立体几何专题专练(一)答案

立体几何专题专练(一)答案

1、(I)证明：在四棱锥产一中，

因尸/3_底面为88,CDu平面力88,故CZ)_LP力.

由条件CZ>J_ZC,二。。，面4C.又ZEu面尸4C,二4£，。。.

由尸4=48=8C,AABC=60",可得NC=4.：E是尸。的中点，AELPC,

:.PC^CD^C.综上得/E_L平面PCD.

(II)解:在四棱锥尸一月6CQ中，因PZ_L底面N8C£>,Z8u平面ZBCD,故.

又4BJ.4D,PAQAD^A,从而28,平面40.故P8在平面尸4。内的射影为总，

从而NAPB为PB和平面PAD所成的角.

在Rt△尸4g中，AB=PA,故NZP8=45°.

所以P8和平面PZ。所成的角的大小为45°.

(III)解：过点E作垂足为"，连结

由(II)知，ZE，平面PCD,AM在平面PCD内的射影

是EM,则

因此NZME是二面角Z-尸。一C的平面角.由已知，得NC4O=3(T.设ZC=a,得

2A/3V21V2

PA=aAD=^—a,PD=--a,AE=­a.

332

在RtA^Z)P中，•.•ZMJ.尸。，；.AMPD=PAAD,则

273

PAADa丁°25_A.人心AEV14

AM=-------=—修=--------a.在RtNx/EM中，sinAME=-----=----.

PD1AM4

2、(I)证明：连结4c交8。于。，连结OM

因为〃为力尸中点，。为ZC中点，

所以FC〃MO,

又因为MOu平面MB。,

所以尸C〃平面MB。；..............4分

(II)因为正方形Z8C。和矩形ABEF所在平面互相垂直，

所以ZEJ.平面Z8CQ

以工为原点，以为x),z轴建立空间直角坐标系，如图取“8=1

C(1,1,O),"(0Q1),5(0,1,0)./)(1,0,0),N(*l,|)

设平面3。/的法向量为p=(x,y,z),

p,BD=0-.

—.P=(1,1,1n)-

p-BM-0

设平面的法向量为%=(x,y,z),

q-BD=O-“I〉

p--q=(1J-2)

qBN=Q

涓制夹角为e............................8分

coso=1q_=0

\p\-\q\

所以二面角V—AD—N的大小为90。。..............12分

3、(1)证明：连结A°,与AG交于O点，连结OD.

因为O,D分别为A£和BC的中点，

所以OD〃A|Bo

又ODu平面AJD,A|B<Z平面AGD,

所以A》//平面AQD........................................4分

(2)证明：在直三棱柱ABC-ARG中，

BB,1平面ABC,又ADu平面ABC,

所以BB11AD.

因为AB=AC,D为BC中点，

所以ADJ.BC.又BCcBB1=B,

所以AD_L平面B|BCC「

又CEu平面B|BCC”所以AD_LCE

因为四边形B|BCG为正方形，D,E分别为BC,BB1的中点，

所以RtACBEnRtAGCD,ZCC,D=ZBCE.

所以NBCE+NGDC=901所以CQJ.CE

又ADcCR=D

所以CE1平面ACR

(3)解：如图，以B,C,的中点G为原点，建立空间直角坐标系,

则A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),

C,(-3,0,0).

由(II)知CE_L平面AJD,所以丽=(6,-3,0)为

平面AJD的一个法向量。

设A=(x,y,z)为平面ACC,的一•个法向量，

斤=(-3,0,-4),CG=(0,-6,0).

X

n-AC=0,一3x+4z=0,

由，可得

iicq=0,-6y=0.

3

令x=1,则y=0,z=——.

4

所以5=(1,01).

4

从而cos〈CE,n〉=口=—V5.

|CE|.|n|25

因为二面角C-AC.-D为锐角,

所以二面角C-AJ-D的余弦值为堂.

12分

4、证明：（1）证明：连结6G,交&C于E,DE.

'：直三棱柱4吐484,〃是相中点，

侧面65GC为矩形，庞为的中位线，

：.DE//AG.............................2分

因为；"u平面MD,阳（Z平面MD,

••"G〃平面笈G9......................................4分

（2）ACVBC,

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则B（3,0,0）,A（0,4,0）,4（0,0,d）,

B、(3,0,4).

设〃(a,b,0)(.a>0,b>0),5分

BD1―•1―-

•..点〃在线段四上,且——=-,即60=—

AB55

............................7分

—►—124

所以而=（一3,0,-4）,8Z=(-3,4,0),CD=(y,-,0).

平面腼的法向量为.二=（0,0,1）8分

设平面5成的法向量为胃2=（、//），

-3x-4z=0

由B{C•n2=0,CD-772=0,得<124，

—x+—y=0

155?

4—4

所以x=-§,y=4,n2=(-y,4,l)..............................................10分

a-b3

设二面角8—CO—4的大小为e,cos611分

B

3

所以二面角8-CO-4的余弦值为一.12分

113

5、(I)

证明：如图，连接CO,4C,..............一1分

则四边形力8c。为正方形，..........2分

.•.0。=/8=4可，且...。。///5//4与

故四边形48co为平行四边形，......3分

：.A}O//B}C,................4分

又平面/qc,4Cu平面Zgc……..5分

4。//平面/4。..6分

(II)vDyA=D}D,。为/。的中点，D}O±AD,又侧面底面Z8CQ,

故。。，底面为8CQ,..7分

以。为原点，Jjifoc,OD,在直线分

别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的坐标

系，则。(1,0,0),D(0,l,0),

2(0,0,1)，/0,-1,0),•.8分

.•衣(1,-1,0)，西(0,-1,1),

不1),配=发=(1,-1,0),.................9分

x-y=0

设肩=(x,y,z)为平面的一个法向量，由石，皮,mJLDD1,得

-y+z=0

令Z=l,则歹=1,工=1,.=tn=(1,1,1)...........・.10分

又设3=(X1，M，ZJ为平面NCQ的一个法向量，由［，万7,3,前，得

一%—4=o

SC，令

玉-乂=0

Z1=l,则必=一1,玉二-1,/.n=(-1,-1,1),............・・11分

------1-14-111

则COS<加,〃>=—7=~f=-=一一,故所求锐二面角A—C1D1―C的余弦值为一.......12分

V3-V333

6、解：

(I)平面ABC,BMu平面ABC,，E4_LBM....................................................2分

又BM_LAC,EAcZC=4平面ACFE,

而EMc=平面ACFE,/.BM1EM................................................................................3分

•••AC是圆0的直径,NABC=90".又ZBAC=30°,AC=4,

AB=26BC=2,AM=3,CM=1....................................................................5分

：E4_L平面ABC,EC//EA,；.FC_L平面ABC.

易知AEZAl与AFCM都是等腰直角三角形.

二NEMA=NFMC=45°.ZEMF=90°,即EMJ.2WF.................................7分

MFcBM=M,：.EM_L平面MBF,而BFu平面MBF,

...EM1BF..................................................................................................................8分

(II)由⑴知，8A/_L平面ACFE,:.BMIMF,

又,:BM±AC,

...NCW为二面角C—BM—F的平面角.................................10分

在△CTWF中，由(I)知NCW=450...................................................................11分

二平面BMF与水平面ABC所成的锐二面角的余弦值为—................12分

2

7、（1）证明：因为OE_L平面Z8CD,

所以。E_L4C.

因为Z3CQ是正方形，

所以ZC_L6D,因为DEcBD=D...........4分

从而ZCJ_平面........................................6分

（2）当M是BD的一个四等分点，即4BM=BD时，〃平面BEF.....8分

取8E上的四等分点N,使4BN=BE,连结MV,NF,贝ijDE〃朋N,且£>E=4MM

因为“尸〃DE,SLDE=4AF,所以AF//MN,且AF=MN,

故四边形ZMA厅是平行四边形..................................10分

所以AM〃FN,

因为AMct平面BEF,FNu平面BEF,..........................11分

所以〃平面8EF.........................12分

8、解：（1）设DF的中点为N,同MNH=CD,又AOH=CD,则MNIIAO,MNAO

=G=0=

为平行四边形，,〃/N,又4Nu平面DAF,0平面DAF,

.•.OA/〃平面加/o

(2)过点R作产GL48于G,•.•平面ZBCO_L平面Z8E厂，

17

FG_L平面ABCD，；.VF_ABCD=-SABCD-FG^-FG,

•.•C8,平面,

••〃F-CBE=^C-BFE~\BFE，CB

=--EFFGCB=-FG

326

**,^F-ABCD-/八C6E=4：1

9、解：（D以4为原点，以45,4。，4P为x轴，y轴，z轴建立空间宜角坐标系,

—>

设48=1,则尸4=4。=2,又设|AE|=y,贝U：PC=(1,2-2)=(-l,y,0)

——I

由PC^BE=0,可得1x(—1)+2y+(—2)x0=0,解得y=~

TaT1

又：AE=A,AD=>A--

4

f1

(ID由(I)知面尸4C的法向量为8£=(—1，5,0)

又因为8%=(-1,0,2)

设PB与面PNC所成的角为a,贝ij：

.\BE»BP\|1+|X0+0X2|

2,aw0二71

sina=七-------广="f"=------------------------------------------

成ITBPIJ.+；+().+0+452

2

所求P3与面PNC所成的知的正弦值为一

5

10、

解KD以A为原点，建立如图所示的坐标系6轴〃CB),则A(0,0,0),D(0,0,

2),8(2,2,0),6:(2,0,0),从而七(1,0,1),尸(1,1,0),所以

祀=(2,0,0),即=(0,1,-1),...........................................................3分

所UXC•群=2X0+0Xl+0X(-1)=0,所防为_群，因此AC_LEF.…，6分

(2)因为AC=CB且F为AB的中点，所以CF_LAB,又CFJ_AD,从而CF_L平面

AB。,故元=(1,-1,0)为平面ABD的法向■.又AD^AC,E^CD中点，所以

AE_LCD,又因BC_L平面ACD,所以AE_LBC,从而AEJL平面BCD,

故A5=(l,0,1)为平面BCD的一法向量，...........................附分

^必=18^=；1^=小......................U分

二面角C-DB-A为60。12分

11、

连4C,交5。于N

由40〃5c可福.MNQs耶NC、

AQAN1

"""=----二一

BCNC2................2分

H学存*H内工1箕共4页

•:PM=；PC;.PAUMN.............4分

•：PAHMBQ.........................6分

(2)由PA»PO-AD=2.Q为AD的中点.MPQL

AD..7分

乂平面PAD_L平SiABCD,所以PQL平面ABCD.

连80,

四边形ABCD为菱形.

VAD-AB.ZBAO-60'ZXABD为正三角形.

Q为AD中点..,.ADXBQ..................8分

以Q为坐标*点,分别以QA、QB.QP所在的直线为

x,y,z».建立如图所示的坐标系.则善点坐标为

A(1.0.0).B(0,6,0).Q(0.0.0).P(0.0.5

设平面MQB的法向量为；可得

n-QB=0n•QB=0

,vPAMMN,：,《

n-MN=0n-PA=0

取2sl.解得"=(10分

取平面ABCD的法向量而,(0,0,设所求二面角为&，

出皿。•宴里故二面角“一80-C的大小为&T....................12分

311"12

12、（1）证明：因为四边形ABCD是菱形,

所以AC_L8D.

因为PA_L平面ABCD,

所有PAJ.BD.........................................2分

又因为PACAC=A,

所以3口_1_面PAC................................3分

而BDu面PBD,

所以面PBD1面PAC.............................5分

（2）如图，设ACcBD=O.取PC的中点Q,连接0Q.

在AAPC中，AO=OC,CQ=QP,0Q为△APC的中位线，所以OQ//PA.

因为PA_L平面ABCD,

所以OQJ.平面ABCD,...................................................................................6分

以OA、OB、OQ所在直线分别为X轴、z轴，建立空间直角坐标系O-孙z.

则J（V3,0,0}5（0,l,0）,C（-73,0,0）

P（V3,0,2）................................................................................................................7分

因为BO_L面PAC,

所以平面PAC的一个法向量为OB=（0,1,0）.....................................................8分

设平面PBC的一个法向量为7=(x,y,z),

而就=(-V3,-l,0)丽=(-百,1,-2)

n±BC,-y[3x-y-0,

由〈一一得《「"

n±PB,[-y/3x+y-2x=0.

令x=1,则y=-瓜z--JJ.

所以1为平面PBC的一个法向量........................10分

cos<OB,n>

05x|tt||lxJl+3+3

所以锐二面角A—PC—B的余弦值为——12分

7

13、解：连AC交BQ于N,由AQ〃BC可得,

\ANC\BNC,=—=-....2分

BCNC2

PM=-PC,:.PA//MN...4分

3

:.PA//MBQ...............6分

⑵由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,则PQ_LZ。.......7分

又平面PADJ_平面ABCD,所以PQL平面ABCD,连接BD,

则四边形ABCD为菱形vAD=AB,ZBAD=60°,A48O为正三角形

0为工。的中点,AD±BQ.......8分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴，

建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A(1,O,O),B(O,S，0),

Q(0,0,0),P(0,0,而),

设平面MQB的法向量为n=(x,y,z),nJ得

[nQB=0nQB=0f-\/3y=0

1-PAHtJ

[nMN=0=0bGz=0

取z=l,解得：=(VJ,0,l)……10分

取平面ABCD的法向量

QP=（0,0,百），设所求的二面角为6,则cos。=/=-

311〃12

故二面角的大小为600.........12分

14、（I）证明：在△49C中，因为/庐5,A（=4,叱3、

所以Ad+B©=AS,所以ACA.BC.

因为直三棱柱/吐464,所以CGVAC.

因为BCCAC=C,所以4CJ_平面684C.

所以ACLB^C.........4分

（II）证明：连结阳，交6c于E连接施

因为直三棱柱4册464,〃是4?中点，

所以侧面66KC为矩形，比,为的中位线,

所以DE//AQ.

因为庞u平面AG9,平面55,

所以〃平面80.......8分

(III)解：由(I)ACLBC,如图，以。为原点建立

空间直角坐标系C-xyz.则8(3,0,0),/(0,4,0),

4(0,4,4),By(3,0,4).

设〃(a,b,0)(<7>0,6>0),

因为点〃在线段4?上，且些=’,即丽

AB33

4―•4——,而=(2,g,0).

所以。=2,b=~,BD=(-1,-,0),C5,=(3,0,4),

平面加9的法向量为勺=(0,0,1).设平面〃切的法向量为?=(x/,D，

3x+4=0

由CB1n2=0,CDn2=0,得4

2x+—y=0

4—43

所以x=—,y=2〃2=(—,2,1).所以cos0=,^H__=—j=

3f3kk向

所以二面角B-CD-B,的余弦值为孑叵.

12分

161

15、(I)证明：因为四边形488是菱形，所以

又因为以上平面N8CZ),所以以_L8Z),

所以8£>_L平面R1C...................4分

(II)^.AC^BD=O.因为NB/D=60。，PA=AB=2,所以80=1,AO=CO=事.

如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点。且与以平行的直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系。一孙z,则

P(0,一小，2),A(0,一5,0),B(1,0,0),C(0,5,0).

所以=(1,小,—2),=(0,2^3,0).

设PB与ZC所成角为仇则

C6亚。八

。加=药西............8分

(III)由(II)知=(-1,小，0).

设尸(0,一小，t)(?>0),则=(一1,一小，/).

设平面P8C的法向量，〃=(x,y,z),则7n=0,切=0.

f—x+y/3y=0,_g

所以<令丫=5,贝ljx=3,z=~,

1

<—x—yl3y+tz=0f

所以加=(3,市，yj.

同理，可求得平面POC的法向量”=(一3,小，习.

因为平面尸8c，平面PDC,所以“〃=0,即-6+票=0.解得/=,.

所以当平面蹴'与平面R笫垂直时，为=乖.................12分

16、解：(1)找BC中点G点，连接AG,FG

/.F,G分别为DC,BC中点

.,.FG^-DBi'EA

2

：.四边形EFGA为平行四边形；.EF//AG

；AE_L平面AE：.DB1平面48c

又：Z)8u平面88

平面ABC_L平面BCD

又；G为BC中点且AC=AB=BC；.AG1BC

.*.AG_L平面BCDAEF1平面BCD

(2)以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则,0,0),E(0,——,1),ED(-,1),CF(--^-,—,1)

设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),

与1

_

CE«n=-22

由,旦1

_

CF•n=-44

平面ABC的法向量为u=(0,0,1)

则cos(n,u)=P上=；=—

|n||u|755

...平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为乎

17、(1)以C为坐标原点建立空间直角坐标系C—xyz,则

11-----------------11

出(O,I,I)，G(O,O，I)，55,5,O)，则4片=(—U，O)，CQ=(2,5，T)，

则病•章=o,所以漉,标，则4用_LG。............6分

py111

(2)"(l,0，+),E(0，w，0)屈=(-,0,0),ME=(-1,-,-^),

设3=(xj,z)为平面MDE的一个法向量,

—x=0

=0

则ri.|n__-_E_D_.，即<nrt2

n-ME-01出„

-X+—V----2=0

2.2

令y=百，则x=0,z=1,所以〃=(O,V3,1),........10分

又°GJ■平面0E4CG=(o,o,i),

COS<H,,CCX>-—,

所以M-DE-A的大小为工

3

18、解：(1)取BD的中点P,连结EP、FP,则PF1工。。，

2

又AEA^PF,................2分

2

.•.四边形AFPE是平行四边形，；.AF〃EP,

又EPu面BDE,AF<Z平面BDE,

；.AF〃面BDE..................................4分

(II)以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立

如图所示坐标系...............5分

由。C=4C=2/E=2可得：A(2,0,0,),B(2,2,0),E(2,0,1),D(0,0,2)

则下=(0,2,0),砺=(0,-2,1),55=(-2,-2,2).............6分

•.•面/CDEJ•面Z8C,面48£0面/8。=/。,〃台，/。，，48_1面48七.

.•.方=(0,2,0)是面CDE的一个法向量.....................8分

设面瓦化的，个法向量n=(x,y,z),则n_L而，nLBD.

=0f-2y+z=00

nB——E即<ccc八整理，得[42y-z=八令y=l,则z=2,x=l,

nBD=0,[_2x_2y+2z=0,[x+y-z=0.

所以2)是面CDE的一个法向量.10分

ABn1x2_8

故cos〈Z8,〃〉=

~~6~

Win2XV12+12+22

/7

图形可知二面角B-DE-C的平面角0e（0,-）,所以其余弦值为—.12分

26

19、

TT

解：（I）在梯形中，由AB=BC,得NB4C=J

4

TT

：.ZDCA=ZBAC=-.又ZCLZ。，故ADZC为等腰直角三角形.

4

DC=y[2AC=V2（V2^5）=2AB.

连接3。，交AC于点、M,则”=生=2.

MBAB

PD〃平面胡C,又平面E4Cn平面尸。8=ME,：.PDHEM

PE_DM

在ABPD中,=2,

即0E=2E8时，P。〃平面及C6分

（II）方法一：在等腰直角APAB中，取。8中点N,连结4N,则4N，尸8.；平面PAB

，平面PCS,且平面P48n平面尸C8=P8,4NL平面P8C.

在平面P3C内，过N作NH_L直线CE于〃，连结由4NLCE、NH1CE,

得CE_L平面4M7,故4"V就是二面角Z—点一尸的平面角.

在火/APBC中，设CB=a,则PB=《PA?+AB）=缶,

1V21V2

BE=-PB=—a,NE=—PB=Ja,

3366

CE=dCB?+BE?=­a,

3

NHCR

由NH1CE,£8_LC8可知：\NEH\CEB,：.­=—

NECE

a

代入解得：NH

V22'

在RfAAHN中,AN=—a,

2

tanZAHN=里=旧，

NH

/TKJ1A/3

cosZAAHIN=-/=——.

Vll+l6

二面角力一CE—尸的余弦值为立.12分

6......................

方法二：以Z为原点，28,4尸所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.

设PA=AB=BC=a,则N(0,0,0),B(0,a,0),

C(a,a,0),P(0,0,a),中,消).

设*=(x,y,l)为平面EZC的一个法向量，

则*1•就，。万，

ax+ay=0,1】

，<laya，解得N=；/=一彳，

--1—=0.n22

I33

，7=4一小).

设a=(">//)为平面心。的一个法向量,

则n2LBC,n2IBP,

ax1=0,

又8C=(a,0,0),BP=(0,-6f,tz),；.<,，解得x=0,V=l

-ay+Q=0,

一一4•%V3

n=(0,1,1).cos<>=~三一

26

二面角A-CE-P的余弦值为—12分

6

20、证明:⑴取DED中点G,建系如图,则A(0,m,0)、B(0,-l,0)>C(l,0,0)>

D(-l,0,D,Ed,O,3)>F(0,低2)、G(0,0,2),

DE=(2,02),DF=(l,73,0.

设平面DEF的一法向量益二(x,y,z),

—>—)

:亭0即x+z=0

则＜x+馅y+z=0,不妨取x=l,则y=°，z=T，

m*DF=0

.••■=(1,0,-1),平面ABC的一法向量能(0,0,1),.=(0,小,0).

0A«n=0,/.otkn.X0A(Z平面DEF,...OA//平面DEF.

⑵显然,平面BCED的一法向量为7=(0,1,0),7•禧0,・,•平面DEFL平面BCED

⑶由⑴知平面DEF的一法向量1=(1,0,T),平面ABC的一法向量3=(0,0,1),

TT

->、m«n3

cos<m,n>=-----

Im|*|n|2

...求平面。EF与平面28。相交所成锐角二面角的余弦值为乎.

AC

21、解法一：向量法

由ADL面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)

(I)5F=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1-2)

CG-(0A0)-(0,l,2)=(0,l,-2)

：.BF=CG,即四边形BCGF是平行四边形.

故四点B、C、F、G共面.............4分

(2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0),

设平面BCGF的法向量为*=(x,y,z),

nCG-y-2z-0

则《x

n}FG=-2x+y=0

令y=2,则1=(1,2,1),

而平面ADGC的法向量4=/=(1,0,0)

1x1旦

cos<n,n>=

]2222222

II,I»21Vl+2+1xV1+0+06

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为巫

8分

6

(3)设DG的中点为M,连接AM、FM,则%面体ABC-DEFG一展棱柱ADM-BEF+"三核柱ABC-MFG

-DEXS&ADM+4DxS&MFG=2x—x2xl+2x—x2xl=4.12分

22

解法二:(1)设DG的中点为M,连接AM、FM,则由已知条件易证四边形DEFM

是平行四边形，所以MF//DE,且MF=DE

XVAB//DE,且AB=DEAMF/ZAB,且MF=AB

，四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM,且BF=AM

又；M为DG的中点，DG=2,AC=1,面ABC//面DEFG

/.AC//MG,且AC=MG,即四边形ACGM是平行四边形

.♦.GC//AM,且GC=AM

故GC//BF,月.GC=BF,

即四点B、C、F、G共面•4分

(2)•四边形EFGD是直角梯形，ADlffiDEFG

ADEIDG,DEJ_AD,即DE_L面ADGC,

VMF//DE,且MF=DE,；.MF_L面ADGC

在平面ADGC中，过M作MNJ_GC,垂足为N,连接NF,

显然NMNF是所求二面角的平面角.

♦.•在四边形ADGC中，AD±AC,AD_LDG,AC=DM=MG=1

5+4-5_M

CD=CG=y/s,

2xGCxGD2xV5x25

2/c

/.sinADGC=述・・・MN=MG•sinZDGC=上

5

DMG

2V5

在直角三角形MNF中，MF=2,MN=

-5-

AtanZMVF=—==75,cosZMVF=—

MN2V56

5

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为逅................8分

6

（3）%多面体ABC-DEFG一0:棱柱ADM-BEF+':段柱ABC-MFG一DEXS△加+ADXS^MFG

=2x—x2xl+2x—x2xl=4.

22

22、解：依题意可知，441_L平面ABC,ZBAC=90°,

空间向量法如图建立空间直角坐标系。一町z，因为N8=4C=441=4,

则A(0,0,0),5(4,0,0)£(0,4,2),0(2,2,0),B,(4,0,4)

(I)~Bp=(-2,2,-4),£O=(2,-2,-2),而=(2,2,0)

即反:(-2)x2+2x(-2)+(-4)x(-2)=0,：.BpiEO,J.B.OLEO

葩方=(-2)x2+2x2+(-4)x0=0,.•.西1瓦：.B,OLAO

•：AOC\EO^O,NO,EOu平面力EO/.60，平面4EO(4分)

（II）平面人£0的法向量为用。=（一2,2,-4）,设平面B|AE的法向量为

n-AE=02y+z=0

n=(x,y,z),_即__V

x+z=0

n'BtA=Q

令x=2,则z=-2,y=L/.z=(2,1,-2)

6_V6

cos＜力而＞="•处L

四18。79x724-6

二面角B,—AE—F的余弦值为逅

(8分)

6

(III)因为花的=2x2—2x2+0=0,：.AOLEd,AO±EO

VAOH~AOHV22+22+0=2V2,EO=|函=26

-^-AOE