新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类第7讲解析几何(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

第7讲解析几何（2022-2023年高考真题）一．选择题1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为A． B． C． D．2．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是A． B．4 C． D．73．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则A．1 B．2 C．4 D．54．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．5．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．6．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是A． B． C． D．7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为A． B． C． D．8．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立9．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．10．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．11．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A．1 B． C． D．12．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则A． B． C． D．13．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D．14．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则A． B． C．1 D．15．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为A． B． C． D．二．多选题16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形17．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．18．（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．19．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．三．填空题20．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为．21．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．22．（2023•上海）已知圆的面积为，则．23．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值．24．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．25．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则．26．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．27．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为．28．（2022•乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．29．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则．30．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．31．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则．32．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是．33．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程．34．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．四．解答题35．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．36．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，．右焦点为，已知，．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．37．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．38．（2023•新高考Ⅱ）双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．39．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．40．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．41．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求的最小值．42．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．43．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．44．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．（1）求的方程；（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．第7讲解析几何（2022-2023年高考真题）一．选择题1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成的区域为圆环，而直线的倾斜角不大于的点构成的区域为图中阴影部分，所求概率为．故选：．2．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，设，变形可得，其几何意义为直线，直线与圆有公共点，则有，解可得，故的最大值为．故选：．3．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】根据题意，点在椭圆上，满足，可得，又由椭圆，其中，则有，，可得，故选：．4．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，则，所以①，联立，可得，，即，，因为直线的斜率，整理得②，①②联立得，，，故双曲线方程为．故选：．5．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．6．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是A． B． C． D．【答案】【解析】设，，，，中点为，，，①②得，即，即或．故选：．7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，设，则，根据题意可得：，，又，当，，时，取得最大值．故选：．8．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】【解析】椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故②错误．故选：．9．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．10．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆可得，，，椭圆的离心率分别为，，，，，或（舍去）．故选：．11．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A．1 B． C． D．【答案】【解析】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以，所以．故选：．12．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则A． B． C． D．【答案】【解析】记直线与轴交于，椭圆的左，右焦点分别为，，，，由△面积是△的2倍，可得，，解得或，或，或，联立可得，，直线与相交，所以△，解得，不符合题意，故．故选：．13．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】已知，设，，则，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故选：．14．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则A． B． C．1 D．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，直线是圆的一条对称轴，圆心在直线上，可得，即．故选：．15．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，，则椭圆方程为．故选：．二．多选题16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形【答案】【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于，两点，直线方程代入抛物线方程可得：，，所以，所以不正确；，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正确．故选：．17．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．【答案】【解析】点在抛物线上，，解得，抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；由于，，则，直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，联立，消去并整理可得，则，，，，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；，选项正确．故选：．18．（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．【答案】【解析】如图，，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故正确；，，，故错误；，故正确；，，，，，，，，均为锐角，可得，故正确．故选：．19．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，设过的切线与圆相切于点，则，，又，所以，过点作于点，所以，又为的中点，所以，，因为，，所以，所以，则，所以，由双曲线的定义可知，所以，可得，即，所以的离心率．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为，连接，则，，过作于，则，因为，所以，，，即，所以，正确．故选：．三．填空题20．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为．【答案】．【解析】点在抛物线上，则，解得，由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．故答案为：．21．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．【答案】6．【解析】如图，由题意，不妨设直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为，得，解得，则直线方程为，联立，得或，即．可得，解得．故答案为：6．22．（2023•上海）已知圆的面积为，则．【答案】．【解析】圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为1，，．故答案为：．23．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值．由圆，可得圆心坐标为，半径为，因为的面积为，可得，解得，设所以，可得，，或，或，圆心眼到直线的距离或，或，解得或．故答案为：2（或或或．24．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．（法一）如图，设，，，设，则，又，则，可得，又，且，则，化简得．又点在上，则，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设，则，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，则．故答案为：．25．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则．【答案】2．【解析】圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，，解得．故答案为：2．26．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．【答案】．【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由于，且，则点在渐近线上，不妨设，设直线的倾斜角为，则，则，即，则，，又，则，又，则，则，点的坐标为，，即，．（法二）由，解得，又，所以点的纵坐标为，代入方程中，解得，所以，代入双曲线方程中，可得，所以．故答案为：．27．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】．【解析】由点在直线上，可设，由于点和均在上，圆的半径为，求得，可得半径为，圆心，故的方程为，故答案为：．28．（2022•乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．设过点，，的圆的方程为，即，解得，，，所以过点，，圆的方程为．同理可得，过点，，圆的方程为．过点，，圆的方程为．过点，，圆的方程为．故答案为：（或或或．29．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则．【答案】．【解析】双曲线化为标准方程可得，所以，双曲线的渐近线方程，又双曲线的渐近线方程为，所以，解得．故答案为：．30．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．【答案】．【解析】设，，，，线段的中点为，由，，相减可得：，则，设直线的方程为：，，，，，，，，，，解得，，，化为：．，，解得．的方程为，即，故答案为：．31．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】．【解析】双曲线的渐近线：，圆的圆心与半径1，双曲线的渐近线与圆相切，，解得，舍去．故答案为：．32．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是．【答案】，．【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，的圆心，半径为1，所以，得，解得，．故答案为：，．33．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】（填，都正确）．【解析】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，如图：，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．，的斜率为，设直线，即，由，解得（负值舍去），则；由图可知，；与关于直线对称，联立，解得与的一个交点为，在上取一点，该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．，则，即．与圆和都相切的一条直线的方程为：（填，都正确）．故答案为：（填，都正确）．34．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．【答案】13．【解析】椭圆的离心率为，不妨可设椭圆，，的上顶点为，两个焦点为，，△为等边三角形，过且垂直于的直线与交于，两点，，由等腰三角形的性质可得，，，设直线方程为，，，，，将其与椭圆联立化简可得，，由韦达定理可得，，，，解得，的周长等价于．故答案为：13．四．解答题35．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．【解析】（1）由题意，，解得．椭圆的方程为；证明：（2）如图，要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且小于0，设，即，，，，，，联立，得．△．，，直线，取，得；直线，取，得．．的中点为，为定点．36．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，．右焦点为，已知，．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，，解得，．则椭圆方程为，椭圆的离心率为；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，当时，直线方程为，取，得．联立，得．△，，得，则．．．，即，得；同理求得当时，．直线的方程为．37．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．【分析】（1）设点坐标，结合几何条件即可得出的方程．（2）首先利用平移性，化简的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．【详解】（1）设点点坐标为，由题意得，两边平方可得：，化简得：，符合题意．故的方程为．（2）解法一：不妨设，，三点在上，且．设，，，则，．由题意，，即，显然，于是．此时，．．于是，．不妨设，则，则．设，则，即，又．显然，为最小值点．故，故矩形的周长为．注意这里有两个取等条件，一个是，另一个是，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设，，在抛物线上，不在抛物线上，欲证命题为．由图象的平移可知，将抛物线看作不影响问题的证明．设，，平移坐标系使为坐标原点，则新抛物线方程为，写为极坐标方程，即，即．欲证明的结论为，也即．不妨设，将不等式左边看成关于的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当即时取得，因此欲证不等式为，即，根据均值不等式，有，由题意，等号不成立，故原命题得证．38．（2023•新高考Ⅱ）双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；（2）设出直线的方程，并与双曲线联立，再结合韦达定理，推得，，设出，直线方程，再联立方程，即可求解．【详解】（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，则，解得，故双曲线的方程为；（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，则可设直线的方程为，，，，，记的左，右顶点分别为，，则，，联立，化简整理可得，，故△且，，，直线的方程为，直线方程，故，故，解得，所以，故点在定直线上运动．39．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【解析】（1），，，，，；（2）由（1）可知椭圆为，即，设直线，联立，消去可得：，又直线与椭圆只有一个公共点，△，，又，，又，，解得，，又的面积为，，，又，，，，椭圆的标准方程为．40．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．【解析】（1）由题意可得，，的中点在轴上，的纵坐标为，代入得．（2）由直线方程可知，①若，则，即，，．②若，则，，，，．即，，，综上或．（3）设，由点到直线距离公式可得，很明显椭圆在直线的左下方，则，即，，，据此可得，，整理可得，即，从而．即的最小值为．41．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，则，，，而函数的对称轴为，则其最大值为，，即点到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线，联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，，由韦达定理可得，，，设，，，，直线，直线，联立以及，可得，由弦长公式可得，当且仅当时等号成立，的最小值为．42．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．【解析】（1）将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，而直线不过点，故；（2）设直线的倾斜角为，由，，得由，，得，即，联立，及得，同理，故，而，由，得，故．43．（202