3.1空间向量基本定理课件高二上学期数学北师大版选择性

3.1空间向量基本定理第三章空间向量与立体几何北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理解决有关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

空间向量基本定理空间向量基本定理:如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

p可由a,b,c线性表示由上述定理可知,如果向量a,b,c是空间三个不共面向量,那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可以看成是由向量a,b,c生成的,这时{a,b,c}叫作空间的一组基,其中a,b,c都叫作基向量.名师点睛由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.思考辨析1.

如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基,那么a,b间应有什么关系?提示

a,b与任何向量c(不妨假设任何向量为c)都不能构成空间的一组基,说明a,b,c一定共面.∵任何两个向量必共面,c是任意向量,∴a,b必共线.2.

已知{a,b,c}是空间的一组基,从a,b,c中选哪一个向量,一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一组基?提示

向量c一定可以与p,q构成另一组基,因为p=a+b,q=a-b与a,b共面,c不与a,b共面,所以c不与p,q共面.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空间的任何一个向量都可以用三个给定向量表示.(

)(2)若{a,b,c}为空间的一组基,则a,b,c全不是零向量.(

)(3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基,则一定有a与b共线.(

)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基.(

)×√√×D3.[人教B版教材习题]如果空间向量a,b,c不共面,且3a-2b+c=xa+yb+zc,求x,y,z的值.重难探究·能力素养速提升探究点一基的判断【例1】

(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一组基的向量组有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个C规律方法

判断基的基本思路及方法

变式训练1(1)下列各组向量能构成一组基的是(

)B★(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设

=c,若x=a+b,y=b+c,z=c+a,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的一组基的向量组有

(填序号).

②③④解析

如图,由.由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知向量b,c,z不共面,向量x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一组基.因为x=a+b,故向量a,b,x共面,故不能作为一组基.探究点二用基表示空间向量分析

利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运算进行拆分→直至向量用a,b,c表示变式探究若把本例中的

其他条件不变,则结果是什么?规律方法

用基表示空间向量的解题策略(1)在空间中,任一向量都可以用一组基表示,且只要基确定,则表示形式是唯一的.(2)用基表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.(3)在空间几何体中选择基时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基.C探究点三空间向量基本定理的应用规律方法

由空间向量基本定理可以知道,如果三个向量a,b,c是不共面的向量,则a,b,c的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,并且有序实数组(x,y,z)是唯一的,这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.[探究点一·2024吉林长春月考]已知{a,b,c}是空间的一组基,下面向量中与向量a+c,a-c一起能构成空间的另外一组基的是(

)A.a B.b+c

C.2a+c D.2a-cB123456789101112345678910112.[探究点二]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B和B1C1上的点,且BM=3A1M,C1N=2B1N.设(x,y,z∈R),则x+y+z的值为

.

1123456789101112345678910113.[探究点二]若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=

.

312345678910114.[探究点三·2024浙江宁波质检]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则对角线BD1的长为

.

12345678910111234567891011B级关键能力提升练5.

已知空间向量a,b,c,下列说法正确的个数是(

)①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②若a,b,c非零且共面,则它们所在的直线共面;③若a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc;④若a,b不共线,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}可以构成空间的一组基.A.0 B.1 C.2 D.3B解析

对于①,若a与b共线,b与c共线,则当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;对于②,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,∴a,b,c非零且共面,则表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,故②错误;对于③,由空间向量基本定理可知,若a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故③正确;对于④,若a,b不共线,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则c,a,b共面,∴{a,b,c}不可以构成空间的一组基,故④错误.故选B.12345678910111234567891011C123456789101112345678910117.(多选题)已知{a,b,c}是空间的一组基,在下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是(

)A.2a B.-b C.c D.a+cCD12345678910118.已知向量a,b,c可作为空间的一组基{a,b,c},若d=3a+4b+c,且d在一组基{a+2b,b+3c,c+a}下满足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a),则x=

.

2解析

因为d=3a+4b+c,且d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)=(x+z)a+(2x+y)b