北师大版2019选择性必修第一册专题8.3选择性必修第一册综合检测3(北师大版2019)(原卷版+解析)

专题8.3选择性必修第一册综合检测3考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考期末）五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（

）A．36种 B．60种 C．72种 D．108种2．（2023·全国·高三专题练习）某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，已知P(80<ξ≤100)=0.4，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从100A．60 B．40 C．30 D．153．（2023·全国·高三专题练习）按序给出a,b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a,b两类中各取1个元素组成1个排列，则a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数为（

）A．240 B．200 C．120 D．604．（2023·高二课时练习）已知圆M的圆心在直线x+y−4=0上，且点A(1,0)，B(0,1)在M上，则M的方程为（

）A．(x−2)2+(y−2)C．(x−2)2+(y−2)5．（2023·全国·高三专题练习）将三项式展开，得到下列等式：((((…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式(a2+ax−3)(x2A．15(a2+a−1)C．15(a2+2a+3)6．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从A3,4出发，经过坐标轴反射两次经过点D6,2，则总路径长即AB+A．35 B．6 C．313 7．（2023春·高二单元测试）某校学生会为了调查学生对2022年北京冬奥会的关注是否与性别有关，抽样调查了100人，得到如下数据．不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量K2P(0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635若由此认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（

）A．0.10 B．0.05 C．0.025 D．0.0108．（2023·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22A．32+23 B．2+23 C．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（

）A．直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量u=(0,−5,0)B．两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)C．若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的法向量m=(3,6,k)，若l⊥αD．若AB=(2,−1,−4)，AC=(4,2,0)，AP=(0,−4,−8)，则点P10．（2022·高二单元测试）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（

）A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为1D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为511．（2021·全国·模拟预测）2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示：广告支出费用x23456销售量y45710.613.4根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为y=2.44x+a，则下列说法正确的是（A．aB．相应于点5,10.6的残差e4C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件D．回归直线y=2.44x+a12．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A．点A1在平面ABCD内的射影在ACB．AC1C．AC1与平面A1D．二面角B1−BD−C填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）若(x14．（2023·高二单元测试）过点M(1,1)作斜率为−12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=115．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过点−1,0的直线交C于A，B两点，AB的中点为M，分别过点A，B，M作l的垂线，垂足依次为D，E，Q，则当MQDE16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与圆O:x2+y2解答题（共6小题，满分70分）17．（2023·高二课时练习）在x+12（1）求展开式中含有x项的系数；（2）求展开式中的有理项．18．（2022春·山西运城·高二校联考期中）为了研究人对红光或绿光的反应时间，某实验室工作人员在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应时间.该试验共测得100次红光，100次绿光的反应时间.若以反应时间是否超过0.4s（s：秒）为标准，完成以下问题.(1)完成下面的2×2列联表：反应时间不超过0.4s次数反应时间超过0.4s次数合计红光次数70绿光次数合计95(2)根据（1）中的2×2列联表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为反应时间是否超过0.4s与光色有关联.参考公式与数据χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中α0.1000.0500.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（2023春·江西抚州·高二校联考期中）某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x（cm）166173174178180183185体重y（kg）57625971677578根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y(1)求b；(2)已知R2=1−i=1nyi−参考数据：i=120．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，平面图形ABCDE中，AE=ED=DB=BC=1,CB⊥BD,ED//AB,∠EAB=60°，沿BD将△BCD折起，使点C到F的位置，如图乙，使BF⊥BE,EG(1)求证：平面GEBF⊥平面AEG；(2)点M是线段FG上的动点，当GM多长时，平面MAB与平面AEG所成的锐二面角的余弦值为3421．（2023春·山西吕梁·高二校联考期中）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N(280,25)．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y参考数据：若Z~N(μ,σ2)，则P(p−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.99871022．（2023春·安徽合肥·高三校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点是A，右焦点是F(2,0)，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l为圆x2+y2=1的切线，且l与C相交于S专题8.3选择性必修第一册综合检测3考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考期末）五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（

）A．36种 B．60种 C．72种 D．108种【答案】A【分析】应用间接法，用甲与乙相邻的情况数减去其中甲丙相邻的情况数即可.【详解】甲与乙相邻（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况：A2故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，已知P(80<ξ≤100)=0.4，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从100A．60 B．40 C．30 D．15【答案】C【分析】首先根据题意得到Pξ>100【详解】Pξ>100=1故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）按序给出a,b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a,b两类中各取1个元素组成1个排列，则a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数为（

）A．240 B．200 C．120 D．60【答案】C【分析】根据乘法计数原理即可求解.【详解】解：从a类中取1个元素有10种取法，从b类中取1个元素有12种取法，则共有10×12=120种取法.故选：C.4．（2023·高二课时练习）已知圆M的圆心在直线x+y−4=0上，且点A(1,0)，B(0,1)在M上，则M的方程为（

）A．(x−2)2+(y−2)C．(x−2)2+(y−2)【答案】C【分析】由题设写出AB的中垂线，求其与x+y−4=0的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.【详解】因为点A(1,0)，B(0,1)在M上，所以圆心在AB的中垂线x−y=0上．由x+y−4=0x−y=0，解得{x=2y=2，即圆心为(2,2)所以M的方程为(x−2)2故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）将三项式展开，得到下列等式：((((…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式(a2+ax−3)(x2A．15(a2+a−1)C．15(a2+2a+3)【答案】D【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．【详解】根据广义杨辉三角的定义：a2故x2关于x的多项式a2+ax−3x2+x+1故选：D．6．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从A3,4出发，经过坐标轴反射两次经过点D6,2，则总路径长即AB+A．35 B．6 C．313 【答案】C【分析】求点A关于y轴的对称点M和点D关于x轴的对称点N的坐标，由反射性质知总路径长为MN，用两点距离公式求其长度即可.【详解】设点A关于y轴的对称点为点M，点D关于x轴的对称点为点N，由光线反射知识可得M,B,C三点共线，N,C,B三点共线，故M,B,C,N四点共线，因为点A的坐标为3,4，点D的坐标为6,2，所以点M的坐标为−3,4，点N的坐标为6,−2，由对称的性质可得AB=所以AB+又MN=所以AB+故选：C.7．（2023春·高二单元测试）某校学生会为了调查学生对2022年北京冬奥会的关注是否与性别有关，抽样调查了100人，得到如下数据．不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量K2P(0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635若由此认为“学生对2022年北京冬奥会的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（

）A．0.10 B．0.05 C．0.025 D．0.010【答案】A【分析】先根据列联表求解卡方，结合临界数值进行判断.【详解】由题意K2所以此结论出错的概率不超过0.1.故选：A.8．（2023·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22A．32+23 B．2+23 C．【答案】A【分析】先由题意求出点P的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点Px,y，则PA∴x−22+y2x+2∴点P的轨迹是以−4,0为圆心，半径r=23圆心−4,0到直线l：22x−y−2∴点P到直线l最大距离为d+r=32故选：A.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（

）A．直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量u=(0,−5,0)B．两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)C．若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的法向量m=(3,6,k)，若l⊥αD．若AB=(2,−1,−4)，AC=(4,2,0)，AP=(0,−4,−8)，则点P【答案】BD【分析】A由a//u可得l⊥α进而可判断；B证得u⊥v可得α⊥β，进而可判断；C由a//m可得【详解】A因为a//u，所以B因为u⋅v=2×−3+2×4+C因为l⊥α，所以a//m，因此31D因为AP=2AB−AC，所以从而点P在平面ABC内，故D正确.故选：BD.10．（2022·高二单元测试）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（

）A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为1D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为5【答案】ABD【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断.【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为410和6对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列P(Y=k)=C对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为P(Y=2)=C对D，取出的白球为3和4，故P=P(Y=3)+P(Y=4)=C故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念.11．（2021·全国·模拟预测）2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示：广告支出费用x23456销售量y45710.613.4根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为y=2.44x+a，则下列说法正确的是（A．aB．相应于点5,10.6的残差e4C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件D．回归直线y=2.44x+a【答案】ABC【分析】A：回归直线经过样本点的中心(x，y)；B：残差为实际值减去用回归方程算出来的值：e4=y5−C：将x＝7代入y=2.44x+D：将x＝6代入y=2.44x+【详解】由表可知，x=2+3+4+5+65=4，y=4+5+7+10.6+13.45=8，将相应于点5,10.6的残差e4广告支出费用为7万元时，销售量约为y=2.44×7−1.76=15.32∵2.44×6−1.76=12.88≠13.4，∴回归直线y=2.44x−1.76不经过点6,13.4故选：ABC．12．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A．点A1在平面ABCD内的射影在ACB．AC1C．AC1与平面A1D．二面角B1−BD−C【答案】ACD【分析】设AA1=a，AB=b，AD=c，正方形的边长为1，根据对称性得到A正确，计算【详解】设AA1=a，则a⋅b=1×1×cos60°=对选项A：AA1=AB，∠A1的射影在∠BAD的角平分线上，即在AC上，正确；对选项B：AC1=AC对选项C：设AC，BD相交于O，AC1与A1Q即为AC1与平面则A1QOQ=A1C1AO=2，对选项D：连接B1D1与A1C1相交于又AC⊥BD，HO⊂平面B1BD，AC⊂平面故∠HOC为二面角B1HC=−故HC2=−HO=AA1=1，OC=故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，可以简化过程，是解题的关键.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）若(x【答案】180【分析】写出二项展开式通项公式，由只有第六项二项式系数最大求得n，再确定常数项．【详解】Tr+1由题意Cn5≥Cn10−5r2=0，所以常数项为(−2)2故答案为：180．14．（2023·高二单元测试）过点M(1,1)作斜率为−12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1【答案】2【分析】设A(x1,y1),B(x2,【详解】由题意直线AB方程为y−1=−12(x−1)，即y=−M必须在椭圆内部，即1a由y=−12x+∴x1+x2=6a∴6a2a故答案为：2．15．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过点−1,0的直线交C于A，B两点，AB的中点为M，分别过点A，B，M作l的垂线，垂足依次为D，E，Q，则当MQDE【答案】4【分析】依题意不妨设直线AB的方程为y=kx+1k>0，Ax1,y1MQ,DE的表达式，再结合二次函数的性质求出MQDE【详解】依题意不妨设直线AB的方程为y=kx+1k>0，联立y=kx+1y2=4x，消则Δ=2kx1MQ=又因DE=则MQDE当k2=1此时x1所以AB=故答案为：43【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与圆O:x2+y2【答案】15【分析】依题意得：F(c,0)，渐近线的方程为y=−bax，联立渐近线方程和圆的方程求得M−a2c,abc，根据MN⊥OM求得直线MN的斜率，进而得到其方程，从而求得N(−c,0).由【详解】依题意得：F(c,0)，渐近线的方程为y=−b联立y=−bax∴M−∵MN⊥OM,∴∴MN的方程为y−ab令y=0，得x=−c.∴N(−c,0)∴|MF|=∵sin根据正弦定理可得，|MF|=则c+a2c∴c2故答案为：15【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把sin∠MNF=7sin解答题（共6小题，满分70分）17．（2023·高二课时练习）在x+12（1）求展开式中含有x项的系数；（2）求展开式中的有理项．【答案】（1）358；（2）有理项为T1=x4【分析】（1）由Cn1=Cn0+14Cn（2）设展开式中，第r+1项为有理项，可知4−34r∈Z【详解】（1）因为Cn1=Cn0+14则二项式x+12令4−34r=1，得r=4，所以含有x（2）设展开式中，第r+1项为有理项，则4−3则当r=0、4、8时对应的项为有理项，有理项分别为T1=x4，18．（2022春·山西运城·高二校联考期中）为了研究人对红光或绿光的反应时间，某实验室工作人员在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应时间.该试验共测得100次红光，100次绿光的反应时间.若以反应时间是否超过0.4s（s：秒）为标准，完成以下问题.(1)完成下面的2×2列联表：反应时间不超过0.4s次数反应时间超过0.4s次数合计红光次数70绿光次数合计95(2)根据（1）中的2×2列联表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为反应时间是否超过0.4s与光色有关联.参考公式与数据χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中α0.1000.0500.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析(2)能【分析】（1）根据所给数据完善列联表即可；（2）零假设为H0：反应时间是否超过0.4s与光色无关联，计算出χ(1)解：根据题意，可得2×2列联表：反应时间不超过0.4s次数反应时间超过0.4s次数合计红光次数7030100绿光次数3565100合计10595200(2)解：零假设为H0：反应时间是否超过0.4s因为χ2根据α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为反应时间是否超过0.4s19．（2023春·江西抚州·高二校联考期中）某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x（cm）166173174178180183185体重y（kg）57625971677578根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y(1)求b；(2)已知R2=1−i=1nyi−参考数据：i=1【答案】(1)b=1.15(2)该线性回归方程的拟合效果是良好的；理由见解析．【分析】（1）根据给定数表，求出样本的中心点，再代入计算作答.（2）由（1）及已知求出i=17yi(1)由题中数据可得：x=y=57+62+59+71+67+75+787=67，于是得所以b=1.15(2)由（1）知，i=17则有R2=1−52.36所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.20．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，平面图形ABCDE中，AE=ED=DB=BC=1,CB⊥BD,ED//AB,∠EAB=60°，沿BD将△BCD折起，使点C到F的位置，如图乙，使BF⊥BE,EG(1)求证：平面GEBF⊥平面AEG；(2)点M是线段FG上的动点，当GM多长时，平面MAB与平面AEG所成的锐二面角的余弦值为34【答案】(1)证明见解析；(2)当GM=33时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为【分析】(1)利用给定条件可得EG⊥平面ABDE，再证AE⊥BE即可证得BE⊥平面AEG推理作答.(2)由(1)得EA，EB，EG两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量即可计算、判断作答.【详解】（1）因为EG=BF，则EG//BF，且EG=BF，又BF⊥BE,BF⊥BD,BE∩BD=B，BE,BD⊂平面因此，BF⊥平面ABDE，即有EG⊥平面ABDE，EB⊂平面ABDE，则EG⊥EB，而AE=ED=DB=1, ED//AB，则四边形ABDE为等腰梯形，又∠EAB=60°，则有于是有∠DEB=30°，则∠AEB=90°，即AE⊥BE，AE∩EG=E，AE,EG⊂平面AEG，因此，BE⊥平面AEG，而BE⊂平面GEBF，所以平面GEBF⊥平面AEG.（2）由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系E−xyz，如图，因AE=ED=DB=BF=1，四边形GEBF是矩形，则FG=BE=3，即A(1,0,0)，B(0,3,0)令GM=λ(0≤λ≤3)，则M(0,λ,1)，AM=(−1,λ,1)设平面MAB的一个法向量为m=(x, y,  z)，则m平面AEG的一个法向量n=(0,1,0)，则有|cos〈设平面MAB与平面AEG所成锐二面角为θ，则cosθ=14+依题意，14+(3−λ)2所以当GM=33时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为21．（2023春·山西吕梁·高二校联考期中）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N(280,25)．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一