公考数量关系常考题型解题方法详解

公考数量关系常考题型解题方法详解数学运算中涉及的知识点、公式、规律等较多、较杂，导致很多考生复习起来效率低下且收获较少，备考难度大，为了帮助考生更高效的复习，将题目按考查的知识点的不同分类，从而掌握不同题型的知识点，把握第三章各种解题技巧在不同题型中的应用就非常重要,本章就是基于以上考虑而设置，希望能通过对常考题型的梳理，让考生更高效的掌握杂乱的知识点和更熟练的掌握各种解题技巧。第一节计算问题计算问题是每年必考的一类题目，比如，2016年公务员行测考试中数学运算共10道题目，而计算问题就考查了3道。所以计算问题是必须掌握的一类题目，而且这类题目相对是比较简单的。一、基础知识计算问题涉及的知识点包括：奇偶数、质数与合数、公约数与公倍数、整除、比例、数列、周期以及中小学最基本的加减乘除运算、平均数、不等式等。所以计算问题的知识点相对比较简单，而且除了周期，其它知识点在第二章中已经做过讲解，在此补充一下周期的相关知识。（一）周期简介有一些现象会按照一定的规律不断重复出现。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪就是按照一定得规律不断重复出现的；每周有7天，从星期一开始到星期日结束，总是以7天为一个循环，不断重复出现的。在数学中，一些数和图形的变化也是周而复始地循环出现的。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。（二）周期题目的求解思路第一步：确定一个周期内的循环量；第二步：总量÷一个周期内的循环量=周期数·····余数；第三步：根据周期数、余数和题目要求确定答案。下面举例说明周期问题的解题思路，如下：【示例】假设今天是星期一，问再过2012天是星期几?解析：对于该问题第一步能确定的是一个周期内的循环量是7天，即今天是星期一的基础上再过七天还是星期一，再过14天仍然是星期一，再过7的倍数天还是星期一。在第一步的基础上根据一个周期内的循环量7天和总量2012天，可知2012÷7=287…3，即再过287个7天，此时仍然是星期一，然后在星期一的基础上再过3天，就可以得到最终的答案就是星期四。通过这一道简单的题目可以发现对于周期问题，首先得知道它一个周期内的循环量，对于有的题目一个周期内的循环量立马就能看出来(例如星期、生肖等问题)，而有的题目还需要我们去求出一个周期内的循环量才行。其次就是知道周期数和余数是多少，再在原基础上往后推迟相应的余数即可。二、计算问题常用解题技巧计算问题相对比较简单，有些题目直接计算即可，有些题目可能会用到代入排除法、数字特性法、方程法、十字交叉法。三、真题举例【例1】（2015年真题）随着台湾自由行的开放，农村农民生活质量的提高，某一农村的农民自发组织若干位同村农民到台湾旅行，其旅行费用包括：个人办理赴台手续费，在台旅行的车费平均每人503元，飞机票平均每人1998元，其他费用平均每人1199元，已知这次旅行的总费用是92000元，总的平均费用是4600元，问：赴台的总人数和个人办理赴台手续费分别是多少？A.20人，900元B.21人，650元C.20人，700元D.22人，850元解析：由题意，总人数=总费用÷人均费用=92000÷4600=20人。个人办理赴台手续费=4600-503-1998-1199=900元。因此，本题答案选择A选项。点评：该题考查了平均数计算的知识和中小学的减法运算，非常简单，也是一道典型的计算问题。【例2】（2011年真题）某单位招待所有若干间房间，现在安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有：A.4间B.5间C.6间D.7间解析：假设房间数为x，那么4（x-1）+1≤3x+2≤4（x-1）+3，很容易得到3≤x≤5。也就是说x的最大值是5，所以选择B选项。【例3】(2015年真题）设有编号为1、2、3、…、10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第n名（n≤10）游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是（）A.2B.4C.6D.8解析：约数倍数计算类。逐个分析每个数字（1～10）的约数个数，10的约数有1、2、5、10，因此10共被翻转四次，仍然背面向上；9的约数有1、3、9，共被翻转三次，正面向上。1的约数只有1，因此向上。因此正面向上的最大编号和最小编号分别为9、1，差值为8。D项正确。【例4】（补充例题）书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书、3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书（）A．小说B．教材C．工具书D．科技书解析：136本书是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书”的顺次循环排列的，每个循环有3+4+5+7=19（本）书。136÷19=7……3，因此最右边一本书是小说。第二节利润问题利润问题是行测中的常考题型，这类问题难度不大。考生只要掌握好利润问题相关的概念（比如售价、利润、利润率等）和计算公式（比如利润的计算公式、利润率的计算公式等），恰当的利用各种解题技巧，遇到这类问题还是可以快速解出的。利润问题有三种常见题型：常规利润型、分段计费型和统筹费用型，其中常规利润型是所有利润问题的基础，即常规利润型中的概念、计算公式是分段计费型和统筹费用型的基础，分段计费型和统筹费用型是对利润问题的细分。一、常规利润型1.基础知识（1）利润常考公式项目计算公式示例利润利润=售价（收入）-进价（成本）一件衣服售价是50元，进价是40元，利润=50-40=10元利润率利润率=利润/成本（进价）×100%一件衣服的进价是40元，利润是10元，利润率=10/40×100%=25%售价（收入）售价（收入）=进价（成本）×（1+利润率）一件衣服的进价是40元，利润率是25%，售价=40×（1+25%）=50元进价（成本）进价（成本）=售价（收入）/（1+利润率）一件衣服的售价是50元，利润率是25%，进价=50/(1+25%)=40元（2）打折常考公式项目计算公式示例折扣打折=（现价/原价）×10一只笔现价是4元，原价是5元，折扣=（4/5）×10=8折折扣率折扣率=（1-现价/原价）×100%一只笔现价是4元，原价是5元，折扣率=（1-4/5）×100%=20%现价现价=（原价×折扣）/10一支笔原价是5元，现在打8折，则现价=（5×8）/10=4元原价原价=（现价/折扣）×10一支笔打8折后以4元的价格出售，则原价=（4/8）×10=5元2.常规利润型常用解题技巧常规利润问题经常用到的解题技巧有：方程法和特值法。3.真题举例【例1】（2016年真题）某种商品原价25元，每半天可销售20个。现知道每降价1元，销量即增加5个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础上再打八折出售，问其全天销售额为多少元？A．1760B．1940C．2160D．2560解析：由题意可得，商品每降价1元销量增加5个。上午商品打八折出售，下午商品在上午价格的基础上再打八折，列表可得：售价销量（半天）销售额原计划2520上午25×0.8=2020+5×5=4520×45=900下午20×0.8=1620+9×5=6516×65=1040所以，商品全天销售额=900+1040=1940元。故正确答案为B。【例2】（补充例题）老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元（）A．42B．50C．84D．100解析：设老王买进该艺术品时花了x元，根据题干中等量关系可以列出方程：x（1＋50%）×0.8×（1－5%）=x＋7，解方程求得x=50，即该艺术品的成本为50万元。所以正确答案为B项。【例3】（补充例题）某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了1/4，缺货时又损失了1/5，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：题目中只已知利润率为10%，但售价、利润、水果数量全都未知，考虑使用特值法。设水果的总数为20，每个水果的进价是1元，则所有水果的成本为20元。根据题目可得剩下的水果数量为：20-20×1/4-20×1/5=11，则剩下的水果售完后的总收入为：20×（1+10%）=22元，所以剩下的水果每个的售价为22/11=2元。所以这批水果的售价是进价的2倍。正确答案为C项。二、分段计费型1.基础知识如果利润问题中出现前后单价、收费方式、计费标准等不一致的情况，即需要分段计算。2.分段计费型常用的解题技巧分段计费型常用的解题技巧有方程法和特值法，但最关键的是要理解题目中的分段计费的标准。3.真题举例【例1】（2016年真题）某地居民用水价格分二级阶梯，户年用水量在0~180（含）吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨。户内人口在5人以上的，每多1人，阶梯水量标准增加30吨。老张家5人，老李家6人，去年用水量都是210吨。问老李家的人均水费比老张家少约多少元？（ ）A．12B．35C．47D．60解析：由题目“户年用水量在0~180（含）吨的水价5元/吨；180吨以上的水价7元/吨”可知，水费在180吨之上和之下的收费标准不一样，所以是分段计费型。由题目条件可得：老张家5口人，基用水量为180吨，超出30吨，共计需要水费：180×5+（210-180）×7=1110元，人均222元；老李家6口人，基础用水量210吨，共计需要水费210×5=1050元，人均175元；人均水费相差222-175=47元。所以正确答案为C项。【例2】（2013年真题）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次性购买并付款，可以节省多少元？A.16B.22.4C.30.6D.48解析：由题目“一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。”可知是分段计费型。根据题目首先要清楚分段计费的规则，如下：商品价格计费规则实际付款小于或等于300元打九折商品价格×0.9大于300元300元打九折，超过300元的部分打八折300×0.9+（商品价格-300）×0.8根据分段计算规则，可以得到小王分两次付款的商品的价格如下：实际付款商品价格144元144/0.9=160元310元300+(310-300×0.9)/0.8=350元所以分两次购买的商品的价格总共为160+350=510元。所以这些商品如果一次性付款的话，实际付款为300×0.9+（510-300）0.8=438元，所以比分两次付款省了144+310-438=16元。所以正确答案为A 项。【例3】（补充例题）商店进了100件同样的衣服，售价定为进价的150%，卖了一段时间后价格下降20%继续销售，换季时剩下的衣服按照售价的一半处理，最后这批衣服盈利超过25%。如果处理的衣服不少于20件，问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的？（）A.7B.14C.34D.47解析：由题目可知售价前后不一样，所以是分段计费型。但题目中除了衣服总数量100、处理的衣服20和利润率25%，进价、售价、按原售价卖出的衣服都未知，所以考虑使用特值法。设衣服的进价是100，原价售出的衣服有x件。根据题目条件可得到其分段计费的规则如下：进价及衣服数量售价及售出衣服数量降价即售出衣服数量换季价及售出衣服数量10015012075100件X件100-20-x件20件根据以上分析可以列出方程为：150x+120×（80-x）+75×20≧100×100（1+25%），解得x≧46.5，所以x只能取47。正确答案为D项。三、统筹费用型1.基础知识如果题目要求费用最少、利润最大等，那么这种问题就属于统筹费用型，需要综合考虑对比各种情况，选择出能满足要求的最优化的方案。2.统筹费用型解题技巧统筹费用型题目常用方程法求解，但最关键的是要能找到最优化的方案。3.真题举例【例1】（2011年真题）某公司要买100本便签纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便签纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1.B超市的便签纸1元一本且买3送1,胶棒1.5元一支，如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱？A.183.5B.208.5C.225D.230解析：题目要求至少花多少钱，即费用最少是多少，所以属于统筹费用型。根据题目条件，A超市货物单价：便签：0.8元/本；胶棒：3个4元，每个1.3元；B超市货物单价便签：4个3元，每个0.75元；胶棒：1.5元/个；根据单价，100本便签在B超市买，4个便签1组买，可分为25组，总共花的钱数为：25×3=75元;100个胶棒在A超市买，3个胶棒1组买，可分为33组余1个胶棒，总共花的钱数为：33×4+1.5=133.5元;（剩余的一个胶棒在B超市买）。所以总共花了：75+133.5=208.5元。所以正确答案为B项。【例2】（补充例题）一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，销售定价为238元。一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出产品销售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中能获得的最大利润是（）元。A.17920 B.13920C.10000D.8400解析：题目要求利润最大，所以属于统筹费用型。设厂家降价x次，获得利润y元，故y=（238-168-2x）×(120+8x），化简可得y=-16+320x+8400=-16+10000，当x=10时，取得最大值10000元。所以正确答案为C项。第三节几何问题几何问题在行测考试中考查的频率很高，几乎每年都会出现至少1道题目。几何问题与常见的数学问题还是有区别的。这类题对考生的空间想象和创造力有要求，比如立体几何就需要考生有较好的空间想象力，而平面几何就需要考生能将图形拆、补割等，即创造力。但和常见的数学问题一样，掌握概念、公式和解题技巧对于解决几何问题同样是有效的，所以本章涉及的概念、公式以及几何问题独特的解题技巧就需要考生格外重视。根据几何问题考查的图形特点和知识点，我们可以将几何问题分为平面几何型、立体几何型、几何性质型和几何计数型四类。分类掌握不同题型可以使考生的复习和备考更加高效。一、平面几何型1.基础知识图形图例周长公式面积公式三角形正方形长方形梯形一般不考平行四边形圆扇形2.解题技巧根据平面几何型题目所给图形的特征，我们将解题技巧分为两种，如下：如果所给图形是规则图形，那么一般按照规则图形对应的计算公式直接计算或者根据规则图形的公式列方程计算。如果所给图形是不规则图形，那么可以通过分割、补齐、平移等手段将其转化为规则图形，然后按规则图形的解题方法求解。3.真题举例【例1】（补充例题）在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是除池塘之外草坪面积的1/3，则池塘的长和宽之比为()。A.1:1B.2:1C.4:1D.：（2-）解析：题目的条件中给出的图形是规则图形，所以考虑使用公式直接求解或者列方程。但题目没有给出具体的值，所以设池塘的面积为1，则除去池塘之外的草坪面积为3，则正方形草坪的面积为4，则正方形草坪的边长为2。设池塘的长为x，宽为y。根据题意可以列出方程：xy=1和2（x+y）=4，解得x=1，y=1。所以正确答案为A项。【例2】（补充例题）下图中的甲和乙都是正方形，BE=20厘米，EF=10厘米。那么，阴影部分ABC的面积是多少平方厘米？A.200B.220C.230D.250解析：题目给出的图形是一个不规则的图形，所以考虑将图形转变为规则图形来求解。将整个图形补齐，使其成为一个长方形，作图如下。则三角形ABC的面积就等于长方形BGKF的面积减去三角形AGB、三角形BCF、三角形ACK的面积。即三角形ABC的面积=20×30-1/2×20×20-1/2×30×10-1/2×30×10=200平方厘米。正确答案为A项。【例3】（补充例题）下列图形均是由正方形与圆形所构成的，图形中阴影部分的面积最大的是（）。A最大B.B最大C.C最大D.都一样大解析：题目中所给的图形的阴影部分是不规则图形，所以考虑将其转化为规则图形。对于A图可以分割为两部分，即所有阴影部分和空白部分的圆形，而这两部分的面积和等于一个正方形的面积，所以阴影部分的面积=正方形的面积-空白部分圆形的面积==4-π。同理可得B图阴影部分的面积=4-π；C图阴影部分的面积=π-2。所以正确答案为C项。【例4】（2010年真题）如下图，长为1米的细绳上系有小球，从A处放手后，小球第一次摆到最低点B处共移动了多少米？A.1+1/3πB.1/2+1/2πC.2/3πD.1+2/3π解析：根据题目可得到小球的运动轨迹如下图：即A点至C点，因为绳子对小球没有拉力，所以小球的运动是垂直下落的；C点开始，绳子被拉直，所以绳子对小球有拉力，所以C点至B点小球的运动轨迹是扇形的一段弧长。要计算小球一共移动了多少米，分别计算出AC的长度和CB的弧长即可。AC在三角形ACO中，AO=BO，角AOC=60度，所以三角ACO是等边三角形，所以AC=A0=CO=1；对于C点到B点的长度按公式计算可得为1/3π。所以小球总共移动了（1+1/3π）米。正确答案为A项。二、立体几何型1.基础知识图形图例表面积公式体积公式长方体正方形球体圆柱圆锥一般不考所有柱体的体积都=底面积×高；所有锥体的体积都=1/3×底面积×高；2.解题技巧立体几何型题目大多数情况下都是直接考查基本公式，所以题目直接利用公式求解即可。但是，立体几何相对比较抽象，所以解题时尽可能将其转化到平面更有利于解题。3.真题举例【例1】（2013年真题）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如下图所示)。己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米?A.182B.242C.36D.72解析：该正八面体可以看做两个正四棱锥拼成的，每个正四棱锥的底面由原正方体四个侧面的中心连线构成，高分别为正方体顶面与底面中心到四棱锥底面中心的距离。如下图所示：一个正四棱锥的高为SO，底面积为四边形ABCD的面积。正四棱锥底面投影至正方体底面后的图形如下：所有正四棱锥的底面积=6×6-4×（1/2×3×3）=18平方厘米，由上述分析可得一个正四棱锥的高为3。所以一个正四棱锥的体积=1/3×18×3=18立方厘米。所以正八面体的体积为36平方厘米。正确答案为C项。【例2】（2012年真题）某公司要在长、宽、高分别为50米、40米、30米的长方体建筑的表面架设专用电路管道联接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于：A.90—100米之间B.80—90米之间C.70—80米之间D.60—70米之间解析：要使其在外围走线且距离最短，则最短的情况为走过两个相邻面，连接如图中A、B两点。连接A、B两点的最短连线转化到平面后如下图：由于长、宽、高是相对而言的，所以AB的长度有如下三种最短情况：由勾股定理可计算出三种最短情况下AB的值，取最小值即可。故答案为B项。点评：此题为立体几何题，是一道非常经典的题目。此题的关键有两点，一是一定要将立体图形转换到平面去看，二是注意立体图形中长、宽、高是相对正视图而言的。三、几何特性型1.基础知识（1）相似图形的重要结论如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形就是相似图形，相似图形对应边的比例称为相似比。关于相似图形有以下重要结论。·相似图形对应的角相等；·相似图形的周长比等于相似比；·相似图形的面积比等于相似比的平方；·相似图形的体积比等于相似比的立方。（2）三角形重要结论·三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；·在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：·一个角是30度的直角三角形，30度角所对的直角边是斜边的一半，三条边的比值为：；·一个角是45度的直角三角形，三边的比值为：。2.解题技巧要解决几何特性型题目，最重要的就是掌握这些特性并熟练运用。3.真题举例【例1】（补充例题）一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。问种植白花的面积占矩形土地面积的：A．3/4B．2/3C．7/12D．1/2解析：设AB的长度为6，则AD的长度为12。由题目可知，三角形戊的面积等于1/2×3×12=18；由AB和DE平行，可知三角形甲和丙为相似三角形，已知AB：DE=2:1，即相似比是2:1，所以三角形甲和丙的高也是2:1，由图可知三角形甲和丙的高之和等于AD，即12，所以三角形甲的高为12×2/3=8，所以三角形甲的面积为1/2×8×6=24。所以种植白花的甲和戊两个三角形的面积为24+18=42，占矩形土地面积为42/（12×6）=7/12。所以正确答案为C项。【例2】（补充例题）已知三角形三边长分别为3、15、x。若x为正整数，则这样的三角形有多少个？（）A.3B.4C.5D.无数解析：利用三角形的结论，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此可得，15-3<x<15+3，即12<x<18，所以第三边可以取13、14、15、16、17这5个值，所以可以组成5个这样的三角形。正确答案为C项目。四、几何计数型1.基础知识几何计数型题目共同的特征是要求求出满足题目条件的图形个数，而且有时数量还较大。这类题目一般不涉及新的知识点，所以平面几何型、立体几何型、几何性质型的知识是几何计数型题目的基础知识。2.解题技巧这类题目需要利用几何基础知识综合考虑才能得出结果。3.真题举例【例1】（2011年真题）把一个正四面体的每个表面都分成9个相同的等边三角形,用任意颜色给这些小三角形上色,要求有公共边的小三角颜色不同,问最多有多少个小三角形颜色相同?A.12B.15C.16D.18解析：我们考虑小三角形颜色相同最多的那种颜色，设其为黑色，在左图中，我们将不相邻的三角形涂一种颜色，因为要求有公共边的三角形颜色不同，则黑色部分三角形颜色一样，因此余下三个面相对于这个面的位置是一样的，我们只要分析其中的一个面即可，如右图，只有三个三角形能涂黑色，因此最多有6+3×3=15个小三角形颜色相同。所以正确答案为B项。点评：正四面体又称正三棱锥，正四面体的四个面都是全等的等边三角形。【例2】（2014年真题）一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管?(一根水管上可以连接多个喷头)A.5B.8C.20D.30解析：为使水管数量最少，应使喷头尽可能在一条直线上。如下图，有四个喷头在一条直线、三个喷头在一条直线上，此时需要8根水管。第四节工程问题工程问题是行测中的常考题型，这类问题的考查方式比较单一，题型的变化也较小，所以整体来看难度并不大。考生只要掌握好工程问题相关的概念（比如工作总量、工作时间、工作效率）、计算公式和比例关系，恰当的利用各种解题技巧（尤其是特值法），遇到这类问题还是可以快速解出的。利润问题有三种常见题型：常规工程型、合作工程型和轮流合作工程型。其中常规工程型是所有工程问题的基础，即常规工程型中的概念、计算公式是合作工程型和轮流合作工程型的基础，合作工程型和轮流合作工程型是对工程问题的细分。一、常规工程型常规工程型题目是工程问题中最基础的题目，考查的越来越少，这种类型的题目中一般不涉及与他人共同合作的情况。1.基础知识概念公式示例工作总量工作总量=工作时间×工作效率小王加工一批零件，每天加工2个，工作5天能完成，则工作总量=5×2=10个工作时间工作时间=工作总量÷工作效率小王加工10个零件，每天加工2个，则工作时间=10÷2=5天工作效率工作效率=工作总量÷工作时间小王加工10个零件，工作5天能完成，则工作效率=10÷5=2个/天2.解题技巧（1）直接利用公式进行计算或运用公式结合方程法来解决问题。（2）如果题干中存在工作时间（工作效率）前后的变化，有时也可以考虑使用比例的知识进行求解。工程问题中各个量的比例关系如下：不变的量另外两个量的比例关系工作时间一定时工作总量和工作效率成正比工作效率一定时工作总量和工作时间成正比工作总量一定时工作时间和工作效率成反比3.真题举例【例1】（补充例题）王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完2/5时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字？（）A.6025B.7200C.7250D.5250解析：题目中不涉及与他人合作，所以是常规工程型题目。设这份报告总共有5x个字，刚开始的效率是30，提高后的效率为30×（1+40%）=42。由“比原计划提前半小时完成”这个等量关系，结合工程问题的公式可列出方程：5x/30=2x/30+3x/42+30，解得x=1050，所以总的字数为5250个。正确答案为D项。【例2】（补充例题）老王计划用100天的时间完成一件大型雕塑，按原计划的工作效率工作48天后由于购买了新型雕刻工具，工作效率提高了30%，那么这件雕塑可以提前几天完成？A.28B.15C.12D.18解析：由“工作效率提高30%”，可知前后的效率发生了变化，可以考虑使用比例的知识求解。工作效率提高30%，则原来和现在的效率之比为10∶13。根据工作总量一定时，工作时间和工作效率成反比，则原来的工作时间和现在的工作时间的比与工作效率成反比，即13:10。根据题目可知，剩下的工作量原计划用100-48=52天完成，而效率提高后，根据比例关系可知只需要用52×10/13=40天完成。所以提前52-40=12天完成。正确答案为C项。二、合作工程型1.基础知识合作工程型是指一项工程由多者合作完成。对于此类题目除了常规工程型的基础知识外，还需要掌握以下几点知识。（1）对于一项工程，工作总量等于每一个参与到这项工程中的人完成的工作量的和。（2）合作时的效率=各部分效率之和。2.解题技巧合作工程型题目经常使用到的解题技巧有方程法、数字特性法和特值法。因为合作型工程问题中涉及多个人的工作时间、工作效率和工作量，所以很多题目都会出现这些量中只知道其中一个量的具体值，其它未知的情况，所以在此对合作型工程问题中特值法的使用作出补充，具体如下：（1）如果题目只给出了时间的具体值，可以通过给工作总量设特殊值，一般将总量设为时间的公倍数，从而计算出各自的效率。（2）如果题目条件不仅有时间，而且给出了关于效率的比例关系，这时通常可以给效率设特殊值，从而通过公式计算出工作总量。（3）如果题目给出了工作效率、工作时间、工作总量三个中的任意两个的具体值，则不用设特值，代入公式或者列方程计算即可。3.真题举例【例1】（补充例题）一项工程如果交给甲、乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲、丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲、丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙、丙、丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（）A.16B.20C.24D.28解析：题目只给出了时间的具体值，所以可以设工作总量为8天、10天、15天和6天的公倍数，即120。所以可以得到各种合作情况下的效率和，甲的工作效率+丙的工作效率=120/8=15，甲的工作效率+丙的工作效率=120/10=12，甲的工作效率+丁的工作效率=120/15=8，乙的工作效率+丙的工作效率+丁的工作效率=120/6=20；求解可得甲的工作效率为5，所以甲独立施工需要的天数为120/5=24天。正确答案为C项。【例2】（2010年真题）一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22天后，这项工程（）。A.已经完工B.余下的量需甲、乙两队共同工作1天C.余下的量需乙、丙两队共同工作1天D.余下的量需甲、乙、丙队共同工作1天解析：题目不仅给出了时间，还给出了效率间的比例关系，由“丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当”可得乙、丙的工作效率之比为3:4，由“甲队与乙队的工作效率相同”可得甲、乙工作效率之比为1:1，所以甲、乙、丙的工作效率之比为3:3:4。设甲、乙、丙的效率分别为3、3、4，则工作总量为（3+3+4）×15=150。开2天后，丙完成的工作量为4×2=8；开工22天后，甲和乙完成的工作量为（3+3）×22=132；所以剩余的工作量为150-8-132=10。所以剩余的工作量需要甲、乙、丙合作完成，需要的工作时间为10/（3+3+4）=1天。正确答案为D项。【例3】（2012年真题）甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差：A.7个B.6个C.5个D.4个解析：题目中工作时间、工作效率都已知，所以不能设特值，列方程求解即可。由题目可知：甲加工A零件工作了x小时，则甲加工B零件工作了8-x小时；乙加工A零件工作了y小时，则乙加工B零件工作了8-y小时；所以根据题目条件可得如下方程：甲加工零件总数=；乙加工零件总数=；甲乙总共加工的零件数=59=+；题目当中x、y必须是整数，且，，所以观察可得：首先利用奇偶律可知，x和y必然一个是奇数另一个是偶数；其次利用整除的特性可知，5y是5的倍数，所以45-5y得结果仍然是5的倍数，则3x也必然是5的倍数，所以x只能等于5，则y等于6。所以甲加工零件总数为48-15=33，乙加工零件总数为56-30=26，所以相差7个零件。正确答案为A项。三、交替合作型1.基础知识一项工程由多者交替去做，一者工作时其它者都不参与，按此规律不断循环，直到完成工作总量。对于这类题目，常规工程型和合作工程型的知识是其基础。2.解题技巧交替合作型题目常用的解题技巧有方程法和特值法，但关键点是找出最小的循环周期及一个循环周期的效率之和。对于交替合作型题目常用的解题思路如下：第一步：工作总量设为“时间们”的最小公倍数就可得到各个效率；第二步：找到周期的循环规律，得到一个周期完成的工作量；第三步：工作总量除以一个周期的工作量就可以得到周期数和剩余的工作量；第四步：计算总的完成时间。3.真题举例【例题】（补充例题）一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作。那么，挖完这条隧道共用多少天？A.13B.13.5C.14D.15.5解析：题干中工作总量和工作时间未知，所以可以设特值。设工作总量为20，则甲的效率为1，乙的效率为2，则一个循环甲乙的工作量为3，20÷3=6……2，6个循环为6×2=12天，剩余工作量，甲先完成1个工作量，即工作1天，乙再完成剩余的1个工作量即0.5天，则共需12+1+0.5=13.5天。所以正确答案为B项。第五节行程问题行程问题是行测几乎每年都会考查的题型，但行程问题的种类和变形很多，因此，备考难度较大。虽然备考难度大，题目变形和种类多，但是这些题目都是基于基本的行程问题变化产生的，所以从基本的行程问题入手，多加练习，掌握好行程问题还是可以的。常见的行程问题有以下几种题型：基本行程型、相遇追及型、环线相遇追及型、流水行船型。一、基本行程型基本行程型题目是最简单也是最基本的行程问题，是所有行程问题的基础。基础知识项目公式路程路程=速度×时间速度速度=路程÷时间时间时间=路程÷速度平均速度平均速度=总路程÷总时间2.解题技巧基本行程型题目有的可以直接代入公式中计算即可；有的需要根据公式使用方程法求解；有的题目条件不充足也会考虑使用特值法；还有些题目可以通过比例知识进行求解，所以对于行程问题中速度、时间、路程三个量的比例关系要掌握，具体如下：不变的量另外两个量的关系路程一定时速度和时间成反比速度一定时路程和时间成正比时间一定时路程和速度成正比基本行程型题目甚至所有的行程问题都涉及物体的运动，所以有些题目可以通过画出物体运动的简图从而使问题直观明了，便于解答，即所谓的画图求解的方法。在此举例说明。【示例】一列火车长300米，它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少时间?解析：根据题意，利用画图法作图如下：由图可知，从车头进入隧道到车尾离开隧道车走过的路程为200+300=500米，则所用时间为500÷10=50秒。3.真题举例【例1】（2012年真题）四名运动员参加4×100米接力，他们100米速度分别为v1，v2，v3，v4。不考虑其他影响因素，他们跑400米全程的平均速度为（）。A.(1/4)(v1+v2+v3+v4)B.4/(v1+v2+v3+v4)C.4/v1+4/v2+4/v3+4/v4

D.4/(1/v1+1/v2+1/v3+1/v4)

解析：题目当中已知四名运动员各自的路程和速度，所以直接代入公式计算即可。平均速度=总路程÷总时间，总路程已知，即400米，所以知道总时间即可。四名运动员各自的时间根据公式可得分别为：、、、。所以平均速度=400÷（+++）化简可得正确答案为D项。【例2】（补充例题）火车通过560米长的隧道用20秒，如果速度增加20%，通过1200米长的隧道用30秒。火车的长度是多少米？（）A.220B.240C.250D.260解析：题目中火车的长度和原来的速度都未知，只已知时间，所以考虑通过列方程求解。根据题目可知隧道长度+火车长度=速度×火车通过隧道的时间，设火车的长度为x米，原来的速度为y米/秒，根据公式和题目条件列出方程为：560+x=20×y，1200+x=x（1+20%）×y。求解两个方程可得x=240米。所以正确答案为B项。【例3】（2014年真题）甲乙两辆车从A地驶往90公里外的B地，两车的速度为5:6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时?A.10B.12C.12.5D.15解析：由于两人的速度之比为5:6。故两人全程所用时间之比为6:5，乙比甲晚出发10分钟，且比甲早到2分钟，因此全程乙比甲快了12分钟。由于两人全程所用时间之比为6:5，即甲的用时从比例上来说比乙多了1份，多的这1份即12分钟。所以甲全程用时为12×6=72分钟，所以甲的速度为90/（72/60）=75千米/小时；乙全程用时为12×5=60分钟，所以乙的速度为90/（60/60）=90千米/小时；所以辆车时速相差15千米/小时。正确答案为D项。二、追及相遇型1.基础知识（1）相遇相遇一般可以描述为甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲、乙在途中相遇。图示如下：根据图示，假设AB=S，AC=，BC=，则S=+=+，因为甲和乙在C点相遇时两者用时一样，所以S=T×（+）。即，对于相遇型问题有如下结论：路程和=速度和×时间。（2）追及追及一般可以描述为甲从A地到C地，乙在甲的前方位置B，甲的速度大于乙的速度，甲在途中追上乙。图示如下：根据图示，假设AB=S，甲在C点追上了乙，AC=，BC=，则S=-=-，因为甲和乙到达C点用时一样，所以S=T×（-）。即对于追及型问题有如下结论：路程差=速度差×时间。2.解题技巧有的追及相遇型题目相对比较简单，可以直接代入公式和结论中求解解；有的题目条件不充足也会考虑使用特值法；还有些题目可以通过比例知识进行求解；同样画图对于求解有些追及相遇型题目也很有帮助。3.真题举例【例1】（补充例题）甲、乙两地相距20公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为4.5公里/小时，小张速度为27公里/小时。出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里？A.8.1B.9C.11D.11.9解析：题目已知小李和小张的速度、甲乙两地的距离和个别时间，所以条件相对充分，考虑用追及相遇的结论和公式求解。通过题目条件可知，小张从甲地出发半小时又返回甲地，共花了1小时，这1小时加上他在甲地休息的半小时，共1.5个小时。在这1.5小时内小李一直在前往乙地，所以小李1.5小时内走的路程正好是小张再次从甲地出发去追小李的追及距离。根据追及的公式，路程差=速度差×时间，而这个路程差就是本题的追及距离。所以可得4.5×1.5=（27-4.5）×追及时间，求得追及时间等于0.3小时，此时小张从甲地行驶了27×0.3=8.1公里，故离乙地有20-8.1=11.9公里。正确答案为D项。【例2】（补充例题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果每个人按一定的速度前进，4小时相遇；如果各自每小时比原计划少走1千米，5小时相遇。则A、B两地的距离是（）。A.40B.20C.30D.10解析：根据题目可知本题是相遇型题目，题目所求的A、B两地的距离及路程和，而时间已知，所以求出速度和即可，考虑使用方程法。设A、B两地的距离为S，甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。根据相遇的公式可得方程为：S=（x+y）×4，S=（x-1+y-1)×5，解方程可得x+y=10，所以S=10×4=40。正确答案为A项。【例3】（2013年真题）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？A.1.5B.2C.2.5D.3解析：题目涉及两次相遇，所以画出其运动图更直观，如下：第一次相遇图第二次相遇图由图可知，第一次相遇时，；第二次相遇时，；设第一次相遇时=1，则第二次相遇时=1+1=2；且第二次相遇时王所走的路程和第一次一样，所以=1。由比例知识可知，时间相同，路程比等于速度比，所以可得速度比为：，则小张车速是小王的2倍。正确答案为B项。环线相遇追及型环形相遇追及型题是在相遇追及型题基础上的细分，所以相遇追及型题的结论适用于环线相遇追及型题。1.基础知识（1）环线相遇环线相遇是指在一个环形跑道上，两人由同一起点同时出发，相向而行，则他们会在跑道上某点相遇。具体如下图：假设跑道长度为S，则可以得到如下结论：·第一次相遇时，甲乙的路程和为S;·第n次相遇时，甲乙的路程之和为nS·每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的n倍。（2）环线追及环线追及是指在一个环形跑道上，两人由同一起点同时出发，同向而行，则他们会在跑道上某点一个追上另一个。具体如下图：假设跑道的长度为S，则可以得到如下结论：·乙第1次追上甲时，乙比甲多跑1圈，乙比甲多跑的路程为S；·乙第n次追上甲时，乙比甲多跑n圈，乙比甲多跑的路程为nS。（3）两人由不同地点出发的环线追及和相遇如果两人由不同地点出发时，在计算工程中，从开始到第一次相遇（追及）要单独计算，相遇（追及）的距离就是两人的初始距离，此后的情况可按照上述环线追及和相遇的结论进行计算。2.解题技巧环线追及相遇型题目有的可以利用上述结论和追及相遇型题中的结论求解；有的可能需要利用特值法；有的可能需要比例的知识求解。3.真题举例【例1】（2014年真题）环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1米/秒、3米/秒和6米/秒，问小王第三次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？A.3B.4C.5D.6解析：由题目“环形跑道长400米”可知是环线追及相遇型。由结论可知“小王第三次超越老张时”，应该比老张多跑了3圈，即多跑了1200米，即小王和老张的路程差是1200米。由路程差=速度差×时间可得，小王第三次超越老张时所用的时间为1200/（3-1）=600秒。所以600秒时，小刘比小王多跑了600×（6-3）=1800米，所以多跑了1800/400=4.5圈，即超越了4.5次，所以取整即4次，所以正确答案为B项。【例2】（补充例题）甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑的快的人第一次追上另一人时跑了多少米？A.600B.800C.1000D.1200解析：由题目“甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步”可知是环线追及相遇型。由结论可知跑的快的第一次追上另一人时，跑的快的比跑的慢的多跑一圈，即400米，所以两者的路程差为400米。由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”可知，第一次相遇时其中一人跑了150米，另一人跑了250米，可假设跑得快的人速度为250米/分钟，跑得慢的人的速度为150米/分钟。所以综上可得跑的快的人第一次追上另一人时所用的时间为：400/（250-150）=4分钟，所以跑的快的人的路程为250×4=1000米，正确答案为C项。四、流水行船型1.基础知识在江河里航行时，除了船本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下，计算船只的航行速度、时间和所行的路程叫做流水行船问题。在流水行船问题中，船速是指船本身的速度，也就是船在静水中的速度。顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船受水流速度影响后的速度。流水行船问题的基本公式如下：2.解题技巧解决流水行船问题时一定要判断清楚四种不同的速度，即顺水速度、逆水速度、船速和水流速度，在此基础上有的题目代入公式即可求解；有的题目需要利用公式列出方程求解；有的题目需要利用比例知识和特值法求解。3.真题举例【例1】（补充例题）一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5。问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍（）A．2B．3C．4D．5解析：由题目条件可知明显是流程行船型题目。但题目中所有的量都未知，考虑使用特值法。设水速为1，则顺水速度为3，人工划船的速度=3-1=2。顺水时间︰逆水时间=1︰（1-2/5）=5︰3，则顺水速度︰逆水速度=3︰5。所以逆水速度为5，动力桨速度=5+1=6，所以船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的6/2=3倍。所以正确答案为B项。【例2】（补充例题）长江上游的A港与下游S港相距270千米，一轮船以恒定速度从A港到S港需6.75小时，返回需9小时。如果一只漂流瓶从A港顺水漂到S港，则需要的时间是（）小时。A.84B.50C.54D.81解析：有题目条件可知是流水行船型题目。上游到下游为顺水，反之为逆水。根据顺水公式可得：270=（+）×6.75；根据逆水公式可得：270=（-）×9。解方程可得船速为35千米/小时，水速为5千米/小时，所以，漂流瓶从A港顺水漂流到S港所需要的时间为270/5=54小时。正确答案为C项。第六节容斥问题容斥问题在行测中考查的频率不是很高，但是这类题目的规律性强且解题技巧相对固定，所以掌握起来难度并不大。容斥问题是条件之间有重叠和交叉的题目。比如：有的人喜欢音乐，有的人喜欢数学，而有的人既喜欢音乐又喜欢数学，这种情况下，如果将音乐和数学作为两个条件，它们之间就有重叠和交叉，即音乐和数学都喜欢的那部分人。容斥问题有两种常见的题型：两集合容斥型和三集合容斥型一、两集合容斥型1.基础知识集合是指满足某条件的对象汇总成的集体，比如某校有10个人喜欢音乐，这10个喜欢音乐的人就是一个集合。任何一个集合都可以用一个闭合的圆圈、方框等图形来表示，比如“喜欢音乐的人”就可以用一个闭合的圆圈来表示。两集合容斥型题目中一般会存在两个集合间有重叠和交叉的情况。比如，某学院有200人，其中喜欢音乐的有40人，喜欢数学的有25人，音乐和数学都喜欢的有10人。该例子通过图示更加容易看清楚和理解，图示如下。整个闭合的长方形代表总人数（200人）这个颜色的部分代表音乐和数学都不喜欢这种颜色的部分代表只喜欢音乐这种颜色的部分代表只喜欢数学黑色实线围成的闭合区域代表喜欢音乐（40人）虚线围成的闭合区域代表喜欢数学（25人）图中白色的部分代表音乐和数学都喜欢（10人）通过该图示我们发现有这样的规律，即学院总人数-不喜欢音乐、数学的人数=喜欢音乐的人数+喜欢数学的人数-音乐数学都喜欢的人数。这个规律也是两集合容斥型题目的重要结论。所以两集合容斥型题目有如下重要结论。满足条件A的个数+满足条件B的个数-同时满足条件A、B的个数=总数-同时不满足条件A、B的个数。满足条件A的个数+满足条件B的个数-同时满足条件A、B的个数=总数-同时不满足条件A、B的个数。2.解题技巧两集合容斥型题目有的可以直接代入结论中计算，有的可以通过画图求解，还有的可以通过特值法、方程法求解。3.真题举例【例1】（补充例题）某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的共有多少人？A.28B.26C.24D.22解析：由题目条件可知是两集合容斥型题目。根据公式有，参加数学的人数+参加物理的人数-同时参加物理、数学的人数=总人数-物理、数学都不参加的人数。所以代入题干数据，30+32-同时参加物理、数学的人数=60-20，所以可得同时参加物理、数学的人数为22人。所以正确答案为D项。【例2】（补充例题）工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2︰1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（）A．20%B．30%C．40%D．50%解析：由题目可知是两集合容斥型题目。但题目中没有具体的值，考虑使用特值法。设两天活动都参加的人数为1，那么只报名参加周日活动的人数为2，则报名参加周日活动人数为1+2=3，由“报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2︰1”可得报名参加周六活动的人数为3×2=6。作图如下整个闭合的长方形代表工厂总人数这个颜色的部分代表没有参加周六、周日活动的人数这个颜色的部分代表只参加周日活动的（2人）这个颜色的部分代表只参加周六活动的黑色实线围成的闭合区域代表参照周日活动的（3人）虚线围成的闭合区域代表参加周六活动的（6人）由图可得，只参加周六活动的人数为6-1=5。所以总人数=（5+1+2）/80%=10，所以未报名参加活动的人数为10-8=2，占只参加周六活动的人数的2/5=40%。所以正确答案为C项。二、三集合容斥型1.基础知识三集合容斥型题目是在二集合容斥型题目的基础上产生的。下面给出三集合容斥型的重要结论如下。满足条件满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-同时满足条件A、B的个数-同时满足条件A、C的个数-同时满足B、C的个数+同时满足条件A、B、C的个数=总数-同时不满足条件A、B、C的个数说明：之所以是“+同时满足条件A、B、C的个数”,是因为在减去“满足条件A、B的个数”、“满足条件A、C的个数”、“满足条件B、C的个数”的过程中“同时满足条件A、B、C的个数”被多减了两次。该结论得对应图示如：2.解题技巧三集合容斥型题目有的可以直接代入结论中计算，有的可以通过画图求解，还有的可以通过特值法、方程法求解。3.真题举例【例1】（2012年真题）某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位。结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（）。A.5人

B.6人

C.7人

D.8人解析：由题目条件可知是三集合容斥型题目。由于每人至多报考两个职位，因此，同时报考三个职位，即同时满足三个条件的人数为0。设同时报乙、丙职位的人数为x。根据三集合容斥型的结论，可得42=22+16+25-8-6-x+0,解得x=7。所以正确答案为C项。【例2】（补充例题）某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位。则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（）。A.10人B.11人C.12人D.13人解析：设只能胜任C岗位的人数为x个，则只能胜任B岗位的人数为2x。设能兼职的人数为y,根据题目画出图如下：图中所有阴影部分代表了能兼职的人数，即y。所以可以列出方程：2x+x+y+y+1=35；y+1=2x+x。解方程可得y=11，所以正确答案为B项。第七节排列组合问题排列组合问题在行测考试中出现的频率较低。排列组合是高中数学的知识，很多考生感觉很难，其实在行测考试中，甚至其它行测考试中排列组合考查的难度并不大，考生只要知道排列组合的基本概念和常用方法，解决此类题目还是比较容易的。排列组合问题有三类常见题型：基本型、经典型、条件限定型。一、基本型1.基础知识（1）加法原理与乘法原理加法原理：如果完成一件事情的方法可以划分成几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事情。当这种分类没有重复、没有遗漏时，完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和。举例说明：小王从家去公司，会选择乘坐公交车或开车，乘坐公交车有3条路线，开车有2条路线。则他从家到公司一共有3+2=5种路线。乘法原理：如果完成一件事需要分为几个步骤，每个步骤内的方法刚好能完成该步骤，所有步骤都做完才能刚好完成这件事情，则完成这件事情的方法总数等于每一个步骤的方法数之积。举例说明：小王家在天津，本月准备去秦皇岛出差，但公司要求必须先从天津到张家口，在张家口开完会后再到秦皇岛，从天津到张家口有2条路线，从张家口到秦皇岛有3条路线。所以从天津到秦皇岛分两步才能完成，所以共有2×3=6种路线。（2）排列排列指的是，从n个不同元素中任取m个按照顺序排成一列，排列种数记作；根据乘法原理，把整件事分成m步，挑第一个的时候有n种选择，挑第二个的时候有n-1种选择，以此类推。如果直接对n个不同元素进行排列，就是，这种情况称之为“全排列”。（3）组合组合指的是，从n个不同的元素中取出m个元素作为一组，组合种数记作。和排列不同，组合是不考虑取出的顺序的，只考虑取出的是什么。所以根据排列的计算方法，从n个不同元素中任取m个排成一列有种情况，每组有种排列，则组合数：。2.解题技巧基本型题目经常是利用加法原理和乘法原理先判断清楚事情是分类完成还是分步完成，然后根据排列和组合的计算公式计算即可。所以解题的关键是判断清楚如何分类或分步完成事情，排列和组合的计算公式只是工具而已。3.真题举例【例1】（补充例题）某宾馆有6个空房间，3间在一楼，3间在二楼。现有4名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼。问宾馆共有多少种安排方法？A.24B.36C.48D.72解析：题目要求都优先选择一楼，所以可以分两步安排，第一步先安排到一楼的三个房间，从4名客人中选择3个人住在一楼的3间房间=4×3×2=24种安排；第二步让剩下的一名客人住在二楼3个房间中的一个，有3种安排。因为是分步完成，所以利用乘法原理可得共有24×3=72种安排。所以正确答案为D项。【例2】（补充例题）某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙三个部门使用。已知每个部门都需要新电脑，且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有（）种。A.9B.12C.18D.27解析：要求每个部门最多得到5台，所以10台电脑分配方案为1、4、5；2、3、5；2、4、4；3、3、4四中情况。四种情况各自的分配方法有：、、、种。所以公共的分配方法有：+++=18种。所以正确答案为C项。二、经典型1.基础知识经典型包括三种题目：环线排列、同素分堆、错位重排。这类题目特征明显而且题目变化小，所以更容易掌握。（1）环线排列假设现有甲、乙、丙、丁四个人，要求四个人围成一个圆圈，请问有多少种不同的方法。这道题目就是一个环线排列。该问题图示如下：该图示给出了两种情况，但这两种情况其实是一种情况，所以为了解决这个问题我们可以假设四个人中的一个先不动，其它三个人来改变与不动的这个人的相对位置关系就可以保证排列出来的圆圈不同，即相当于3个人的位置的全排列。所以对于环线排列有如下结论。n个人围成一圈，任取一个人作为队首，则问题就转化成剩下的n-1个人的直线排列问题。所以若n个人围成一圈，则不同的排列方式的计算公式如下：围成一圈的方法数=（2）同素分堆假设有一串糖葫芦，糖葫芦上有7个相同的糖葫芦，分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，请问有多少种分的方案？这道题目就是一个典型的同素分堆。所以同素分堆题目明显的特征是要求将n个完全相同的元素分成m组，而且分成m组以后元素不能有剩余，并且还要求每组至少要有一个元素。同素分堆可以使用“插板”来解决。以上述糖葫芦的题目为例进行说明。该题的图示如下：由图可知，无论是第一种分法还是第二种分法都可以保证每人至少分一个，而做到每人至少分一个。具体做法是：首先需要找到7个串成一串的糖葫芦有多少个间隙，共有6个间隙。而要保证每人至少分一个则只需要在这6个间隙中任意插入两个隔板即可达到，所以在6个间隙中插入2个隔板的方法有种。所以每人至少分一个有15种不同的方法。所以对于同素分堆有以下重要结论。将n个完全相同的元素分成m组，而且分成m组以后元素不能有剩余，并且还要求每组至少要有一个元素使时，可以用（m-1）个“隔板”插入这n个元素之间形成的n-1个间隔中，从而将元素隔成m组，从而得到总方法数的计算公式如下：总的方法数=（3）错位重排错位重排是指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上。一般将n个元素错位重排的方法数记作，计算公式如下：要特别记住常考的几个数字：=0，=1，=2，=9，=44。2.解题技巧经典型题目一般直接利用其结论和公式进行求解即可，有个别题目可能需要进行简单的转化，使其成为经典型题目后在求解。3.真题举例【例1】（补充例题）5个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同的方法？A.120B.24C.60D.30解析：5个人围成一圈，典型的环形排列，直接代入公式计算方法数==24种，所以正确答案为B项。【例2】（补充例题）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？（）A.9B.12C.14D.16解析：重新停入后不得停在原来的车位中，典型的错位重排，直接代入公式=9。所以正确答案为A项。【例3】（补充例题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（）A.7B.9C.10D.12解析：题目符合将n个完全相同的元素分成m组，但不符合每组至少1个，所以先将题目进行适当转换，使题目完成符合同素分堆的条件。先给每个部门分8份学习材料，则剩余30-8×3=6份，此时就相当于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份，符合同素分堆的条件，代入公式可得发放方法数==10种。所以正确答案为C项。三、条件限定型1.基础知识条件限定型题目一般会对某个或某几个元素有特殊要求，比如5个人排成一排照相，因为其中两个人是夫妻，所以无论怎么排列，这两个人必须相邻。这类题目技巧性很强，即不同的限定条件有不同的解法，具体内容在解题技巧中说明。2.解题技巧（1）优先法对于有限制条件的元素（或位置）的排列组合问题，在解决问题时优先考虑这些有限制条件的元素或位置，再去解决其它元素或位置的一种解题技巧。【示例】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求数字1必须在首位或末尾的七位数的个数。解析：优先先排1，有种排法，再将剩下的数字全排列，有=720种排法，根据乘法原理，共有2×720=1440种排法，所以共有1440个满足条件的七位数。（2）捆绑法捆绑法是指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视为一个大元素与其它元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的技巧。【示例】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数。解析：因为三个偶数2、4、6必须相邻，所以先将2、4、6三个数字“捆绑”在一起，再将捆绑后的元素与1、3、5、7进行全排列，有=120种方法；再对“捆绑”在一起的元素进行排序，有=6种方法，根据乘法原理，共有6×120=720种不同的排法。（3）插空法插空法是指解决指定元素不相邻的问题时，先将其它元素排好，然后再将所指定的不相邻的元素插入排好的元素间的间隙或两端的位置，从而将问题解决的技巧。【示例】1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数。解析：因为三个偶数2、4、6互不相邻，先将1、3、5、7四个数字排好，有=24种不同的排法，再将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有=60种排法，根据乘法原理共有24×60=1440种不同的排法。（4）正难则反法正难则反法是指有些题目所给的特殊条件较多或者较复杂，直接考虑需要分许多类，讨论起来很麻烦，而它的对立面却往往只有一种或者两种情况，很好计算，此时我们只需要计算出总的情况数，再减去对立面的情况数就可得到题目要求得情况数的一种解题策略。【示例】由1-9组成一个3位数，3位数肯定有数字重复的组合有多少种？解析：3位数有数字重复的组合有两类情况：三个数字相同；只有两个数字相同。可是两个数字相同不太好计算。3位数有数字重复的组合数=无任何要求的组合数-无重复数字的组合数=9×9×9－9×8×7=225。3.真题举例【例1】（补充例题）四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排序顺序？（）A.24B.96C.384D.40420解析：每对情侣必须相邻，使用捆绑法。先将每对情侣捆绑看成一个整体进行排列，有=24种方法；然后对绑在一起的每对情侣进行排列，每对情侣有两种排列方式，所以四对情侣有2×2×2×2=16种排法，根据乘法原理，总共有24×16=384中排法，所以正确答案为C项。【例2】（补充例题）把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法（）A．36B．50C．100D．400解析：要求柏树不相邻，所以使用插空法。由“每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等”可知每边可种6棵松树和3棵柏树。先把松树分别栽到道路的两边，然后把柏树插空进去，共有×＝100（种）种植方法。所以正确答案为C项。第八节概率问题概率问题在行测中考查的频率较高。概率是一个在0到1之间的实数，是对目标事件发生的可能性的度量。比如抛一枚硬币，假设只抛一次，落地后假设我们关注正面朝上，那么正面朝上就是目标事件，这个目标事件出现的概率是0.5，所以0.5是对目标事件发生的可能性的度量，如果比0.5大一些，即代表目标事件出现的可能性更大；如果比0.5小一些即代表目标事件出现的可能性更小。概率问题是比较简单的一种题型，但很多考生感觉非常难，这是因为考试中概率问题常常和排列组合问题结合考查，而很多考生没有了解或者学习过排列组合。所以只要考生掌握好排列组合问题，理解清楚概率问题中的一些概念、原理和公式，解决概率问题其实难度并不大。概率问题有三种常见题型：古典概率、分类分步事件概率、独立重复试验。一、古典概率1.基础知识古典概率又叫事前概率。古典概率中所有可能发生的结果及其出现次数都可推算得到。古典概率中目标事件发生的概率的计算公式如下：目标事件发生的概率=目标事件的情况数÷所有情况的总数2.解题技巧（1）枚举枚举是指将目标事件的情况数和所有情况的总数一一数出来。然后代入概率公式计算。【示例】某人将10盒蔬菜的标签全部撕掉了。现在每一个盒子看上去都一样，但是她知道有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆，她随机地拿出一盒打开它。求盒子里是玉米的概率是多少？解析：通过题目可以数出，盒子里是玉米这个目标事件的情况数有3个，而所有情况的总数为10个，代入公式可得概率为。（2）与排列组合结合如果目标事件的情况数和所有情况的总数不能通过一个一个数得出，那么就可以考虑使用排列组合的知识计算得出，然后代入概率公式计算。【示例】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，把第一张卡片上的数字作为十位数，第二张卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数，则组成的数是偶数的概率是多少？A.1/5B.3/10C.2/5D.1/2解析：组成的数是偶数，则个位数必须是2或4，则个位数有种，而十位数则可以是1、2、3、4、5种的任意一个，有种，所以偶数有×种，即目标事件的情况数为×。而组合出来的十位数共有种，即所有情况的总数为。所以组成的数字是偶数的概率为×÷=2/5。正确答案为C项。（3）从反面情况计算在有些古典概率题目中，有时会出现“至少”的要求。要解决这类问题可以通过反面来求解，即：目标事件出现的概率=1-目标事件的反面情况出现的概率3.真题举例【例1】（补充例题）盒子里有红、黄、蓝三种颜色的大小相等的球，其中，红球有7个，黄球有5个。从盒子中任意拿出一个球，拿到黄球的可能性为1/3。问拿到绿球的可能性是多少？（）A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6解析：题目是典型的古典概率。由“拿到黄球的可能性为1/3”，结合古典概率计算公式可知，盒子的球共有5÷1/3=15个，则绿球有15-5-7=3个，所以拿出一个球是绿球的可能性为3/15=1/5。所以正确答案为C项。【例2】（补充例题）某单位原有几十名职员，其中有14名女性。当两名女职员调出该单位后，女职员的比重下降了3个百分点。现在该单位需要随机选派两名职员参加培训，问选派的两人都是女职员的概率在以下哪个范围内（）A．小于1%B．1%-4%C．4%-7%D．7%-10%解析：设单位原有总人数为x，根据题目条件可得。而则有，解得。因为单位原有几十名员工，所以不妨对x进行取值验证。当x=60时，，不满足。当x=50时，