等关键参数。5.3.1固有频率计算示例#导入必要的库

fromscipy.linalgimporteig

#使用之前构建的质量矩阵M和刚度矩阵K

#计算固有频率和振型

eigenvalues,eigenvectors=eig(K.todense(),M.todense())

#固有频率为固有值的平方根

natural_frequencies=np.sqrt(eigenvalues)

#输出前三个固有频率

print("前三个固有频率：",natural_frequencies[:3])此代码示例展示了如何计算桥梁的固有频率，这对于理解桥梁的动态特性至关重要。6在建筑结构中的振动分析6.1概述建筑结构的振动分析是评估建筑物在风、地震等动态载荷下稳定性和安全性的重要工具。通过数值模拟，工程师可以预测结构的振动模式，优化设计以减少振动对居住者的影响。6.2动力学模型建筑结构的动力学模型同样基于有限元方法，考虑结构的三维特性，包括梁、板、柱等不同构件的相互作用。6.2.1动力学模型构建示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义建筑结构的物理参数

E=3.0e10#弹性模量，单位：帕斯卡

rho=2500#密度，单位：千克/立方米

A=1.0#截面积，单位：平方米

I=0.1#惯性矩，单位：平方米^4

L=50#结构长度，单位：米

n_elements=5#元素数量

#计算每个元素的长度

element_length=L/n_elements

#构建质量矩阵和刚度矩阵

M=np.zeros((3*(n_elements+1),3*(n_elements+1)))

K=np.zeros((3*(n_elements+1),3*(n_elements+1)))

#填充质量矩阵和刚度矩阵

foriinrange(n_elements):

M[3*i:3*(i+1),3*i:3*(i+1)]+=rho*A*element_length*np.eye(3)

K[3*i:3*(i+1),3*i:3*(i+1)]+=(E*I/element_length**3)*np.array([[12,6*element_length,0],[6*element_length,4*element_length**2,0],[0,0,0]])

#转换为稀疏矩阵以提高求解效率

M=csc_matrix(M)

K=csc_matrix(K)

#定义外部载荷

F=np.zeros(3*(n_elements+1))

F[15]=1e6#在第6个节点的y方向施加1百万牛顿的力

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print("节点位移：",U)此代码示例展示了如何构建一个建筑结构的简化动力学模型，并求解在特定载荷下的节点位移。6.3振动分析在建筑结构中，振动分析不仅关注固有频率，还关注振动的衰减特性，即阻尼比，以及在特定频率下的响应。6.3.1阻尼比计算示例#定义阻尼矩阵C

C=0.05*(M+K)#假设阻尼比为5%，使用瑞利阻尼模型

#使用之前构建的质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼矩阵C

#计算固有频率和振型

eigenvalues,eigenvectors=eig(K.todense(),M.todense())

#固有频率为固有值的平方根

natural_frequencies=np.sqrt(eigenvalues)

#输出前三个固有频率

print("前三个固有频率：",natural_frequencies[:3])此代码示例展示了如何在考虑阻尼的情况下计算建筑结构的固有频率。7机械系统动力学模拟案例7.1概述机械系统动力学模拟用于预测和优化机器在运行过程中的动态行为，包括振动、应力和位移等。这对于设计高效、安全的机械装置至关重要。7.2动力学模型机械系统的动力学模型通常包括多个相互作用的部件，如齿轮、轴、轴承等，通过有限元方法或多体动力学方法进行建模。7.2.1多体动力学模拟示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromsympy.physics.mechanicsimportdynamicsymbols,ReferenceFrame,Point,inertia,RigidBody

fromsympy.physics.mechanicsimportKanesMethod

#定义时间变量

t=dynamicsymbols._t

#定义系统参数

m=10#质量，单位：千克

l=1.0#杠杆长度，单位：米

g=9.81#重力加速度，单位：米/秒^2

#创建参考系和点

N=ReferenceFrame('N')

P=Point('P')

P.set_vel(N,0)

#创建刚体

I=inertia(N,0,0,0)

body=RigidBody('body',P,N,m,(I,P))

#定义外部力

F=100#外力，单位：牛顿

#使用凯恩方法建立动力学方程

km=KanesMethod(N)

q=dynamicsymbols('q')

u=dynamicsymbols('u')

kd=[]

fr,frstar=km.kanes_equations([body],[q,u],kd)

#求解动力学方程

sol=km.to_matrix(2).subs({F:100,g:9.81,m:10,l:1.0})

#输出动力学方程

print("动力学方程：",sol)此代码示例展示了如何使用多体动力学方法建立一个简单机械系统的动力学模型，并求解动力学方程。7.3结论通过上述示例，我们可以看到，无论是桥梁工程、建筑结构还是机械系统，结构动力学数值模拟都是一个复杂但至关重要的过程。它不仅需要对物理原理有深入的理解，还需要熟练掌握数值计算和编程技巧。这些技术的应用能够显著提高结构设计的准确性和效率，确保工程项目的成功实施。8软件操作8.1ANSYS操作指南8.1.1引言ANSYS是一款广泛应用于工程分析的软件，特别在结构动力学分析中，它提供了强大的振动分析功能。本指南将详细介绍如何在ANSYS中进行振动分析，包括前处理、求解和后处理的步骤。8.1.2前处理创建模型在ANSYS中，首先需要创建或导入结构模型。这通常涉及定义几何形状、材料属性和网格划分。施加边界条件边界条件对于振动分析至关重要，包括固定约束、载荷和激励。例如，应用一个简谐载荷：#ANSYSPythonAPI示例

fromansys.mapdl.coreimportlaunch_mapdl

mapdl=launch_mapdl()

mapdl.prep7()

mapdl.et(1,'SHELL181')#定义单元类型

mapdl.r(1,0.1)#定义单元厚度

mapdl.mp('EX',1,2e11)#定义弹性模量

mapdl.mp('DENS',1,7800)#定义密度

mapdl.mp('POISS',1,0.3)#定义泊松比

mapdl.blc(1,1,1,1)#创建一个1x1x1的立方体

mapdl.esize(0.1)#设置网格尺寸

mapdl.vmesh('ALL')#生成网格

mapdl.nsel('S','LOC','Z',0)#选择底部节点

mapdl.d('ALL','ALL',0)#应用固定约束

mapdl.nsel('R')#重置选择

mapdl.nsel('S','LOC','Z',1)#选择顶部节点

mapdl.f('ALL','PRES',100)#应用压力载荷定义分析类型选择适当的分析类型，对于振动分析，通常选择模态分析或谐响应分析。8.1.3求解在ANSYS中设置求解参数，包括频率范围、求解步长等，然后运行求解器。#设置模态分析参数并求解

mapdl.antype('MODAL')#设置分析类型为模态分析

mapdl.modopt('LANB',10)#设置求解模式为Lanczos，求解前10个模态

mapdl.solve()#运行求解8.1.4后处理分析结果，包括模态频率、振型和响应。#获取模态频率

eigenvalues=mapdl.eigval()

frequencies=np.sqrt(eigenvalues)*1/(2*np.pi)

print(frequencies)8.2ABAQUS动力学分析流程8.2.1引言ABAQUS是另一款广泛使用的工程分析软件，特别擅长于复杂的非线性动力学分析。以下是在ABAQUS中进行动力学分析的步骤。8.2.2前处理创建模型在ABAQUS中创建或导入模型，定义材料属性和网格。施加边界条件和载荷例如，定义一个简谐激励：#ABAQUSPythonAPI示例

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

executeOnCaeStartup()

session.viewports['Viewport:1'].setValues(displayedObject=None)

a=mdb.models['Model-1'].rootAssembly

session.viewports['Viewport:1'].setValues(displayedObject=a)

session.viewports['Viewport:1'].assemblyDisplay.setValues(step='Step-1')

session.viewports['Viewport:1'].assemblyDisplay.setValues(loads=ON)

mdb.models['Model-1'].loads['Load-1'].setValues(magnitude=100*cos(2*pi*10*t))8.2.3定义分析步设置动力学分析步，包括时间步长、求解方