第08讲两条直线的位置关系

第08讲两条直线的位置关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能根据直线的斜率或直线的法向量判定两条直线相交、平行、重合或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．能利用两条直线的平行、垂直关系，求直线方程.知识点1两条直线的相交、平行与重合1.斜截式方程下的结论：2.一般式方程下的结论：对于两条直线，法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)（1）相交的充要条件是两法向量不共线，即：；（2）平行或重合的充要条件是两法向量共线，即：A1,B2=A2B1（3）l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))知识点2两条直线的垂直1.斜截式方程下的结论：2.一般式方程下的结论：对于两条直线，法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)v1·v2=0⇔.考点一：两条直线平行的判断例1.（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：．【答案】证明见解析【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论.【详解】证明：由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，又，,即不共线，即不重合，因为，∴.【变式11】（2324高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？【答案】答案见解析【详解】不一定．直线的斜率，与直线的斜率相等．故当直线经过点（1，0）时，直线与重合；当直线不经过点（1，0）时，直线与平行．【变式12】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：(1)，；(2)，；(3)，.【答案】(1)不平行也不垂直(2)平行(3)不平行也不垂直【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为1，斜率相等时注意是否重合即可.【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直；（2）由题意得：且，故平行；（3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直.【变式13】（2223高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)，；(2)，．【答案】(1)平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】分别写出直线，的斜率，即可判断出其位置关系.【详解】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，又直线，在y轴上的截距分别为1和，所以与不重合，从而；（2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，所以与不平行．考点二：两条直线垂直的判断例2.（2324高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为；（2）若直线，直线，则的充要条件为.【答案】【分析】根据直线垂直的性质进行填空.【详解】（1）若直线，直线，则的充要条件；（2）若直线，直线，则的充要条件为.故答案为：，【变式21】（多选）（2324高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由两条直线斜率相乘为1，判断两直线的垂直.【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项.故选：BC【变式22】（多选）（2324高二上·湖南长沙·阶段练习）关于直线：，则下列结论正确的是（

）A．倾斜角为 B．为直线的一个方向向量C．在轴上的截距为 D．与直线垂直【答案】BD【分析】由直线方程确定斜率，即得倾斜角，根据其斜截式确定截距、方向向量判断A、B、C；由两直线斜率关系判断D.【详解】直线可写为，故斜率为，易知其倾斜角为，A错；在轴上的截距为，且为直线的一个方向向量，B对，C错；由的斜率为，显然，故两线垂直，D对.故选：BD【变式23】（2223高二·全国·课堂例题）解答下列各题：(1)已知四点，，，，求证：；(2)已知直线，，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）由斜率公式求出直线的斜率，证明垂直；（2）根据直线方程求出的斜率，证明垂直.【详解】（1）由斜率公式，得，，则，所以．（2）由，的方程可知，它们的斜率，，从而，所以．考点三：根据两条直线平行求参数例3.（2324高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为．【答案】【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可.【详解】当与平行或重合时，，当与平行或重合时，，解得，当与平行或重合时，，此时无解；当三条直线经过同一点时，联立，解得，故的取值所构成的集合为.故答案为：【变式31】（2324高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（

）A．2 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据直线平行求出即可得解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或1，经检验均满足题意，所以实数的所有取值之和为.故选：B【变式32】（2324高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为两条直线平行，所以直线斜率相等或斜率不存在，当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立；当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立，综上或.所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.故选：A.【变式33】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则.【答案】【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可.【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即，因为，所以，故答案为：.考点四：根据两条直线垂直求参数例4.（2324高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（

）A．24 B．0 C．20 D．【答案】C【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案.【详解】因为直线与互相垂直，所以，解得；垂足在直线上，所以，垂足在直线上，所以，所以.故选：C【变式41】（2324高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】当时，，即，则，即；当时，，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C【变式42】（2324高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则．【答案】【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得.【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为,由两直线垂直可得，解得.故答案为：【变式43】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直，．【答案】【分析】由已知结合直线垂直条件可建立关于a的方程，从而可求得结果.【详解】因为直线与直线垂直，所以.故答案为：考点五：求两条直线的交点例5.（2223高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为.(1)求点的坐标；(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标；（2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得.【详解】（1）联立方程解得.（2）直线在两坐标轴上的截距相等，直线的斜率为或经过原点.①当直线过原点时，直线过点，的方程为；②当直线斜率为时，直线过点，的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.【变式51】（2324高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合【答案】D【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系.【详解】直线可化为，所以当时，两直线重合；当时，两直线相交.故选：D【变式52】（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解.【详解】由，解得，即所求方程的直线过点，令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，因此所求方程的直线斜率，所以所求的直线方程为，即.故选：C【变式53】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为.【答案】【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标.【详解】联立，解得.直线和的交点为.故答案为：考点六：平行、垂直条件下求直线方程例6（2324高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线平行；(2)与直线垂直.【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提.【详解】（1）由，解得，即点，设所求直线方程为，则，解得，所以所求直线方程为.（2）由（1）知，点，设所求直线方程为，则，解得，所以所求方程为.【变式61】（多选）（2324高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（

）A．与的交点坐标是B．过与的交点且与垂直的直线的方程为C．，与x轴围成的三角形的面积是D．的倾斜角是锐角【答案】BC【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D.【详解】与可得，，解得交点坐标为，所以A错误；由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得，即，所以B正确；如图，与轴相交于，与轴相交于，与相交于

所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确；的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误.故选：BC.【变式62】（2324高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，，AB边上的高CD所在直线方程为，则直线AB的方程为．【答案】【分析】根据直线垂直可得直线AB的斜率，进而根据点斜式写出方程即可.【详解】由题意，CD所在直线方程为，即，斜率为，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.【变式63】（2324高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为.【答案】【分析】由垂直关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程，化为斜截式即可求.【详解】由直线，得，设直线的斜率为，则由直线与直线垂直，则，则直线为，即，即直线在轴上的截距为.故答案为：考点七：根据两直线的交点、交点个数求参数例7.（多选）（2223高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】AC【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解.【详解】联立方程，解得，因为交点在第四象限，可得，解得故选：AC.【变式71】（2021高二·全国·课后作业）（多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为（

）．A．1 B．2 C．－2 D．－1【答案】AC【分析】由交点个数分析可得三条直线中，有两条直线互相平行，结合斜率分析即得解【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行．∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行．∵的斜率为1，的斜率为－2，的斜率为a，∴或时，两直线分别平行且不重合，符合题意故选：AC【变式72】（2324高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于.【答案】【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解.【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为，将点代入直线，可得，解得，即实数的值为.故答案为：.【变式73】（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.【答案】/【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：考点八：平行、垂直在几何图形中的应用例8.（2324高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.

【答案】证明见解析【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直．【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，

设等边三角形ABC的边长为6，则，∵，∴直线AD的方程为，即，①∵，∴直线BE的方程为，即，②联立①②解得，则，∵，∴，∴AP⊥CP．【变式81】（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状．【答案】矩形【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案.【详解】由题意，可得，∴．∴，．∴四边形为平行四边形．又，∴直线与垂直，即．∴四边形为矩形．

【变式82】（2324高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【答案】平行四边形，证明见解析.【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.【详解】由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.因为，，所以，.因此四边形是平行四边形.【变式83】（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．试判断四边形的形状，并给出证明.【答案】直角梯形；证明见解析．【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论.【详解】由已知可判断四边形是直角梯形，证明如下：因为，，，．由斜率公式得，，，，所以，，即且不平行，所以四边形是梯形，又因为，所以，综上，四边形是直角梯形；1．（2324高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两直线平行列式计算即可.【详解】由题意可知，，所以，且.故选：B.2．（2324高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断.【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率，所以与直线垂直的直线的斜率为.对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确；对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误；对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误；对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误.故选：A.3．（多选）（2324高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则表示与轴平行或重合的直线B．直线可以表示任意一条直线C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确；对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若，且或，则，故C错误；对于D，若，则由可得斜率之积为1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确.故选：ABD.4．（多选）（2324高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解.【详解】直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为，对于ACD,斜率为,符合，对于B，斜率为，不符合，故选：ACD5.（2324高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则．【答案】【分析】利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】直线和互相垂直，则，解之得.故答案为：.6．（2324高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，