人教版七年级数学下册举一反三专题11.7期末复习之解答压轴题十大题型总结(学生版+解析)(七年级下册)

专题11.7期末复习之解答压轴题十大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相交线中的旋转问题】 1【题型2平行线中的定值问题】 3【题型3平行线中探究角度之间的关系】 5【题型4估算无理数的大小】 6【题型5实数的应用】 7【题型6平面直角坐标系中的面积问题】 9【题型7二元一次方程组与不等式组的综合】 11【题型8新定义问题】 11【题型9阅读理解问题】 13【题型10规律探究问题】 15【题型1相交线中的旋转问题】【例1】（2024七年级·内蒙古赤峰·期末）点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设∠AOC=α（0°≤α≤180°），射线OD⊥OC，作射线OE平分∠BOD．(1)如图1，若α=40°，且OD在直线AB的上方，求∠DOE的度数（要求写出简单的几何推理过程）．(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含α的代数式表示∠DOE的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现∠DOE与∠AOC（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°）之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示【变式1-1】（2024七年级·浙江绍兴·期末）张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，MN是量角器的直径，点O是圆心，教鞭OC与OM重合，直角三角板的一个顶点放在点O处，一边OB与ON重合，∠AOB=30°．如图②，现将教鞭OC绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时将直角三角板绕点O逆时针方向以每秒2°的速度旋转，当OC与ON重合时，三角板和教鞭OC同时停止运动．设旋转时间为t秒．(1)在旋转过程中，求∠AON的度数（用含t的代数式表示）．(2)在旋转过程中，当t为何值时，OA⊥MN．(3)在旋转过程中，若射线OC，OA，OB中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时t的值．【变式1-2】（2024七年级·陕西西安·期末）问题提出已知一副直角三角尺按如图1方式拼接在一起，其中OC与直线MN重合，∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°．（1）在图1中，∠BOD的度数为______．问题探究（2）如图1，三角尺COD固定不动，将三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的上方．设三角尺AOB的旋转时间为t秒，当OB平分∠AOD时，请求出t的值．问题解决（3）如图1，若三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转．设三角尺AOB的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻∠AOD=2∠BOC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2024七年级·浙江金华·期末）如图1，点O在直线AB上，∠AOC=30°，将一个含有60°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边OM在射线OB上，较短的直角边ON在直线AB的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒12°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．（1）图1中与∠BOC互补的角有．（2）当ON⊥OC，求旋转的时间t．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒3x度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒x度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠AOE这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时∠COM的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是：．

【题型2平行线中的定值问题】【例2】（2024七年级·福建泉州·期末）如图，AB∥CD，点E在直线AB和CD之间，且在直线BD的左侧，∠ABE=1(1)如图1，求∠BED的度数（用含α的式子表示）；(2)连接BD，过点E作EF∥BD，交AB于点F，动点G在射线BE上，①如图2，若k=5，DG平分∠BDE，判断DG与BE的位置关系并说明理由．②连接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于点G，是否存在常数k，使∠FDG【变式2-1】（2024七年级·福建漳州·期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、

(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)在（1）的条件下，已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H，求∠MHN的度数．(3)如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，证明：∠MTN−∠P为定值．【变式2-2】（2024七年级·湖北武汉·期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1−∠2=16°，求∠ADC的度数；②当k=________时，k∠1+∠2为定值，此时定值为________．【变式2-3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN+∠CPD【题型3平行线中探究角度之间的关系】【例3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图1，AB∥CD，G为(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：(2)如图2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点(3)如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与【变式3-1】（2024七年级·湖南株洲·期末）已知：MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，点

(1)如图1，若∠MAC=45°，∠PBC=43°，求(2)如图2，AD，BD，AE，(3)在（2）的条件下，如图3，过点D作DA的垂线交PQ于点G，点F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，FD的延长线交EA的延长线于点H，若3∠C=4∠E，猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明．【变式3-2】（2024七年级·广东广州·期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【变式3-3】（2024七年级·浙江·期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．【题型4估算无理数的大小】【例4】（2024七年级·吉林长春·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵23<72<3请解答（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。（2）如果5的小数部分为a，41的整数部分为b，求a+b−5（3）已知x是3+5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x−y【变式4-1】（2024七年级·福建莆田·期末）阅读下面的文字,解答问题:大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,而1＜2＜2于是可用2−1来表示(1)21的整数部分是_______，小数部分是_________；(2)如果7的小数部分为a，15的整数部分为b，求a+b−(3)已知:100+110=x+y，其中x是整数,且0＜y＜1，求【变式4-2】（2024七年级·浙江杭州·期末）确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如11，因为9<11<16，所以9<11<16，即3<11<4．故11的整数部分是3，小数部分是11−3．又例如50，因为49<50<64，所以49（1）确定10的整数部分和小数部分；（2）若9+13的小数部分为a，9−13的小数部分为b，求【变式4-3】（2024七年级·山西·期末）阅读理解，回答问题.我们都知道3是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把3的小数部分全部写出来，于是小磊用3−1表示3（1）5的小数部分是；（2）已知m是正整数，m是一个无理数，且m−3表示m①m的取值范围是；②当m是5的倍数时，求m−14+2m【题型5实数的应用】【例5】（2024七年级·河南周口·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2πlg，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（π取3，(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？【变式5-1】（2024七年级·全国·课后作业）用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P=U2R．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为18.4Ω，乙的电阻为20.8Ω【变式5-2】（2024七年级·北京·期末）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2由面积公式，可得x2+______因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【变式5-3】（2024七年级·安徽蚌埠·期末）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．【题型6平面直角坐标系中的面积问题】【例6】（2024七年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A−4,2，B4,0，将线段OA平移后得到线段CD，点C在y轴上，连接BD、AD，AD交y轴于点M，

(1)直接写出点C、点D的坐标；(2)点N为线段AM上一点，点N的横坐标为t，连接ON、NC，用含t的式子表示三角形CON的面积（不要求写出t取值范围）；(3)在（2）的条件下，线段CD与线段EF重合（点C与点E重合，点D与点F重合），将线段EF沿y轴向下平移，连接AE、DE、BE、BF、BD，当三角形ADE的面积比三角形BEF的面积大2时，DF=MN，求点N的坐标．【变式6-1】（2024七年级·广东汕头·期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为a，0，点C的坐标为0，b，且a，b满足a−4+

(1)点B的坐标为，当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；(2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；(3)在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．【变式6-2】（2024七年级·云南保山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,0，其中a，b满足(1)填空：a＝______，b＝______；(2)如果在第三象限内有一点M−4,n，请用含n的式子表示三角形ABM(3)在（2）的条件下，当n=−4时，线段MB与y轴的交点坐标C0,−2，在y轴上有一点P，使得三角形BMP的面积与三角形ABM的面积相等，请求出点P【变式6-3】（2024七年级·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(0，a)，B(b，0)，且a、b满足|2a−b−6|+a+2b−13=0，点C在x轴的负半轴上，连接AB、(1)如图1，若△AOC的面积是△AOB面积的34倍，求点C(2)如图2，在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与△ABP的面积分别记为S1、S2，若存在时间t(0≤t≤5)使S1＝4S2，直接写出【题型7二元一次方程组与不等式组的综合】【例7】（2024七年级·福建厦门·期末）已知在方程组3x+2y=m+22x+y=m−1中，x、y(1)求出x、y的值（用含m代数式表示）；(2)求出m的取值范围；(3)当m为何正整数时，求：s=2x−3y+m的最大值？【变式7-1】（2024七年级·重庆开州·期末）若一个两位数M的十位数字为a，个位数字为b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，规定s=a+b，t=2a−b，Fm=s+t(1)求F23和F(2)若一个两位数P满足个位数字比十位数字大2，另一个两位数Q满足个位数字比十位数字的2倍少1，规定K=FP−3FQ，当【变式7-2】（2024七年级·福建福州·期末）若点P(x,y)的坐标满足x+y=2a−b−5x−y=b−5(1)若点P的坐标为(−2,−1)，求a，b的值；(2)若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有五个，求b的取值范围；(3)若点P为不在x轴上的点，且关于z的不等式yz+3x+15>0的解集为z<35，求关于t的不等式【变式7-3】（2024七年级·湖北宜昌·期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：购买保温杯的数量/个购买台灯的数量/个购买总费用/元第一次购买54800第二次购买37940第三次购买98912(1)求保温杯、台灯的标价；(2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？【题型8新定义问题】【例8】（2024七年级·湖南长沙·期末）新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]=1，[2]=2，[−3.5]=−4，试解决下列问题：(1)填空：①[π]=________(π为圆周率），②如果[x−2]=3，则实数x的取值范围________；(2)若点P(x,y)位于第一象限，其中x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a(3)若f(k)=[k+14]−[k4①f（1）=0；

②f(k+4)=f(k)；

③f(k+1)⩾f(k)；

④f(k)=0或1．正确的有________（填序号）．【变式8-1】（2024七年级·江西赣州·期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．

(1)已知点A的坐标为−3,1．①则点A的“长距”是．②在点E0,3，F3,−3，G2,−5③若点B的坐标为B2,m+6，且A，B两点为“等距点”，则m(2)若T1−1,−k−3，T2【变式8-2】（2024七年级·广东广州·期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；（2）已知关于x，y的方程组T1，−1=3−aT0，2=8a，若a（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．【变式8-3】（2024七年级·江苏扬州·期末）对x、y定义了一种新运算T，规定Tx,y=ax+by2x+y（其中a，已知T1,−1=−2，（1）求a，b的值；（2）求T−2,2（3）若关于m的不等式组T2m,5−4m≤4T【题型9阅读理解问题】【例9】（2024七年级·山东日照·期末）（1）阅读下面材料：已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：过点E作EF∥则有∠AEF+∠A=180°（______）．∵AB∥∴EF∥∴∠FEC+∠C=180°（______）．∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC∴∠AEC+∠A+∠C=360°．假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若AB∥CD，E为AB，CD（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【变式9-1】（2024七年级·重庆九龙坡·期末）阅读材料：已知关于x，y的二元一次方程mx+ny=c有一组整数解x=x0y=y0，则方程mx+ny=c的全部整数解可表示为x=小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为x0=6y0=9因为6−19t>09+7t>0，解得因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为x=6y=9和x=25通过你所知晓的知识，请解决以下问题：(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：x=2+5ty=θ+3t（t(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组2x+3y=24ax+by=24【变式9-2】（2024七年级·重庆·期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①∵31000=10，3∴10<359319<100②∵59319的个位数是9，又∵93=729③如果划去59319后面的三位319得到数59，而327<359<(1)现在换一个数13824，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是位数；②它的立方根的个位数是；③它的立方根的十位数是；④13824的立方根是．(2)根据计算步骤，请计算3195112【变式9-3】（2024七年级·福建厦门·期末）阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3(2)1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}{c，d}{ac，bd}．解决问题：（1）计算：3,1+（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

【题型10规律探究问题】【例10】（2024七年级·浙江杭州·期末）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1）2≈1.414，200≈14.14，0.03≈0.1732，3≈1.732，由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知15≈3.873，1.5≈1.225，则150≈（3）31=1，31000小数点的变化规律是_______________________．（4）已知310≈2.154，3y【变式10-1】（2024七年级·浙江·期末）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从P1a,b出发，先爬到P2−b+2,a−2，再下一步爬到P3−a−2（1）若P3−5,3则P1（2）分别取P1坐标0,0（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标Pn−5,3，请你写出第1步（4）进一步思考：若点P1a,b那么点Pn有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a【变式10-2】（2024七年级·江西抚州·期末）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．探究规律：（1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式，①a1+a2+a3请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______；应用规律根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题：（2）如图3，若2a8−a6【变式10-3】（2024七年级·四川宜宾·期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB，CD上，P为直线AB和CD之间的一个动点，且满足(1)如图1，∠EPF、∠AEP、∠PFC之间的数量关系为．(2)如图2，∠EPF、∠AEP、∠PFC之间的数量关系为．(3)如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，点P在EF左侧，点Q在EF右侧．①若∠EPF=60°，求∠EQF的度数．②猜想规律：∠EPF与∠EQF的数量关系可表示为．③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2专题11.7期末复习之解答压轴题十大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相交线中的旋转问题】 1【题型2平行线中的定值问题】 11【题型3平行线中探究角度之间的关系】 23【题型4估算无理数的大小】 32【题型5实数的应用】 36【题型6平面直角坐标系中的面积问题】 39【题型7二元一次方程组与不等式组的综合】 49【题型8新定义问题】 54【题型9阅读理解问题】 59【题型10规律探究问题】 66【题型1相交线中的旋转问题】【例1】（2024七年级·内蒙古赤峰·期末）点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设∠AOC=α（0°≤α≤180°），射线OD⊥OC，作射线OE平分∠BOD．(1)如图1，若α=40°，且OD在直线AB的上方，求∠DOE的度数（要求写出简单的几何推理过程）．(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含α的代数式表示∠DOE的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现∠DOE与∠AOC（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°）之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示【答案】(1)∠DOE=25°(2)∠DOE=(3)∠DOE=45°−12∠AOC即∠DOE=45°−12α或∠DOE=45°+12∠AOC即【分析】（1）根据α=40°，∠COD=90°，求出∠BOD=50°，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；（2）先用α表示出∠BOC，再根据∠COD=90°表示出∠BOD，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；（3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE与∠AOC的关系，用含α的代数式表示∠DOE的度数即可．【优尖升-详解】（1）解：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵α=40°，即∠AOC=40°，∴∠BOD=180°−∠COD−∠AOC=50°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（2）∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°−α，∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−=α−90°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（3）①当0°≤∠AOC≤90°，OD在直线AB的上方时，如图所示：∠BOD=180°−∠COD−∠AOC=180°−90°−∠AOC=90°−∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°−1②当0°≤∠AOC≤90°，OD在直线AB的下方时，如图所示：∵∠AOD=∠COD−∠AOC=90°−∠AOC，∴∠BOD=180°−∠AOD=90°+∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°+1③当90°＜∠AOC≤180°，OD在直线∵∠BOC=180°−∠AOC，∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=90°+180°−∠AOC=270°−∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=135°−1④当90°＜∠AOC≤180°，OD在直线∵∠BOC=180°−∠AOC，∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−=∠AOC−90°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=1综上分析可知，∠DOE=45°−12∠AOC即∠DOE=45°−12α或∠DOE=45°+12∠AOC即∠DOE=45°+【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据α的大小和OD的位置分类讨论，是解决本题的关键．【变式1-1】（2024七年级·浙江绍兴·期末）张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，MN是量角器的直径，点O是圆心，教鞭OC与OM重合，直角三角板的一个顶点放在点O处，一边OB与ON重合，∠AOB=30°．如图②，现将教鞭OC绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时将直角三角板绕点O逆时针方向以每秒2°的速度旋转，当OC与ON重合时，三角板和教鞭OC同时停止运动．设旋转时间为t秒．(1)在旋转过程中，求∠AON的度数（用含t的代数式表示）．(2)在旋转过程中，当t为何值时，OA⊥MN．(3)在旋转过程中，若射线OC，OA，OB中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时t的值．【答案】(1)30°+2°t或30+2t度或30°+(2)当t=30秒时，OA⊥MN(3)当t=24秒或33秒或42秒时，射线OC，OA，OB中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分【分析】（1）根据题意，可得∠AON=∠AOB+∠BON，据此列出代数式即可求解；（2）当OA⊥MN时，∠AON=90°，根据题意列出方程，解方程即可求解．（3）分3种情况：①如图3，当OA平分∠COB时，∠COA=∠AOB=30°．②如图4，当OC平分∠AOB时，∠AOC=∠COB=12∠AOB=15°．③如图5，当OB平分∠AOC【优尖升-详解】（1）解：如图1，∵∠AOB=30°，∠BON=2t∴∠AON=∠AOB+∠BON=30+2t；（2）如图2，∵当OA⊥MN时，∠AON=90°，∴∠AON=30°+2t解得：t=30（秒）．∴当t=30秒时，OA⊥MN；（3）分3种情况：①如图3，当OA平分∠COB时，∠COA=∠AOB=30°．∴∠COM+∠BON=180°−∠COB，3t+2t=180−60解得：t=24（秒）．②如图4，当OC平分∠AOB时，∠AOC=∠COB=1∴∠COM+∠BON=180°−∠COB，即3t+2t=180−15解得：t=33（秒）．③如图5，当OB平分∠AOC时，∠AOB=∠COB=30°．∴∠COM+∠BON−∠COB=180°．3t+2t−30=180解得：t=42（秒）∴综上所述，当t=24秒或33秒或42秒时，射线OC，OA，OB中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次不等式的应用，列代数式，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式1-2】（2024七年级·陕西西安·期末）问题提出已知一副直角三角尺按如图1方式拼接在一起，其中OC与直线MN重合，∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°．（1）在图1中，∠BOD的度数为______．问题探究（2）如图1，三角尺COD固定不动，将三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的上方．设三角尺AOB的旋转时间为t秒，当OB平分∠AOD时，请求出t的值．问题解决（3）如图1，若三角尺AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转．设三角尺AOB的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻∠AOD=2∠BOC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）75°；（2）152秒；（3）28秒或22【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．（1）根据邻补角的定义求解即可；根据t=10算出旋转的度数，从而得到∠AOD（2）先求出旋转角，再除以转动速度即可；（3）分当OB在OC左侧和当OB在OC右侧两种情形，结合图形分别求解．【优尖升-详解】解：（1）∵∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°，∴∠BOD=180°−故答案为：75°；（2）当边OB平分∠AOD时，∵∠AOB=45°∴∠AOB=∴旋转角为：75°−45°=30°，∴t=30÷4=15（3）存在，理由是：在旋转过程中，∠AOD=180°−30°−30°−4+1当OB在OC左侧时，∵∠BOC=180°−30°−45°−（∴120°−5°t=2105°−5°t解得：t=18；当OB在OC右侧时，∴∠AOD=120°−5°t,∠BOC=5°t−105°,∵∠AOD=2∠BOC,∴120°−5°t=2(5°t−105°),∴t=22,综上：t的值为18秒或22秒．【变式1-3】（2024七年级·浙江金华·期末）如图1，点O在直线AB上，∠AOC=30°，将一个含有60°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边OM在射线OB上，较短的直角边ON在直线AB的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒12°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．（1）图1中与∠BOC互补的角有．（2）当ON⊥OC，求旋转的时间t．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒3x度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒x度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠AOE这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时∠COM的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是：．

【答案】【操作一】（1）∠AOC，∠OMN；（2）12.5秒或27.5秒；【操作二】存在，607°，24°，12°，【分析】操作一：（1）利用补角的定义解答即可；（2）根据垂直的定义建立方程求解即可；操作二：分三种情况：①0°≤α≤30°；②30°≤α≤50°；③50°≤α≤120°，分别建立方程求解即可．【优尖升-详解】（1）解：∵∠AOC=30°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠BOC=150°，由题意可知∠OMN=30°，∴∠BOC+∠OMN=180°，∴图1中与∠BOC互补的角为∠AOC和∠OMN．故答案为：∠AOC和∠OMN；（2）解：∵将图1中的三角尺绕着点O以每秒12°的速度按顺时针方向旋转t秒，∴三角尺旋转角度为12t度，若ON⊥OC，则ON需顺时针旋转150°或330°，∴12t=150或12t=330，解得：t=12.5或t=27.5，答：旋转的时间t=12.5秒或t=27.5秒．【操作二】存在．∵OM的旋转速度是OE旋转速度的3倍，∴∠BOM=3∠COE，设∠COE=α，则∠BOM=3α，∵0°≤3α≤360°，∴0°≤α≤120°，分三种情况讨论，①当0°≤α≤30°时，∠AOE=30°−α，若∠AOE=2∠COM，则30°−α=2150°−3α∴α=54°，不符合题意，舍去，若∠COM=2∠AOE，则150°−3α=230°−α∴α=90°，不符合题意，舍去，②当30°≤α≤50°时，∠AOE=α−30°，∠COM=150°−3α，若∠AOE=2∠COM，则α−30°=2150°−3α∴α=330则∠COM=150°−3α=60若∠COM=2∠AOE，则150°−3α=2α−30°∴α=42°，则∠COM=150°−3α=24°，③当50°≤α≤120°时，∠AOE=α−30°，∠COM=3α−150°，若∠AOE=2∠COM，α−30°=23α−150°∴α=54°，则∠COM=3α−150°=12°，若∠COM=2∠AOE，则3α−150°=2α−30°∴α=90°，则∠COM=3α−150°=120°，故答案为：607°，24°，12°，【点睛】本题考查了补角、垂直等定义，一元一次方程的应用，角的和差，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．【题型2平行线中的定值问题】【例2】（2024七年级·福建泉州·期末）如图，AB∥CD，点E在直线AB和CD之间，且在直线BD的左侧，∠ABE=1(1)如图1，求∠BED的度数（用含α的式子表示）；(2)连接BD，过点E作EF∥BD，交AB于点F，动点G在射线BE上，①如图2，若k=5，DG平分∠BDE，判断DG与BE的位置关系并说明理由．②连接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于点G，是否存在常数k，使∠FDG【答案】(1)5α(2)①DG⊥BE，理由见解析；②存在k=12使得【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）如图所示，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得到∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，则∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）①由平行线的性质得到∠DBE=∠BEF=kα=5α，则∠ABD=6α，则∠BDC=180°−6α，进而得到∠BDE=180°−10α，由角平分线的定义得到∠BDG=90°−5α，则∠DGB=180°−∠BDG−∠DBG=90°，即可得到DG⊥BE；②分当DF在DG左侧时，当DF在DG右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到∠BDF=∠DFE，∠DBE=∠BEF=kα，进而得到∠BDG=90°−kα，再由∠ABD=k+1α，得到∠DFB+∠BDF=180°−k+1【优尖升-详解】（1）解：如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，∴∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）解：①DG⊥BE，理由如下：∵EF∥∴∠DBE=∠BEF=kα=5α，∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=6α，∵AB∥CD，∴∠BDC=180°−∠ABD=180°−6α，∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=180°−10α，∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=1∴∠DGB=180°−∠BDG−∠DBG=90°，∴DG⊥BE；②如图所示，当DF在DG左侧时，∵EF∥BD，∴∠BDF=∠DFE，∵DG⊥BE，∴∠DGB=90°，∴∠BDG=180°−∠DGB−∠DBE=90°−kα，∵∠ABD=∠ABE+∠DBE=k+1∴∠DFB+∠BDF=180°−∠DBF=180°−k+1∵∠DFE=1∴∠DFB=2∠DFE=2∠BDF，∴2∠BDF+∠BDF=180°−∠DBF=180°−k+1∴∠BDF=180°−∴∠FDG=∠BDF−∠BDG===kα−=2kα−α∴此时不存在常数k使得∠FDG为定值，如图所示，当DF在DG右侧时，同理可得∠FDG=∠BDG−∠BDF=30°−α−2kα∴当1−2k=0，即k=12时，综上所述，存在k=12使得【变式2-1】（2024七年级·福建漳州·期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、

(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)在（1）的条件下，已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H，求∠MHN的度数．(3)如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，证明：∠MTN−∠P为定值．【答案】(1)90°(2)135°(3)见解析【分析】（1）过点G作GE∥（2）分别过点G和H作GE∥AB，FH∥（3）根据角平分线的定义求出∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∠3=∠4，设∠3=∠4=x°，求出∠MTN=220°−x°，∠P=100°−x°，相减即可证明．【优尖升-详解】（1）解：如图所示，过点G作GE∥

∵AB∥CD∴AB∥∴∠AMG=∠1，∠CNG=∠2，∵GM⊥GN，∴∠MGN=90°，∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°．（2）如图所示，过点H作HF∥

∵∠AMG+∠CNG=90°，∠AMG+∠BMG=180°，∠CNG+∠GND=180°，∴∠BMG+∠GND=360°−90°=270°∵MH平分∠BMG，NH平分∠GND，∴∠3+∠6=∵AB∥∴AB∥∴∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°；（3）如图所示，将MP与CD的交点记作K，

∵MT平分∠BMP，且∠BMT=40°，∴∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∵NC平分∠TNP，∴∠3=∠4，设∠3=∠4=x°，∴∠TND=180°−x°，由（1）同理可得，∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°，∵AB∥∴∠NKP=80°，∴在△KPN中，∠P=180°−80°−x°=100°−x°，∴∠MTN−∠P=120°，即∠MTN−∠P为定值．【点睛】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．【变式2-2】（2024七年级·湖北武汉·期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1−∠2=16°，求∠ADC的度数；②当k=________时，k∠1+∠2为定值，此时定值为________．【答案】(1)证明见解析(2)①36°；②2；140°【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；（2）①设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；②利用①中的方法，设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的a的系数为0即可求得结论．【优尖升-详解】（1）证明：如图，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）设∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°−a，∠2=20°+2a，①∵∠1−∠2=16°，∴60°−a−20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值为140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k−ka+20°+2a=当k=2时，k∠1+∠2=140°，∴当k=2时，k∠1+∠2为定值，此时定值为140°．故答案为：2；140°．【点睛】本题考查平行线的性质．利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．【变式2-3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN+∠CPD【答案】（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB,从而可得答案；②当BD//PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当PA//BD时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//DP时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当（2）分两种情况讨论：当PD在MN上方时，当PD在MN下方时，①分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，从而可得∠CPD∠BPN的值；②分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一个含t【优尖升-详解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；②如图1﹣1，当BD∥PC时，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；如图1﹣2，当PC∥BD时，∵PC//BD,∠∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为21秒，如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为9秒，如图1﹣4，当PA∥BD时，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为27秒，如图1﹣5，当AC∥DP时，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为6秒，如图1﹣6，当AC//∵AC//DP，∴∠DPA=∠PAC=90°，∠DPN+∠DPA=180°−30°+90°=240°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为24秒，如图1﹣7，当AC∥BD时，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴点A在MN上，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为18秒，当AC//BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；（2）如图，当PD在MN上方时，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．当PD在MN下方时，如图，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t−30°,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°−∠CPA−∠APN−∠DPB−∠BPN=360°−60°−3t−30°−(180°−2t)=90°−t∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．综上：①正确，②错误．【点睛】本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．【题型3平行线中探究角度之间的关系】【例3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图1，AB∥CD，G为(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：(2)如图2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点(3)如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与【答案】(1)证明见解析；(2)∠EMF+∠ENF=108°，理由见解析；(3)∠FGQ=1【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180°，再利用角平分线的定义可求解∠FEG+∠GFE=90°，进而证明结论；（2）分别过M,N作MG∥AB，NH∥AB，根据平行线的性质可得（3）根据垂线的定义可求得∠FGQ=90°−∠GFQ，再根据角平分线的定义可求解∠FGQ=1本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．【优尖升-详解】（1）∵AB∥∴∠AEF+∠CFE=180°，∵GE平分∠AEF,GF平分∠EFC，∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF∴∠FEG+∠GFE=90°，即EG⊥FG；（2）如图，分别过M,N作MG∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEM=∠EMG，∠GMF=∠MFC，∠AEN=∠ENH，∠HNF=∠NFC，∴∠EMF=∠AEM+∠MFC，∠ENF=∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF=∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF=∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，∴∠AEM=12∠AEN∴∠EMF+∠ENF=∵∠AEP=2∴∠MFC+∠AEN=2∠EMF+∠ENF=（3）∠FGQ=1∵AB∥∴∠EHF+∠CFH=180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ=90°−∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE=12∠EFH∴∠GFQ=1∴∠FGQ=90°−90°−【变式3-1】（2024七年级·湖南株洲·期末）已知：MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，点

(1)如图1，若∠MAC=45°，∠PBC=43°，求(2)如图2，AD，BD，AE，(3)在（2）的条件下，如图3，过点D作DA的垂线交PQ于点G，点F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，FD的延长线交EA的延长线于点H，若3∠C=4∠E，猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明．【答案】(1)88°(2)见解析(3)∠H=3∠GDB，理由见解析【分析】（1）过C作EF∥MN，根据平行线的性质以及角的和差关系进行推导即可；（2）利用AD，BD，AE，BE分别为（3）根据角之间的关系求出∠GDB=18°，∠H=54°，即可得出结论．【优尖升-详解】（1）证明：如图1，过C作EF∥MN，，∵MN∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠ACF=∠MAC=45°，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC=88°，即∠ACB=∠ACF+∠BCF=88°；（2）解：如图2，

，∵AD，AE分别为∴∠MAD=1∴∠MAD+∠NAE=1同理可得：∠PBD+∠QBE=90°，由（1）得：∠D=∠MAD+∠PBD，∠E=∠NAE+∠QBE，∴∠D+∠E=∠MAD+∠PBD+∠NAE+∠QBE=180°；（3）解：猜想：∠H=3∠GDB，理由如下：如图3，

，由（1）可知：∠C=∠MAC+∠PBC=2∠MAD+∠PBD∵3∠C=4∠E，∴6∠ADB=4∠E，∴3∠ADB=2∠E，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∵DG⊥DA，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB=∠FDB+∠ADB，∴∠FDB=∠ADB，∴∠HDA=36°，∵DA⊥AE，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，以及角平分线的性质是解题的关键．【变式3-2】（2024七年级·广东广州·期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）m【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【优尖升-详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n−1nx+n−1ny=【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2024七年级·浙江·期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【优尖升-详解】解：（1）如图，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如图，作CP//a，则CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．【题型4估算无理数的大小】【例4】（2024七年级·吉林长春·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵23<72<3请解答（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。（2）如果5的小数部分为a，41的整数部分为b，求a+b−5（3）已知x是3+5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x−y【答案】（1）3；11﹣3；（2）4；（3）x﹣y=7﹣5．【分析】（1）由3＜11＜4可得答案；（2）由2＜5＜3知a=5﹣2，由6＜41＜7知b=6，据此求解可得；（3）由2＜5＜3知5＜3+5＜6，据此得出x、y的值代入计算可得．【优尖升-详解】（1）∵3＜11＜4，∴11的整数部分是3，小数部分是11﹣3；故答案为3；11﹣3．（2）∵2＜5＜3，∴a=5﹣2，∵6＜41＜7，∴b=6，∴a+b﹣5=5﹣2+6﹣5=4．（3）∵2＜5＜3，∴5＜3+5＜6，∴3+5的整数部分为x=5，小数部分为y=3+5﹣5=5﹣2．则x﹣y=5﹣（5﹣2）=5﹣5+2=7﹣5．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．【变式4-1】（2024七年级·福建莆田·期末）阅读下面的文字,解答问题:大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,而1＜2＜2于是可用2−1来表示(1)21的整数部分是_______，小数部分是_________；(2)如果7的小数部分为a，15的整数部分为b，求a+b−(3)已知:100+110=x+y，其中x是整数,且0＜y＜1，求【答案】(1)4，21-4；(2)1;(2)±12．【分析】（1）先估算出21的范围，即可得出答案；（2）先估算出7、15的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出110的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【优尖升-详解】解：（1）∵4＜21＜5，∴21的整数部分是4，小数部分是21-4，故答案为4，21-4；（2）∵2＜7＜3，∴a=7-2，∵3＜15＜4，∴b=3，∴a+b-7=7-2+3-7=1；（3）∵100＜110＜121，∴10＜110＜11，∴110＜100+110＜111，∵100+110=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x=110，y=100+110-110=110-10，∴x+110+24-y=110+110+24-110+10=144，x+110+24-y的平方根是±12．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出21、7、15、110的范围是解此题的关键．【变式4-2】（2024七年级·浙江杭州·期末）确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如11，因为9<11<16，所以9<11<16，即3<11<4．故11的整数部分是3，小数部分是11−3．又例如50，因为49<50<64，所以49（1）确定10的整数部分和小数部分；（2）若9+13的小数部分为a，9−13的小数部分为b，求【答案】（1）整数部分是3，小数部分是10−3【分析】（1）仿照题例，可直接求出10的整数部分和小数部分；（2）根据题例，先确定a、b，再计算4(a+b)+8即可．【优尖升-详解】解：（1）∵9<10<16，∴9<10<故10的整数部分是3，小数部分是10−3（2）∵9<13<16，∴9<13<同理：−4<−13∴9+13的小数部分为a=139−13的小数部分为b=4−∴4(a+b)+8=4×（13−3+4−【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键．【变式4-3】（2024七年级·山西·期末）阅读理解，回答问题.我们都知道3是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把3的小数部分全部写出来，于是小磊用3−1表示3（1）5的小数部分是；（2）已知m是正整数，m是一个无理数，且m−3表示m①m的取值范围是；②当m是5的倍数时，求m−14+2m【答案】（1）5−2；（2）①9<m<16；②当m是5的倍数时，|m−14|+2m【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可；（2）①根据m−3表示m②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入|m−14|+2m中计算即可.【优尖升-详解】解：（1）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴5的小数部分是5−2（2）①∵m−3表示m∴3＜m＜4，∴9<m<16；②∵9<m<16且m是5的倍数，∴m=10或m=15，当m=10时，|m−14|+2m=14−m+2m=14+m=14+10=24，当m=15时，|m−14|+2m=m−14+2m=3m−14=45−14=31，综上，当m是5的倍数时，|m−14|+2m的值为24或31.【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜5＜3和3＜m＜4是解题的关键.【题型5实数的应用】【例5】（2024七年级·河南周口·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2πlg，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（π取3，(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？【答案】(1)6(2)该座钟大约发出了420次滴答声【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可；（2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可．【优尖升-详解】（1）解：∵T=2πl∴当l=0.2m时，T=2×3（2）6×60÷6答：该座钟大约发出了420次滴答声．【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键．【变式5-1】（2024七年级·全国·课后作业）用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P=U2R．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为18.4Ω，乙的电阻为20.8Ω【答案】甲【分析】根据P=U2R【优尖升-详解】∵P=∴U=∴U甲=P【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识．【变式5-2】（2024七年级·北京·期末）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2由面积公式，可得x2+______因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）