第16讲三角函数的图象与性质(原卷版+解析)

第16讲三角函数的图象与性质【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质【基础知识】一、正弦函数的图象1.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．2.正弦函数图象的画法①几何法(ⅰ)利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；(ⅱ)将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．②五点法(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．二、余弦函数的图象1.余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线．2.余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．三、函数的周期性1.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3.记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.4.周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．5.从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，则eq\f(T,2)是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．6.如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．四、正弦函数、余弦函数的性质【解读】1.正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．2.正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．3.正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.五、三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．4.形如y＝eq\f(Asinx＋B,Csinx＋D)或y＝eq\f(Acosx＋B,Ccosx＋D)(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．六、正切函数的图象与性质1.正切函数的图象2.正切函数的图象叫做正切曲线．正切曲线是由被相互平行的直线eq\o(□,\s\up3(02))x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．3.正切函数的性质虽然正切函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增．【考点剖析】考点一：三角函数图象的应用例1．（2021-2022学年北京市第五十三中学2高一下学期六月月考）在区间内，函数与的图像交点的个数是（

）个.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当时，故是函数与的一个交点，当时，则，因为，，所以，则，即，所以，此时函数与无交点，当时，，，所以，此时函数与无交点，当时，故是函数与的一个交点，综上可得函数与的图像在内有且仅有个交点；故选C考点二：五点法作图例2．（2021-2022学年黑龙江省绥化市部分学校高一上学期期末）已知函数．(1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象．xy【解析】(1)．由，得．故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为．(2)函数f(x)在上的图象如下：x0y02考点三：求三角函数的定义域例3．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）函数的定义域为______．【答案】【解析】对于函数，有，即，解得，因此，函数的定义域为.考点四：求三角函数的值域与最值例4．（2021-2022学年北京市丰台区高一上学期期末）函数的最小值是______.【答案】0【解析】令，则，则，则函数在上为减函数，则，即函数的最小值是0考点五：三角函数的奇偶性例5.（2021-2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考）函数，若，则______.【答案】3【解析】∵，又为奇函数，∴，即．考点六：求三角函数的单调区间例6．求函数y＝3tan的单调递减区间．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化为y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的单调递减区间为(k∈Z)．考点七：由三角函数单调性求参数范围例7．（2021-2022学年河南省焦作市高一下学期期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，因为函数在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为．故选D.考点八：求三角函数的最小正周期例8．（2021-2022学年江苏省镇江中学高一下学期5月月考）已知函数的最小正周期为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，.故选B考点九：求三角函数的对称轴与对称中心例9．（2021-2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中联考）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，则，即,故的最小值为.故选B【真题演练】1.（2021-2022学年浙江省金华十校高一下学期期末）函数的图像关于直线对称，则可以为（

）A． B． C． D．12．（2021-2022学年湖北省重点高中智学联盟高一下学期5月联考）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为T．若,且的图象关于点中心对称,则A.1 B. C. D.34．（2021新高考Ⅰ卷）下列区间中,函数单调递增的区间是A． B．, C． D．,5.（多选）（2021-2022学年吉林省长春外国语学校高一下学期期初考试）下列关于函数的说法正确的是（

）A．在区间上单调递增B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线对称6.（多选）（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．的图象的一条对称轴方程为C．的最小正周期为D．的最大值为7.（2021—2022学年北京市第十九中学高一下学期期中）若函数（）在区间上恰好取到3次最小值，请写出一个符合题意的的值：___________.8.（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）已知函数，.(1)求的最小正周期及单调增区间；(2)求在区间的值域.【过关检测】1.（2021-2022学年广西桂林市普通高中联盟高一下学期期中）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A． B． C． D．2.（2021-2022学年湖南省长沙市第一中学高一下学期阶段性检测）已知函数在上单调递增，则的值可以是（

）A． B． C． D．3.（2021-2022学年北京市第五十三中学高一下学期六月月考）已知函数（为常数）为奇函数，那么（

）A． B．0 C．1 D．4.（2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学高一下学期期中）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5.（多选）（2021-2022学年河北省张家口市张垣联盟高一下学期阶段测数）有以下四个命题，正确命题的是（

）A．若函数为奇函数，则为的整数倍B．若函数为奇函数，则为的整数倍C．对于函数，若，则必是的整数倍D．对于函数，若，则必是的整数倍7.（多选）（2021-2022学年湖南省衡阳市高一下学期期中）关于函数，有如下命题，其中正确的有（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增8.（2021-2022学年北京市第八中学高一6月月考）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是_____.9.（2021-2022学年山东省临沂市莒南县高一下学期期中）设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.10.（2021-2022学年黑龙江省大庆市大庆外国语学校高一上学期期末）已知函数，）函数关于对称.(1)求的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象；(3)写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合．第16讲三角函数的图象与性质【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质【基础知识】一、正弦函数的图象1.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．2.正弦函数图象的画法①几何法(ⅰ)利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；(ⅱ)将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．②五点法(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．二、余弦函数的图象1.余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线．2.余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．三、函数的周期性1.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3.记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.4.周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．5.从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，则eq\f(T,2)是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．6.如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．四、正弦函数、余弦函数的性质【解读】1.正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．2.正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．3.正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.五、三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．4.形如y＝eq\f(Asinx＋B,Csinx＋D)或y＝eq\f(Acosx＋B,Ccosx＋D)(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．六、正切函数的图象与性质1.正切函数的图象2.正切函数的图象叫做正切曲线．正切曲线是由被相互平行的直线eq\o(□,\s\up3(02))x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．3.正切函数的性质虽然正切函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增．【考点剖析】考点一：三角函数图象的应用例1．（2021-2022学年北京市第五十三中学2高一下学期六月月考）在区间内，函数与的图像交点的个数是（

）个.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当时，故是函数与的一个交点，当时，则，因为，，所以，则，即，所以，此时函数与无交点，当时，，，所以，此时函数与无交点，当时，故是函数与的一个交点，综上可得函数与的图像在内有且仅有个交点；故选C考点二：五点法作图例2．（2021-2022学年黑龙江省绥化市部分学校高一上学期期末）已知函数．(1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象．xy【解析】(1)．由，得．故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为．(2)函数f(x)在上的图象如下：x0y02考点三：求三角函数的定义域例3．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）函数的定义域为______．【答案】【解析】对于函数，有，即，解得，因此，函数的定义域为.考点四：求三角函数的值域与最值例4．（2021-2022学年北京市丰台区高一上学期期末）函数的最小值是______.【答案】0【解析】令，则，则，则函数在上为减函数，则，即函数的最小值是0考点五：三角函数的奇偶性例5.（2021-2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考）函数，若，则______.【答案】3【解析】∵，又为奇函数，∴，即．考点六：求三角函数的单调区间例6．求函数y＝3tan的单调递减区间．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化为y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的单调递减区间为(k∈Z)．考点七：由三角函数单调性求参数范围例7．（2021-2022学年河南省焦作市高一下学期期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，因为函数在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为．故选D.考点八：求三角函数的最小正周期例8．（2021-2022学年江苏省镇江中学高一下学期5月月考）已知函数的最小正周期为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，.故选B考点九：求三角函数的对称轴与对称中心例9．（2021-2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中联考）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，则，即,故的最小值为.故选B【真题演练】1.（2021-2022学年浙江省金华十校高一下学期期末）函数的图像关于直线对称，则可以为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】，对称轴为：当时，取值为.故选C.2．（2021-2022学年湖北省重点高中智学联盟高一下学期5月联考）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，函数在上单调递增且，在上单调递增且，因为，所以，所以.故选A.3．（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为T．若,且的图象关于点中心对称,则A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由的最小正周期T满足,得,解得,由的图象关于点对称,所以,且,所以,所以,,所以.故选A4．（2021新高考Ⅰ卷）下列区间中,函数单调递增的区间是A． B．, C． D．,【答案】A【解析】：令,．则,．当时,,,,,故选A．5.（多选）（2021-2022学年吉林省长春外国语学校高一下学期期初考试）下列关于函数的说法正确的是（

）A．在区间上单调递增B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线对称【答案】ABD【解析】由的递增区间可知，的递增区间为，则，又在此区间上，所以A对.，B对.由关于垂直于轴的直线对称可知，关于对称，，、在此集合里，故C错、D对.故选ABD.6.（多选）（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．的图象的一条对称轴方程为C．的最小正周期为D．的最大值为【答案】BD【解析】因为，故A错误；因为，所以的图象的一条对称轴方程为，故B正确；因为，且不存在比小的正常数使得，所以的最小正周期为，故C错误；因为最小正周期为，所以只需研究上的最大值即可，当时，将平方可得，记，.令，，则，于是，显然在上单调递增，所以，所以，故D正确，故选BD.7.（2021—2022学年北京市第十九中学高一下学期期中）若函数（）在区间上恰好取到3次最小值，请写出一个符合题意的的值：___________.【答案】3（只要符合即可）【解析】由，得因为函数（）在区间上恰好取到3次最小值，所以，故，则的值可以是38.（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）已知函数，.(1)求的最小正周期及单调增区间；(2)求在区间的值域.【解析】(1)∵，∴，即最小正周期.由，解得，∴增区间为，(2)∵，∴，∴，∴，∴值域为.【过关检测】1.（2021-2022学年广西桂林市普通高中联盟高一下学期期中）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，定义域为，，为偶函数，B正确；对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，，为奇函数，C错误；对于D，定义域为，，为奇函数，D错误.故选B.2.（2021-2022学年湖南省长沙市第一中学高一下学期阶段性检测）已知函数在上单调递增，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则，解得，当时，，结合选项可知，只有B选项符合.故选B.3.（2021-2022学年北京市第五十三中学高一下学期六月月考）已知函数（为常数）为奇函数，那么（

）A． B．0 C．1