人教版八年级数学下册第十七章勾股定理

第十七章勾股定理

教学备注17.1勾股定理

第3课时利用勾股定理作图或计算

学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；

2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.

重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.

难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.

学生在课前-----------»〉国主学引V

完成自主学

习部分

一、知识回顾

配套PPT讲L我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数

授轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？

1.情景引入-3-2-16123

(见幻灯片2.求下列三角形的各边长.

3-4)

2.探究点1新

知讲授

(见幻灯片

5-12)

一、要点探究

探究点1：勾股定理与数轴

想一想1.你能在数轴上画出表示血的点吗？-应呢？(提示：可以构造直角三角形作

出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)

-3-2-10123

2.长为店的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数?

3.以下是在数轴上表示出后的点的作图过程，请你把它补充完整.

(1)在数轴上找到点A,使0A=;、/

(2)作直线/—0A,在/上取一点B,使AB=_____;

(3)以原点0为圆心，以_____为半径作弧，弧与数轴交2\

\.于c点，则点c即为表示—的点.刍4夕4楞

要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法：

教学备注

（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

配套PPT讲授

角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在

交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.

类似地，利用勾股定理可以作出长0,6,6为线段，形成如图

所示的数学海螺.

典例精析

例I如图，数轴上点A所表示的数为a,求a的值.

易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.

针对训练一

1.如图，点A表示的实数是（）

A.V3B.A/5C.-V3D.-V5

第1题图第2题图

2.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为

半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）

A.2B.V5-1C.V10-1D.V5

3.你能在数轴上画出表示布的点吗？

3.探究点2新

探究点2：勾股定理与网格综合求线段长

知讲授

典例精析

（见幻灯片

例2在如图所示的6X8的网格中，每个小正方形的边长都为1,写出格点aABC各顶点的坐

13-17）

标，并求出此三角形的周长.

方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中,

利用勾股定理求其长度.

例3如图，在2X2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C都在格点上，求AB边上的

教学备注|RI.

配套PPT讲授

方法总统:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.

针对训练

1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多

可以作出多少条长度为石的线段？

田

2.如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,画出一个三角形的长分别

为&,2,阮

探究点3:勾股定理与图形的计算

4.探究点3新

典例精析

知讲授

例4如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm,BC=10cm,

（见幻灯片

求EC的长.

18-21）

方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：（1）设一条未知线段的长为x（一般设所

求线段的长为x）；（2）用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；（3）在一个直角三角形

中应用勾股定理列出一个关于x的方程；（4）解这个方程，从而求出所求线段长.

\7

变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上

教学备注

的B'处，点A的对应点为A',且B'C=3,求AM的长.

配套PPT讲授

针对训练

1.如图，四边形ABCD中/A=60°，ZB=ZD=90°,AB=2,CD=1,求四边形ABCD的面积.

二、课堂小结

5.课堂小结（见

幻灯片29）

r在数轴上表示出无理数的点

利用勾股

通常与网格求线段长或面

定理作图利用勾股定理解决网格中的问题

积结合起来

或计算

［利用勾股定理解决折叠问题及其

通常用到方程思想

他图形的计算

6.当堂检测（见

当堂检测幻灯片22-28）

1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的

长度为（）

A.5B.6C.7D.25

1111t■'I1II1

-4-3-2-1012345

第1题图第2题图第3题图

2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一

个点D,然后点D做一条垂直于数轴的线段CD,CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到

点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）

A.2和3之间B.3和4之间I）

C.4和5之间D.5和6之间

3.如图，网格中的小正方形边长均为1,Z^ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为一

教学备注

4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm,ZA=60°,ZADC=150°,已知四边形ABCD的周

长为32cm,求ABCD的面积.

C

6.当堂检测（见

幻灯片22-28）A

5.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，求重叠部

分aAFC的面积.

DC

D'

能力提升

6.问题背景：

在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为百、J证内,求这个三角形的面积.小辉同学

在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格

点aABC（即aABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示.这样不需求AABC的

高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）求4ABC的面积；

（2）若aABC三边的长分别为岛，2亿，晒（a>0）,请利用图②的正方形网格（每个小正方

形的边长为a）画出相应的aABC,并求出它的面积.

图②

八年级数学下册期中综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.尤23B.xW3C.x>3D.x<3

2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.L1,72C.6,8,11D.5,12,23

3.下列各式是最简二次根式的是（）

A.V9B.V?C.V20D.V03

4.下列运算正确的是（）

A.75-73=72B.R=23C.V8-V2=V2D，7（2-VS）2=2-75

5.方程I4x—8I+Jx-y-=0,当y>0时，加的取值范围是（）

A.O<"?<1B.m^2C.〃zW2DJ?I<2

6.若一个三角形的三边长为6,8,x,则此三角形是直角三角形时，工的值是（）

A.8B.10C.2y/7D.10或2近

7.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）

A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形

8.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB=CD,AD=BC

C.ZA=ZB,ZC=ZDD.AB=AD,CB=CD

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC_LBD时，它是菱形

C.当NABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形

第9题图第10题图第13题图第15题图

10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于

点O,下列结论：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）

S^AOB=S四边形DEOF中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知最简二次根式J4a+3b与中2。-b+6可以合并,则ab=.

12.若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足〃2一3+9+Ib~4I=0,则该直角三角

形的斜边长为.

13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S产2s上兀，

8

S2=2?t,则S3=.

14.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC_LBD,且OB=OD,请你添加一个适

当的条件,使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.

15.如图，AABC在正方形网格中，若小方格边长为1,则AABC的形状是

16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,/BAD=120°,AC=4,则该菱形的

面积是.

17.AABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则4ABC的周长是.

18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标

分别为A（10,0）,C（0,4）,点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出

了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3,4）,请你写出其余所有符合这个

条件的P点坐标.

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

（1）（A-4《）-（3《-2历）;

3

⑵(2-5如5.(2+G严6.2XL争十⑨。.

20.(8分)如图是一块地，已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且CDLAD,

求这块地的面积.

21.（8分）已知9+&i与9—V11的小数部分分别为a,b,试求力?-3a+4/?—7的值.

22.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D

点作DE_LDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.

B

F

23.（10分）如图，AABC是直角三角形，且NABC=90°,四边形BCDE是平行四边

形，E为AC的中点，BD平分NABC,点F在AB上，且BF=BC.求证:

(1)DF=AE；(2)DF±AC.

24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402m,NABC=120°，在其

内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛

中种植茉莉花，其单价为10元/n?,请问需投资金多少元？（结果保留整数）

25.（12分）（1）如图①，已知aABC,以AB、AC为边向aABC外作等边4ABD和等

边AACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，已知aABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接

BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得NABC=45°,/

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.

E

AE

八年级数学下期末综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次根式向i、扬、胸、Jx+2、,40,、b+6中,最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若式子立m有意义，则尤的取值范围为（）

x—3

A/24B.xW3C/24或xW3D.尤24且xW3

3.下列计算正确的是（）

A.V5X76=476B.V4+V6=V10

C.V40V5=22D，7(-15)2=-15

4.在RtAABC中,ZACB=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()

喘B噌

5.平行四边形ABCD中,NB=4/A,则NC=()

A.180B.360C.72°D.144°

6.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,菱形的周长是20cm,AC：BD=4：3,则菱形

的面积是（)

第10题图

7.若方程组+j=6的解是1二一1则直线y=—2x+Z?与y=x-a

X

的交点坐标是（）

A.(—l,3)B.(l,-3)C.(3,-1)D.(3,1)

8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下

列说法正确的是（）

A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点

C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多

9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A.1.70,1.65B.1.70,1.70C.1.65,1.70D.3,4

10.如图，在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PELAB于E,PF

LAC于F,M为EF中点,则AM的最小值为（）

r5-5

B.-C.一D

423I

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.当户时，二次根式x+1有最小值，最小值为.

12.已知a,b,c是4ABC的三边长,且满足关系式

42-。2_，+|“一勿=0,则4ABC的形状为.

13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=13,AC=10,DB=24,则

四边形ABCD的周长为.

14.如图，一次函数yi=Aix+bi与＞2=匕%+匕2的图象相交于A（3,2）,则不等式（ki-k\）

x+bi~b\>0的解集为.

15.在数据一1,0,3,5,8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3,则x的值为.

16.如图，OABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，ZECF=60°,AE〃BD,EF

_LBC,EF=2，5，则AB的长是.

17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结

果如下表所示:

时间（小时）4567

人数1020155

则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.

18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和

CD上，下歹！J结论：①CE=CF,②NAEB=75。，③BE+DF=EF,④S正方形ABCD=2+S

其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）

三、解答题(共66分)

19.(8分)计算下列各题:

(1)|2A/2-3|-+V18；

(2)先化简，再求值：――—4-(—a—"+—),其中。=百+1,b=6-1.

aa

20.(8分)如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.若BC=10

cm,AB=8cm.求EF的长.

21.(9分)已知一次函数的图象经过点A(2,2)和点B(-2,-4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)求图象与x轴的交点C的坐标；

(3)如果点M(a,—L)和点N(-4,b)在直线AB上，求a,b的值.

2

22.（9分）（湖北黄冈中考）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市

直机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一

年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有

23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农

村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进

价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少

元？

24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,

过M作ME1CD于点E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的长；

(2)求证：AM=DF+ME.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线广依+6与无轴、y轴分别交于A、B

两点，且^ABO的面积为12.

（1）求上的值；

（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，△PAO是以0A为底的等腰

三角形？求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PO,APBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果

不是，请在线段AB上求一点C,使得aCBO是等腰三角形.

期中综介检测卷

l.A2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.B9.D

10.B【解析】在正方形ABCD中.•；CE=DF.；.AF=DE.

又；入3=八。./88/=/。=90°.二/^\8卜'姿/\。八£.二

AE=BF./AFB=NDEA,NDAE=/ABF.；ZDAE+

ZDEA=90°.二NDAE+ZAFB=90°.即ZAOF=90*./.

AEJL3F.丁声+Sm边•DEUF，二△v>n=

Sin边“a*.故(D(2)(4)正确.

9

11.112.513—K14.(M=OC(答案不唯一)

o

15.直角三角形16.85/317.42或32

18.(2,4)或(8.4)

19.(1)解：原式=4"一4,-^--3•自+2,《=3"；

4oZ

(2)解：原式=(4-3产

20.解：连接AC.由勾股定理得;AC=，4'+3?=5(m).

V51+12*=13\/.△ABC是直角三角形.

.*.S=-1-X5X12--1-X3X4=30-6=24(ml).

答：这块地的面积为24m\

21.解：易知a=JIT—3.4=4—JIT•ab—3a+46—7=(y/TT

—3)(4—>/TT)—3(>/TT—3)+4(4—v^TT)—7=7i/TT—23

-3VTT+9+16-4>/iT-7=-5.

22.解：如图.连接BDJ.•在等腰直角三角A

形ABC中,D为AC边上中点•\

：.BD±AC,BD=CD=AD,ZABD

=45\ZC=45°.

又DE_LDF.二NFDC=NEDB.；.\

△EDB^AFDC'.RL_A_X「

DcC

；.BE=FC=3.，AB=7.则BC=7.1

二BF=4.在RtAEBF中,EF2=BE2+BF2=3l+4l.

；.EF=5.

23.证明：（1）如图,延长DE交人8于点G.

连接AD.VED〃BC,E是AC的中点.

ZABC=90*./.AG=BG.D（；±AB.二

AD=BD.VBD平分NABC.二NABD

=45*.ZBAD=45°.ZBD（；=ZADG=

45°.二•四边形BCDE是平行四边形.

ED=BC.又VBF=BC./.BF=DE.：.

△AED9△DFB,：.AE=DF.

（2）VAAEDMADFB、：.NAED=

/DFB.：.ZDFG=ZDEC.VZDFG

与NFDG互余.二NDEC与NFDG互余.二DF_LAC.

24.解：连接8D、人C.二•菱形ABCD的周长为40&m..•.菱形

ABCD的边长为107fm.=ZABC=120°,；.NA=60°./.

△BDA是正三角形.，BD=AB=10^m./.AC=10>/6m.

:E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点.二四边形EFGH

是矩形.矩形的边长分别为5"m.5V6ru.•.矩形ER；H的面

积为5^X5#=5O0（mD.即需投资金为5073X10=50073

*866（元）.

答：需投资金为866元.

25.解：（D完成图形.如图①所示.

证明：:△ABD和△ACE都是等边三角形.二八。=八8.

AC=AE./BAD=NCAE=60°.二ZBAD+ZBAC=

ZCAE+ZBAC.即ZCAD=ZEAB.V在ZXCAD和

(AD=AB,

△EAB中NCAD=NEAB.ACAD^AEAB(SAS),

AC=AE,

：.BE=CD.

(2)BE=CD.理由如下：•.,四边形ABFD和ACGE均为正

方形.二AD=AB.AC=AE.ZBAD=ZCAE=90s.A

ZCAD=ZEAB.V在△CAD和ZXEAB中.

(AD=AB.

ZCAD=ZEAB./.ACAD^AEAB(SAS),：.BE=CD.

AC'=AE.

(3)由(1)、(2)的解题经验可知,如图③.过人作等腰自角三

角形ABD./BAD=90°.则AD=AB=100米.NABD=

45，；.BD=1OOM■米.连接CD.则由(2)可得BE=CD,'：

NABC=45°.二NDBC=90°.在RtADBC中.BC=100

米,BD=10042米,根据勾股定理得：CD=

0002+(10002=1006■(米),则BE=CD=100伍米.

期末综介检滴卷

l.C2.A3.C4.A5.B6.B7.A8.B9.A

10.D【解析】:PE_LAB.，NPEA=90,：PF_LAC.二

ZPFA=90°・丁32+4?=5,即AB1+AC*=BC1、：.

NBAC=90°....四边形AEPF为矩形.连接八?•\•点M为

EF的中点.二点M是AP、EF的交点.二AM=；AP.当

AP±BCBt.AP最短为汉=最小为；X兰

OOLaO

6

=~5~，

11,-1012.等腰直角三角形13.52

14.J-<3【解析】'：（卜2—Ai）J•+〃2一仇>0.；•员2工十九〉氏1工

+/，一从图象上看,解集即为直线yt=ktJ-+ht的图象在直

线门=上工十仇的图象上方的部分所对应的1的取值范围.

二•两直线交于点八（3,2）,结合图象可知,当工<3时.八〉

y1.即（A2—氏1）工+”一仇>0.

15.316.217.5.318.①②④

19.(1)解：原式=3—2a-4+3笈=笈-1;

(2)解：原式=山+J+2-+//小

a\a)a

—二・当°=&+1,〃=伍一1时,原式=一

a~rb

1]1V3

a+b73+1+V3-12736'

20.解：由条件知AF=AD=BC=10cm.在RtAABF中.BF

=VA^-AB2=7102-82=6(cm)..*.FC=BC-BF=

10-6=4(cm).设EF=Tcm.WjDE=EF=xcm,CE=

(8-J-)cm.在RtACEF中.EF'=CE'+FC'，即z'=(8-

工了十公.解得H=5.即EF=5cm.

21.解：（1）设直线A3的解析式为_y=匕+〃，则有

2k+6=2,解洱

-2k+b=-^,导

3

二直线人B的解析式为y=下丁一1；

(2)令1y=0,得,工一1=0,.•.工=--•即；

31

(3);•点M、N在直线AB±..*.-j-a-l=--

31

亏X(-4)—1=〃.即a=《-”=-7.

Lt*3

22.解：(1)如图所示：

4。修胤曹户

30

20

10