苏科版九年级数学上册专题5.1全册综合测试卷同步练习(学生版+解析)

全册综合测试卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·云南红河·八年级统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（

）A．5 B．6 C．9 D．72．（3分）（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．303．（3分）（2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）某班甲、乙、丙三个综合实践活动小组准备向全班同学展示成果，现通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．三个小组排列的顺序有（）种不同可能．A．3 B．6 C．9 D．124．（3分）（2023秋·山东青岛·九年级阶段练习）关于x的方程(k+2)xA．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-25．（3分）（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为ℎ，则R

A．38 B．27 C．13 6．（3分）（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的侧面积是（

）A．16π B．24π C．32π D．40π7．（3分）（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点O在边BC上，OC=1，点A在⊙O上，⊙O与直线BC交于点M,N（点M在点N右侧），则AM的长度为（

）

A．35 B．8 C．45 8．（3分）（2023·湖南株洲·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1

A．73π−783 B．49．（3分）（2023春·浙江·八年级期末）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，则ka>kb B．若C．若﹣1＜a＜1，则ka<kb D．若10．（3分）（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，点B，C，D均在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，若点A（不与点B，C重合）也在⊙O上，则∠BAC＝（）A．30° B．45° C．60°或120° D．30°或150°二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是6，则数据x1+4，x212．（3分）（2023秋·江苏·九年级期末）关于x的方程1−m2x2−2mx−1=0的所有根都是比213．（3分）（2023秋·北京西城·九年级校考期末）如图，⊙O的半径是2，点P是直线y=−x+4上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为

14．（3分）（2023春·浙江·八年级期末）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为．15．（3分）（2023秋·江苏·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为°．

16．（3分）（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连接CD．若BC=6，则CD的最小值为．

三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·福建龙岩·九年级期末）解下列方程：(1)x2(2)xx−418．（6分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D分别在两个半圆上（不与A、B点重合），AD=BD=2，若∠ADC=15°．

(1)求∠CBD的度数．(2)求CD的长．19．（8分）（2023秋·广东惠州·九年级期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？20．（8分）（2023秋·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，AD、BC分别与⊙O相切于点D、C（BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点P，B为PC中点.(1)证明：AB是⊙O的切线.(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥OB.21．（8分）（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4mm>0的图象经过点Bp,2m，与y轴交于点(1)若关于x的一元二次方程x2−2m−1(2)已知点Am,0，若直线y=kx+4m与x轴交于点Cn,0，n+2p=4m，原点O到直线CD的距离为8522．（8分）（2023春·山东滨州·八年级统考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”阳信县某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x<60范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：课外阅读时间x等级人数0≤x<20D320≤x<40Ca40≤x<60B8x≥60Ab

结合以上信息回答下列问题：(1)统计表中的a=______；(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______，中位数是______；根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min(3)A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．23．（8分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．

(1)如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，延长BP到Q，使AQ=AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC=DC，若⊙O的半径为5，AB=6，求AC的长；

全册综合测试卷【苏科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·云南红河·八年级统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（

）A．5 B．6 C．9 D．7【答案】A【分析】根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义得出答案．【详解】解：∵处于这组数据中间位置的两个数是5、x，∴5+x2∴x=7，即这组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，7，7，9，这组数据中7出现的次数最多，∴这组数据的众数是7，故选：D．【点睛】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．2．（3分）（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【答案】A【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,∴原式=8×2+14=30,故选D.3．（3分）（2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）某班甲、乙、丙三个综合实践活动小组准备向全班同学展示成果，现通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．三个小组排列的顺序有（）种不同可能．A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据题意列举事件所有的情况即可．【详解】解：由题意知：有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共6种可能；故选B．【点睛】本题考查了列举法．解题的关键在于列举所有的情况．4．（3分）（2023秋·山东青岛·九年级阶段练习）关于x的方程(k+2)xA．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2【答案】A【分析】分别把x=1，−1，2，−2代入(k+2)x2−kx−2=0中，利用一元二次方程的解，当k【详解】解：A、当x=1是，k+2−k−2=0，所以方程(k+2)xB、当x=−1时，k+2+k−2=0，所以当k=0时，方程(k+2)x2−kx−2=0C、当x=2时，4k+8−2k−2=0，所以当k=3时，方程(k+2)x2−kx−2=0D、当x=−2时，4k+8+2k−2=0，所以当k=−1时，方程(k+2)x2−kx−2=0【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.5．（3分）（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为ℎ，则R

A．38 B．27 C．13 【答案】A【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．【详解】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线交AB、AC、BC于点E、G、F，

S△ABC∵AB+AC=5∴S∵AD的长为ℎ，∴S∴1∴ℎ=8∴R故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键．6．（3分）（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的侧面积是（

）A．16π B．24π C．32π D．40π【答案】D【分析】根据圆锥的侧面展开图是半圆，半径为8，运用圆的面积公式计算即得圆锥的侧面积．【详解】∵圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，∴圆锥的侧面积是，12故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．本题也可以求出侧面展开图弧长，运用“扇形的面积等于扇形半径与弧长乘积的一半”解答，方法不唯一．7．（3分）（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点O在边BC上，OC=1，点A在⊙O上，⊙O与直线BC交于点M,N（点M在点N右侧），则AM的长度为（

）

A．35 B．8 C．45 【答案】D【分析】连接OA，由正方形性质可得AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，然后用勾股定理求出半径，再求出OM的长即可．【详解】解：连接OA，

∵正方形ABCD的边长为4，OC=1，∴AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，∴在Rt△AOB中，OA=∴OM=OA=5，∴BM=BO+OM=3+5=8，∴在Rt△ABM中，AM=故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、圆的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关圆的性质，属于中考常考题型．8．（3分）（2023·湖南株洲·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1

A．73π−783 B．4【答案】D【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，OB、BH为半径的两个扇形组成的一个环形，分别求出OB、BH，即可求出阴影部分面积．【详解】解：连接BH，BH

∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A∴△OBH≌△O∴线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，OB、BH为半径的两个扇形组成的一个环形，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，∴AC=A∵H为边AC的中点，∴CH=1∴BH=B∴阴影部分面积=120故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．9．（3分）（2023春·浙江·八年级期末）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，则ka>kb B．若C．若﹣1＜a＜1，则ka<kb D．若【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a(a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∴a−b−1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∴k＝−1，∵ka−k∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时ka−k当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时ka−k故A、C错误；当ka>k1a(a−1)解得：a＞1或a＜0，故B错误；当ka<k1a(a−1)解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．10．（3分）（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，点B，C，D均在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，若点A（不与点B，C重合）也在⊙O上，则∠BAC＝（）A．30° B．45° C．60°或120° D．30°或150°【答案】A【分析】分点A在优弧BC上和劣弧BC上两种情况，分别连接OC，根据平行四边形的性质及圆的性质可得△OBC是等边三角形，进而得到∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可解答．【详解】解：（1）当点A在优弧BC上时，连接OC，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BC=OD，∴BC=OB=OC，∴ΔOBC是等边三角形，∴∠BOC=60°∴∠BAC=12∠BOC（2）当点A在劣弧BC上A'位置时，连接OC∵四边形ABA'C为圆内接四边形，∴∠BAC+∠BA'C=180°，∵∠BAC=30°，∴∠BA'C=150°．综上∠BAC的度数为30°或150°．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是6，则数据x1+4，x2【答案】10【分析】根据求平均数的公式即可列式作答．【详解】解：依题意，∵x1∴x1故答案为：10．【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，正确掌握求平均数的公式是解题的关键，平均数的公式：x112．（3分）（2023秋·江苏·九年级期末）关于x的方程1−m2x2−2mx−1=0的所有根都是比2【答案】m>32【分析】分两种情况讨论，当1−m2=0,当1−【详解】解：当1−m2=0当m=1时，方程化为−2x−1=0，解得x=−1当m=−1时，方程化为2x−1=0，解得x=1当1−m2≠0由1−m2x∴m+1解得：x1−1解得m>−1−解得m>综上：m的取值范围为：m>32或故答案为：m>32或【点睛】本题考查的是根据方程的解的情况求解参数的取值范围，清晰的分类讨论是解本题的关键．13．（3分）（2023秋·北京西城·九年级校考期末）如图，⊙O的半径是2，点P是直线y=−x+4上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为

【答案】2【分析】由切线的性质可得OA⊥PA，且OA=2，则AP=OP2−OA2，从而得到当OP最小时，PA最小，由垂线段最短可得当OP与直线【详解】解：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，且OA=2，∴∠OAP=90°，∴AP=O∴当OP最小时，PA最小，∴如图，当OP与直线y=−x+4垂直时，OP最小，设直线y=−x+4交x轴于B，交y轴于C，

，当x=0时，y=−4，故C0当y=0时，−x+4=0，解得：x=4，∴B4∴OB=OC=4，∴△OBC为等腰直角三角形，BC=O∵OP⊥BC，∴OP=12BC=22，即∴PA的最小值为：PA=O故答案为：2．【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，是解此题的关键．14．（3分）（2023春·浙江·八年级期末）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为．【答案】0【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．【详解】解：设这个相同的实数根为t，把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t+12）2∴a+b+c＝0，故答案是：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．15．（3分）（2023秋·江苏·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为°．

【答案】54或126【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到∠COF=∠DOF，由等腰三角形的性质推出直径AF⊥CD，从而求出∠BOF的度数，分两种情况，即可解决问题．【详解】解：连接OC，

∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分，∴ABC=∴∠AOC=∠AOD，∴∠COF=∠DOF，∵OC=OD，∴直径AF⊥CD，∴CF=∵∠COD=1∴∠COF=1当P在BAF上时，连接OB，∵∠BOC=1∴∠BOF=∠BOC+∠COF=108°，∴∠BPF=1当P在BCF上时，由圆内接四边形的性质得∠BPF=180°−54°=126°．∴∠BPF的度数是54°或126°．故答案为：54或126．【点睛】本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质．16．（3分）（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连接CD．若BC=6，则CD的最小值为．

【答案】3【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABO'，连接DO'、CO'，求出∠ADB=135°，得出点D在点O'为圆心，AO'为半径的AB上运动，根据勾股定理求出CO'=O【详解】解：以AB为斜边作等腰直角三角形ABO'，连接DO

则∠O∵以BC为直径的⊙O，A为BC中点，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC=BC∴∠O∵AB=∴∠APD=∠ACB=45°，∵AD⊥AP，∴∠DAP=90°，∴∠ADP=45°，∠ADB=135°，∴点D在点O'为圆心，AO'在等腰直角△ABO'在Rt△BO'∴O'∵CD≥C∴当C、D、O'三点共线时，CD取的最小值，最小值为C故答案为：35【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，找出使CD取的最小值的位置．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·福建龙岩·九年级期末）解下列方程：(1)x2(2)xx−4【答案】(1)x1=−3(2)x1=4【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）先移项得xx−4【详解】（1）解：x2x+3x−1x+3=0或x−1=0，∴x1=−3，（2）解：xx−4xx−4x−4x−3x−4=0或x−3=0，∴x1=4，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（6分）（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D分别在两个半圆上（不与A、B点重合），AD=BD=2，若∠ADC=15°．

(1)求∠CBD的度数．(2)求CD的长．【答案】(1)∠CBD=60°(2)6【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，结合已知条件可得△ABD是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC=15°，进而即可求解；（2）过点O作OE⊥CD于点E，连接OE，OC，根据垂径定理得出CE=ED,∠EOD=12∠COD，进而勾股定理求得OD=22【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AD=BD∴∠ADB=90°,△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°∵AC=AC，∴∠ABC=∠ADC=15°∴∠CBD=∠CBA+∠ABD=60°（2）解：如图所示，过点O作OE⊥CD于点E，连接OE，OC，则CE=ED,∠EOD=1

∵△ABD是等腰直角三角形，AD=BD=2，∴AB=则OD=OA=1∵∠CBD=60°∴∠COD=2∠CBD=120°∴∠DOE=12∴OE=在Rt△DOE中，∴CD=2DE=6【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．（8分）（2023秋·广东惠州·九年级期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【答案】(1)6，1692(2)2x，(50−x)(3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】（1）销售量增加：2×3=6件，当天盈利：(50−3)×(30+2×3)=1692（元）．故答案为：6；1692．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利(50−x)元．故答案为2x，(50−x)；（3）根据题意，得：(50−x)×(30+2x)=2000，整理，得：x2解得：x1∵商城要尽快减少库存，∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点睛】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．20．（8分）（2023秋·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，AD、BC分别与⊙O相切于点D、C（BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点P，B为PC中点.(1)证明：AB是⊙O的切线.(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥OB.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OE，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出∠OEC=∠OCE，进而根据BC为切线，∠OCB=90°，∠OEC+∠BEC=∠OCE+∠BCE=90°，得出∠OEB=90°，即可得证；（2）根据AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C，根据切线长定理得出AD⊥CD，BC⊥CD，则AD∥BC，∠OAE=12∠DAE，∠OBE=【详解】（1）证明：连接OE，∵CD为⊙O直径，∴∠CEP=90°.

在RT△CEP中，B为PC∴EB=BC=1∴∠BCE=∠BEC，

∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，

又∵BC为切线，∴∠OCB=90°，∴∠OEC+∠BEC=∠OCE+∠BCE=90°

∴∠OEB=90°.

即OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线.（2）证明：∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C，∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAE=12∠DAE∴AD∥∴∠DAE+∠CBE＝∴∠OAE+∠OBE=12∴∠AOB=90°，

∴OA⊥OB；【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．21．（8分）（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4mm>0的图象经过点Bp,2m，与y轴交于点(1)若关于x的一元二次方程x2−2m−1(2)已知点Am,0，若直线y=kx+4m与x轴交于点Cn,0，n+2p=4m，原点O到直线CD的距离为85【答案】(1)2,2(2)4【分析】（1）根据方程有两个相等实数根得出Δ=0，求出k，m，进而求出一次函数解析式，即可求出点B（2）将Bp,2m，Cn,0分别代入y=kx+4m后，可求n=2p，结合n+2p=4m，求出p=m，n=2m，然后根据等面积法可求出【详解】（1）解：关于x的一元二次方程x2整理得x2∵方程有两个相等实数根，∴Δ=4∴m−1=0，k+1=0，∴m=1，k=−1，∴一次函数为y=−x+4，∵点B的纵坐标为2m=2，∴点B的横坐标为2，∴点B的坐标为2,2（2）解：将Bp,2m，Cn,0分别代入kp+4m=2mkn+4m=0化简得n=2p，又n+2p=4m，∴p=m，n=2m，∴Bm,2m，C又Am,0∴AC=m，AB⊥OC，OB=m2+又原点O到直线CD的距离为85∴S△OBC∴m=2，∴S△ABC【点睛】本题考查了根的判别式以及一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用判别式以及转化点的坐标是解题的关键．22．（8分）（2023春·山东滨州·八年级统考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”阳信县某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x<60范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：课外阅读时间x等级人数0≤x<20D320≤x<40Ca40≤x<60B8x≥60Ab

结合以上信息回答下列问题：(1)统计表中的a=______；(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______，中位数是______；根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min(3)A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)5；(2)众数是40，中位数是45；(3)12【分析】