苏科版八年级数学上册专题4.7实数章末八大题型总结(拔尖篇)同步特训(学生版+解析)

专题4.7实数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1算术平方根的双重非负性】 1【题型2无理数的估算】 1【题型3探究平方根和立方根的规律】 2【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 3【题型5与实数运算有关的规律问题】 4【题型6程序框图中的实数运算】 5【题型7新定义中的实数运算】 6【题型8实数运算的应用】 7【题型1算术平方根的双重非负性】【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b=．【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足2000−a+a−2001=a，那么a−A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=199−x−y⋅【题型2无理数的估算】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（

）A．30 B．13 C．10 D．8【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a＝23﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（

）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a>7，b<32，则a+bA．3 B．4 C．5 D．6【题型3探究平方根和立方根的规律】【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；表1．第1组第2组第3组第4组第5组第6组第7组……0.010.1110100100010000…………0.10.316______3.16______31.6______……(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．表2．第1组第2组第3组第4组第5组第6组……0.030.33303003000…………0.17320.5477______5.477____________……(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；b0.0040964.09640964096000409600000030.161.6161601600(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013(3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈___，【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记x表示任意实数的整数部分例如：3.5=3，5=2，⋯，则1−2【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】【例4】（2023春·湖北随州·八年级统考期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1(1)10的小数部分是________，5−13(2)若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3(3)若7+5=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求【变式4-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知13的整数部分是m，10−13的小数部分是n，则m+n=【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：∵1<∴1<3∴3的整数部分为1，小数部分为3−1请根据材料提示，解答下列问题．(1)14的整数部分是________，小数部分是________；(2)如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m−n−26(3)若a的整数部分为5，直接写出a的取值范围．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，类比来看，2是无理数，而1<2<2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b根据以上材料，完成下列问题：(1)17的整数部分是______，小数部分是_____；(2)3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3<b【题型5与实数运算有关的规律问题】【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：1−31−51−7……(1)计算：1−13(2)按照你所发现的规律，猜想：1−2n+1n+12(3)计算：1−3【变式5-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）观察下列各式：32+27=2327【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：①x1②x2③x3…(1)写出④x4(2)猜想：xn(3)由以上规律，计算x1【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.4×49925169（1）用a,b,ab表示上述规律为：____________；（2）利用（1）中的结论，求8×（3）设x=3，y=6试用含x,y【题型6程序框图中的实数运算】【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（

）A．输入值x为16时，输出y值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值y为3时，输入值x为9D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为．【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；(3)若输出的y值是3，请写出四个满足要求的x值．【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为．【题型7新定义中的实数运算】【例7】（2023春·重庆彭水·八年级校联考期末）对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m,n)=mn+an−3（其中a为非零常数）；例如：f(1,2)=1×2+a×2−3；已知f(2,3)=9，给出下列结论：①a=2；②若f(1,n)>0，则n>1；③若f(m,m)=2m，则m=3；④f(n,n)−2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：例如：−1※2=3×(1)若x−2※5x=6，求x(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※b+c【变式7-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c．已知t1=2y6,t2=myn【题型8实数运算的应用】【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2由面积公式，可得x2+______因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【变式8-1】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．（1）求S阴（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）专题4.7实数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1算术平方根的双重非负性】 1【题型2无理数的估算】 3【题型3探究平方根和立方根的规律】 5【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 9【题型5与实数运算有关的规律问题】 12【题型6程序框图中的实数运算】 16【题型7新定义中的实数运算】 19【题型8实数运算的应用】 22【题型1算术平方根的双重非负性】【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则【答案】0，2，4【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a又∵|a−2022|≥0，b+2022①当|a−2022|=0，b+2022=2∴a=2022，b=−2018∴a+b②当|a−2022|=1，b+2022=1∴a=2023或a=2021，b=−2021∴a+b=2023−2021③当|a−2022|=2，b+2022=0∴a=2024或a=2020，b=−2022∴a+b=2024−2022=2或故答案为：4或2或0【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足2000−a+a−2001=a，那么a−A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【答案】C【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案【详解】解：∵a−2001≥0，∴a≥2001>2000，即2000−a<0，∴2000−a+a−2001=a−2000+a−2001即a−2001=2000∴a−20012=2000∴a−2000故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0【答案】-2【分析】由已知条件得到1+a−(b−1)1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a【详解】解：∵1+a−(b−1)∴1+a+∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2015-b2016=（-1）2015-12016=-1-1=-2．【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=199−x−y⋅【答案】201【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有3x+5y−2−m+【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴3x+5y−2−m+∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，x+y=199①3x+5y−2−m=0②②×2-③×3得，y=4-m，将y=4-m代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案为：201．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【题型2无理数的估算】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（

）A．30 B．13 C．10 D．8【答案】B【分析】根据数轴上的点处于3.5和4之间，即12.25和16之间，逐一判定比较即可.【详解】解：设点P表示的数为x，得72∴494∴12.25<x<∵30>4∴A选项不符合题意，∵12.25<∴选项B符合题意，∵10<∴C选项不符合题意，∵8<∴D选项不符合题意，故选：B．【点睛】此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题．【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a＝23﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（

）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5【答案】B【分析】先估算出23的范围，即可求得答案．【详解】∵4<23∴2<23∴23−2在2和3之间，即2＜a故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出23的范围是解题关键．【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【详解】解：∵2．2．2．2．∵7．∴2．∴2．所以8应在③段上．故选：C【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a>7，b<32，则a+bA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先估算7、32的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b【详解】∵4<7<∵a>7，a∴a的最小值为3．∵31<3∵b＜32，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．【题型3探究平方根和立方根的规律】【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；表1．第1组第2组第3组第4组第5组第6组第7组……0.010.1110100100010000…………0.10.316______3.16______31.6______……(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．表2．第1组第2组第3组第4组第5组第6组……0.030.33303003000…………0.17320.5477______5.477____________……(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．【答案】(1)1；10；100(2)1.732；17.32；54.77(3)被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可【详解】（1）解：根据题意，得1=1,故答案为：1；10；100．（2）解：已知0.03=0.1732∴3=1.732，∵已知30=5.477∴3000故答案为：1.732；17.32；54.77．（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律．【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10【答案】−【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，3∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，∵2023÷3=674…1∴这一列数中的第2023个数应是−2023故答案为：−2023【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；b0.0040964.09640964096000409600000030.161.6161601600(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013(3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈___，【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；（2）根据（1）的规律可得结论；（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；（2）∵313∴30.013≈0.235，故答案为：0.235，23.5；（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．∵3.66≈∴366≈19.13，36600故答案为：19.13，191.3．【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记x表示任意实数的整数部分例如：3.5=3，5=2，⋯，则1−2【答案】−22【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．【详解】解：∵1≤n＜2即1≤n∴1−∵2≤n＜3即4≤n∴−4∵3≤n＜4即9≤n∴9−10+由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，∵442=1936，∴44≤n＜45即1936∴−1936∴1=1-2+3-4+5-6+…+43-44=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)=−1×22=-22，故答案为：-22．【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】【例4】（2023春·湖北随州·八年级统考期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1(1)10的小数部分是________，5−13(2)若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3(3)若7+5=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求【答案】(1)10−3，4−(2)±3；(3)11．【分析】（1）确定10的整数部分，即可确定它的小数部分；确定13的整数部分，即可确定5−13的整数部分，从而确定5−（2）确定90的整数部分，即知a的值，同理可确定3的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式a+b−3（3）由2<5<3得即9<7+5<10，从而得x=9，y=5−2【详解】（1）解：∵3<10∴10的整数部分为3，∴10的小数部分为10−3∵3<13∴−3＞∴5−3＞5−13∴5−13∴5−13的小数部分为4−故答案为：10−3，4−（2）解：∵9<90<10，a是∴a=9，∵1<3∴3的整数部分为1，∵b是3的小数部分，∴b=3∴a+b−∵9的平方根等于±3，∴a+b−3+1的平方根等于（3）解：∵2<5∴7+2<7+5<7+3即∵7+5=x+y，其中x是整数，且∴x=9，y=7+5∴x−y+5【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知13的整数部分是m，10−13的小数部分是n，则m+n=【答案】7−13/【分析】先估算出13的取值范围，再求出m，n的值，进而可得出结论．【详解】解：∵9<13<16，∴3<13∵13的整数部分是m∴m=3；∵3<13∴−4<−13∴6<10−13∵10−13的小数部分是n∴n=10−13∴m+n=3+4−13故答案为：7−13【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：∵1<∴1<3∴3的整数部分为1，小数部分为3−1请根据材料提示，解答下列问题．(1)14的整数部分是________，小数部分是________；(2)如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m−n−26(3)若a的整数部分为5，直接写出a的取值范围．【答案】(1)3，14(2)−2(3)25≤a<36【分析】（1）由9<14<（2）估算6和21的大小，确定m、n的值，代入进行计算即可得到答案；（3）由a的整数部分是5，25=5，36【详解】（1）解：∵9∴3<14∴14的整数部分是3，∴14的小数部分是14−3故答案为：3，14−3（2）解：∵4<6∴2<6∵6的小数部分为m，21的整数部分为n，∴m=6∴2m−n−26∴2m−n−26的立方根为：3（3）解：∵a的整数部分是5，25=5，36∴25≤a<36．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，类比来看，2是无理数，而1<2<2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b根据以上材料，完成下列问题：(1)17的整数部分是______，小数部分是_____；(2)3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3<b【答案】(1)4，17(2)3【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+3的大小，确定a、b【详解】（1）解：∵4<17∴17的整数部分为4，小数部分为17−4故答案为：4，17−4（2）∵1<3∴4<3+3∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+∴a=4，b=5，∴a+b=9，∴a+b的算术平方根为9=3【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是正确解答的前提．【题型5与实数运算有关的规律问题】【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：1−31−51−7……(1)计算：1−13(2)按照你所发现的规律，猜想：1−2n+1n+12(3)计算：1−3【答案】(1)6(2)n(3)1【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；（2）利用式子的规律解答即可；（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．【详解】（1）解：1−==6（2）解：依据上述运算的规律可得：1−2n+1(n+1)2（3）解：原式==1【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．【变式5-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）观察下列各式：32+27=2327【答案】3【分析】观察规律可直接得到规律．【详解】解：∵32+33+34+∴3n+故答案为：3【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：①x1②x2③x3…(1)写出④x4(2)猜想：xn(3)由以上规律，计算x1【答案】(1)1+(2)1+(3)−【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；（2）根据规律直接得出结果即可；（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．【详解】（1）解：x4故答案为：1+1（2）解：根据规律可知，xn=故答案为：1+1（3）x=1=2022+1−=2022+1−=−1【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.4×49925169（1）用a,b,ab表示上述规律为：____________；（2）利用（1）中的结论，求8×（3）设x=3，y=6试用含x,y【答案】（1）a×b【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3）先分解质因数，再根据规律得出3×【详解】（1）∵4×16=2×4=8∴4×49×925169a×故答案为=，=，=，=，a×b=ab（（2）8×（3）∵x=3，y=∴54【点睛】本题考查了实数的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.【题型6程序框图中的实数运算】【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（

）A．输入值x为16时，输出y值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值y为3时，输入值x为9D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值【答案】A【分析】根据运算规则即可求解．【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=B．当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，故B错误；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C错误；D．当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；故选∶D．【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为．【答案】3【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．【详解】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，则取4的算术平方根为2，2是有理数，则取2的立方根为32，3所以输出的y的结果为32故答案为：32【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；(3)若输出的y值是3，请写出四个满足要求的x值．【答案】(1)2(2)x=−2或−3或−4(3)x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，答案不唯一．【分析】（1）根据运算规则计算即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；（3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．【详解】（1）解：|−19+3|=16，16的算术平方根是4，4不是无理数，4的算术平方根是2，2不是无理数，2的算术平方根是2，2是无理数，故输出的y值是2．故答案是：2．（2）解：存在输入x值后，始终输不出y值的情况．∵0和1的算术平方根是0和1，∴当|x+3|=0或|x+3|=1时，始终输不出y值，∴x=−2或−3或−4．（3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，∴当|x+3|=3或|x+3|=9，即x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，(答案不唯一)．【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为．【答案】3【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：y=k3x+b，根据待定系数法确定k【详解】解：设输出的值为y，根据图示可得计算法则为y=k3∵若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3，∴k+b=1−k+b=−3，解得k=2∴y=23当x=8时，y=2×2−1=3，故答案为：3．【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．【题型7新定义中的实数运算】【例7】（2023春·重庆彭水·八年级校联考期末）对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m,n)=mn+an−3（其中a为非零常数）；例如：f(1,2)=1×2+a×2−3；已知f(2,3)=9，给出下列结论：①a=2；②若f(1,n)>0，则n>1；③若f(m,m)=2m，则m=3；④f(n,n)−2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：∵f(2,3)=9，∴2×3+3a−3=9，解得：a=2，故①正确；若f(1,n)>0，f(1,n)=1×n+2n−3>0，则n>1，故②正确；f(m,m)=m解得：m=±3f(n,n)−2n=n当n=0时，有最小值−3，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：例如：−1※2=3×(1)若x−2※5x=6，求x(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※b+c【答案】(1)−6(2)这种新运算“※”不满足分配律a※【分析】（1）根据新定义运算得出方程3x−2（2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论．【详解】（1）解：∵x−2∴3x−2解得：x=−6，∴x的值为−6；（2）解：根据题意得：左边a※b+c右边a※b+a※c=3a−b+3a−c=6a−b−c，∴左边≠右边，∴这种新运算“※”不满足分配律a※b+c【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．【变式7-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72【答案】4【分析】确定2023的范围，即可求得2023，再依次下去，通过4次操作后可变为1．【详解】解：∵1936=44∴2023=44∵36<44<49，∴44=6∵4<6<9，∴6=2∴2=1经过4次操作可以变为1；故答案为：4．【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c．已知t1=2y6,t2=myn【答案】5652【分析】根据t1=2y6,t【详解】解：∵t1∴得y=5，即m+n=8，∴n=8−m，∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c∴F=2×2−6+2=4m+2n−2=4m+28−m∵1≤m≤9，∴16≤2m+14≤32．∵2m+14能被13整除，∴2m+14=26解得m=6,n=8−m=2，故t2故答案为：5,652．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．【题型8实数运算的应用】【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2由面积公式，可得x2+______因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成