北师大版八年级数学上册专题2.2一元二次方程的解法【八大题型】同步练习(学生版+解析)

专题2.2一元二次方程的解法【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用直接开平方法解一元二次方程】 1【题型2配方法解一元二次方程】 2【题型3公式法解一元二次方程】 3【题型4因式分解法解一元二次方程】 3【题型5用指定方法解一元二次方程】 4【题型6用适当的方法解一元二次方程 4【题型7用换元法解一元二次方程】 5【题型8配方法的应用】 6【知识点1直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（A．m>0 B．m⩾7C．m>7 D．任意实数【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(

)A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【知识点2配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．3x解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x2配方，得_________________________________，即(x−1两边开平方，得__________________，即x−112=所以x1=1，【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：(1)x2(2)2x【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x解：方程变形为2x配方，得(2x−5移项，得(2x−5两边开平方，得2x−5即2x−52=所以x1=5+（1）上述解法错在第步；（2）请你用配方法求出该方程的解．【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x（2）请用配方法解一元二次方程ax【知识点3公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)3x=5x(2)x+32【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x−1)(x−2)=5．【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)9x(2)2x【知识点4因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)2+3(2)2x−12【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x+1)2【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；【题型5用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：(1)3x(2)x2(3)x2(4)y2【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(1)4x(2)2x(3)xx−2(4)2x【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：(1)x+62(2)x2(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)(4)x2【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2【题型6用适当的方法解一元二次方程【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)(2x−1)2(2)12x(3)(3x−1)2(4)(x−2)2(5)12(6)0.3x【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：(1)2x(2)x(3)3x【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：(1)9(2)4(3)x2(4)x2【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程(1)6x−12(2)y(3)x2(4)x+1x−1【题型7用换元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：例：解方程：(5x+3解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5x+32则原方程可化为y2−2y−15=0，∴(y−1)2=16，∴∴5x+32=5或∴方程的解为x1=7任务：(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法专题2.2一元二次方程的解法【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用直接开平方法解一元二次方程】 1【题型2配方法解一元二次方程】 3【题型3公式法解一元二次方程】 6【题型4因式分解法解一元二次方程】 8【题型5用指定方法解一元二次方程】 10【题型6用适当的方法解一元二次方程 15【题型7用换元法解一元二次方程】 20【题型8配方法的应用】 23【知识点1直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，【答案】±33－32－1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可.【详解】∵(2x－1)∴2x－1=±3∴2x－1＝3，2x－1＝-3∴x1＝2，【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键.【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案；【详解】解：∵4∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（A．m>0 B．m⩾7C．m>7 D．任意实数【答案】B【分析】根据m−7≥0时方程有实数解，可求出m的取值范围．【详解】由题意可知m−7≥0时方程有实数解，解不等式得m⩾7，故选B．【点睛】形如x+m【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(

)A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【答案】D【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A）移项可得x2（B）−2x2=0（C）移项可得x2（D）x−22故选A．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．【知识点2配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．3x解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x2配方，得_________________________________，即(x−1两边开平方，得__________________，即x−112=所以x1=1，【答案】x2−56【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x解：两边同除以3，得x2移项，得x2配方，得x2即(x−1两边开平方，得x−1即x−112=所以x1=1，【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：(1)x2(2)2x【答案】(1)x1=3+132，x2(2)x1=12，x2【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．（1）解：x2−3x−1=0方程变形得：x2－3x=1，配方得：x2－3x+94=1+94，即（x－32）2开方得：x－32=±13解得：x1=3+132，x2=（2）解：移项得：2系数化1得：x两边加上一次项系数一半的平方得：x配方得：x−开方得：x−解得：x1=12，x2【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x解：方程变形为2x配方，得(2x−5移项，得(2x−5两边开平方，得2x−5即2x−52=所以x1=5+（1）上述解法错在第步；（2）请你用配方法求出该方程的解．【答案】（1）一；（2）x1=2，【详解】试题分析：将方程二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上(5试题解析：变形得：x2−52x+1=0，变形得：x2−52x=−1，配方得：考点：解一元二次方程-配方法．【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x（2）请用配方法解一元二次方程ax【答案】（1）x1=【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；【详解】解：（1）2两边同时除以2得：x2移项得：x2两边同时加上(32)配方得：(x−3解得：x1（2）a两边同时除以a得：x2移项得：x2两边同时加上(b2a)配方得：(x+b当b2解得：x1当b2x1当b2该方程无实数根．【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论．【知识点3公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)3x=5x(2)x+32【答案】(1)方程无解(2)方程无解【分析】先把原方程化为一般式，然后判断Δ的符号，如果Δ≥0，则用公式法求解即可，如果Δ【详解】（1）解：3x=5化为一般式得：5x∴a=5，∴Δ=∴原方程无解；（2）解：x+32化为一般式得x2∴a=1，∴Δ=∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x【答案】x1=【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4，∴△=72∴x=−7±81∴x1=1【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解题步骤是关键．【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x−1)(x−2)=5．【答案】x1=【分析】将原方程化为一般形式，根据求根公式，即可求解．【详解】解：原方程化为一般形式，得，x2−3x−3=0，则a=1，b=−3，∴Δ=∴x=−b±∴x1=3+【点睛】本题主要考查用公式法求解一元二次方程的解，掌握求根公式的计算方法是解题的关键．【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)9x(2)2x【答案】(1)x1=(2)x1=−【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：a=9，b=−66，c=1∴b2∴x=6∴原方程的解为：x1=6（2）解：a=2，b=43，∴b2∴x=−4∴原方程的解为：x1=−6【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式x=−b±【知识点4因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)2+3(2)2x−12【答案】(1)x(2)x【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2+3∴2+3∴x2∴2+3x−1=0或解得x1（2）解：∵2x−12∴2x−1−x2x−1=0，即∴x−1=0或2x−1=0，解得x1【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【答案】x【分析】先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】解：x（x-1）=2（x-1），移项，得x（x-1）-2（x-1）=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x+1)2【答案】x【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：(2x+1)2x+1+2(2x+3)2x+3=0∴x1【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；【答案】(1)x(2)x【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：3（x-5）2=2（5-x）方程变形为：3(x−5)∴(x−5)3(x−5)+2∴(x−5)(3x−13)=0，∴x1（2）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0(ax−b)(bx−a)=0，∵ab≠0，∴a≠0,b≠0，∴x【题型5用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：(1)3x(2)x2(3)x2(4)y2【答案】(1)x1=(2)x1=3(3)x1=3+(4)y【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根；（2）用十字相乘法因式分解求出方程的根；（3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程；（4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根．【详解】（1）解：3x∴x2解得：x1=5（2）x2∴(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x1=3，（3）x2∴x∴x∴(x−3)∴x−3=±解得：x1=3+2（4）y2∴y2∴Δ=∴y=2解得：y1【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法．【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(1)4x(2)2x(3)xx−2(4)2x【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x1【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到x−3（3）利用因式分解法解方程．（4）求出b2【详解】（1）解：4x两边除以4得：x2两边开平方得：x=±2，∴x1（2）解：2x∴x2∴x2即x−3∴x−所以x1（3）解：x∴x−2x+1∴x−2=0或x+1=0，所以x1（4）解：2x∵a=2,b=−6,c=1，∴b2∴x=6±∴x1【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：(1)x+62(2)x2(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)(4)x2【答案】(1)x1=−3(2)x1=2(3)x1=2(4)x1=10【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用公式法解此方程，即可求解；(3)利用因式分解法解此方程，即可求解；(4)利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：由原方程得：x+6=±3，解得x1=−3，所以，原方程的解为x1=−3，（2）解：在方程x2+x−6=0中，a=1，b=1，∴Δ∴x=解得x1=2，所以，原方程的解为x1=2，（3）解：由原方程得：(x−2)x+1解得x1=2，所以，原方程的解为x1=2，（4）解：由原方程得：x2得x2得x+12得x+1=±11解得x1=10，所以，原方程的解为x1=10，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2【答案】x1=【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】解：配方法，移项得x2配方得：x2+2x+1=1+1开方得：x+1=±解得：x1=2公式法：∵a=1，∴b2∴x=−2±2∴x1=2【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．【题型6用适当的方法解一元二次方程【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)(2x−1)2(2)12x(3)(3x−1)2(4)(x−2)2(5)12(6)0.3x【答案】(1)x1=2(2)x1=(3)x1=1(4)x1=1(5)x(6)x1=【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【详解】（1）解：(2x−1)直接开平方可得：2x−1=±3，2x−1=3或2x−1=−3∴原方程的解为：x1=2，（2）解：124因式分解得：4x−35x+5∴原方程的解为：x1=35（3）解：(3x−1)2平方差因式分解得：3x−1−整理得：2x−24x=0∴原方程的解为：x1=1，（4）(x−2)2提取公因式可得：x−2x−2+x整理得：x−22x−2∴原方程的解为：x1=1，（5）解：∵方程12Δ=∴原方程的解为：x1（6）0.3x3x因式分解得：3x−7x+3∴原方程的解为：x1=【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：(1)2x(2)x(3)3x【答案】(1)x1=3(2)x(3)x1=【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2x原方程可变形为2x方程左边因式分解，得x−3所以x−3=0或2x+1=0所以x1=3，（2）解：x原方程可化为x∴∴x（3）解：3x原方程可化中x∵∴∴x1=【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，并能根据每个一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：(1)9(2)4(3)x2(4)x2【答案】(1)x1=1(2)y1(3)x1=3+23(4)x1=2，【分析】（1）利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可；（2）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；（3）利用解一元二次方程—配方法，进行计算即可；（4）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；【详解】（1）9x9xx2x1=1（2）4y2y−122y=1，y1（3）x2x2x2x−32x−3=±23x1=3+23（4）x2x−32x−3+2−x3x−8x1=2，【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程(1)6x−12(2)y(3)x2(4)x+1x−1【答案】(1)x(2)y(3)x(4)x【分析】（1）先移项，然后利用开平方的方法解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先把原方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵6x−12∴6x−12∴6x−1=±5，解得x1（2）解：∵y2∴yy−1∴y−3y−1∴y−3=0或y−1=0，解得y1（3）解：∵x2∴x2∴x−2解得x1（4）解：x+1整理得：x2∴x+3x−1∴x+3=0或x−1=0，解得x1【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【题型7用换元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：例：解方程：(5x+3解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5x+32则原方程可化为y2−2y−15=0，∴(y−1)2=16，∴∴5x+32=5或∴方程的解为x1=7任务：(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法(2)解方程：x−2=3−2x−2【答案】(1)B(2)原方程的解是x=3【分析】（1）根据小康同学的解答过程即可判断；（2）设y=x−2【详解】（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程y2故答案为：B；（2）解：设y=x−2，则原方程可化为y即y2∴y−1y+3∴y1=1，∴x−2=1∴x=3，经检验x=3是原方程的解，所以原方程的解是x=3．【点睛】本题考查了换元法解方程，因式分解法和配方法解一元二次方程，以及无理方程的解法，掌握换元法的解题思路是解答本题的关键．【变式7-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）已知a2+b【答案】3【分析】把a2+b2看作一个整体，设【详解】解：设a2据题意，得y2解得y1∵a2∴a2故答案为：3．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键．【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足(x2−x)【答案】2023【分析】设t=x2−x，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2−2t−3=0【详解】解：设t=x由原方程，得t2整理，得t−3t+1所以t=3或t=−1．当t=3时，x2−x=3，则当t=−1时，x2−x=−1即x2故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．【变式7-3】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：(1)2((2)2x【答案】(1)x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7