银川市第二十四中学南校区2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

数学一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（

）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．3．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（

）

A．

B．

C．

D．

5．一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（

）A．35° B．25° C．30° D．15°6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．成绩/米人数23541这些运动员成绩的众数和中位数分别为（

）A．米，米 B．米，米C．米，米 D．米，米7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（）A．

B． C． D．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9．一颗中高轨道卫星距离地面高度大约是米，将数据用科学记数法表示为．10．分解因式：．11．有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是．12．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为．14．如图，在直径为的中，点C，D在圆上，，若，则的度数为．15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是．16．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为．

三、解答题（共72分）17．先化简，再求值：，其中．18．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．19．某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品，商店每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元（单价均为整数）．小华发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同。(1)分别求出硬面笔记本和软面笔记本的单价．(2)小华打算购买两种类型笔记本共50本，且购买的软面笔记本的数量不超过硬面笔记本的2倍，则小华的最低费用是多少？20．为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：分组时间x（时）人数A5B16CaDbE4(1)分别写出a、b的值并补全条形统计图；(2)若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人?(3)学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少?21．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若，，，，求BE的长．22．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)当时，求的面积．23．如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，过点作，垂足为点．(1)求证：为的切线；(2)若直径，，求的长．24．为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，）25．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．26．综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.

参考答案与解析1．A详解：解：，则信号最强的是，故选：A．2．A详解：解：A．，故此选项符合题意；B．，故此选项不合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意．故选：A．3．D详解：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．故选D．4．C详解：解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，故选：C．5．D详解：解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，∵DE∥CB，∴∠BDE=∠ABC=45°，∴∠BDF=45°-30°=15°．故选：D．6．A详解：解：观察表中可知，出现了5次，次数最多，运动员的成绩的众数为：米．将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，，，，，运动员的成绩的中位数是米．故选：A．7．D详解：解：设宽为x步，则长为步，由题意得：，故选：D．8．D详解：解：阻力和阻力臂的函数关系式为，点在该函数图象上，，解得，阻力和阻力臂的函数关系式为，，，当时，，小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，故选：D．9．详解：解：故答案为：．10．详解：解：原式．故答案为：．11．详解：解：在，，，，0中，无理数有，，共2个，∴随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，故答案为：．12．且详解：解：由题意，二次函数的图象与轴有两个交点，，且．且．且．故答案为：且．13．##2详解：如图：由题意可知，，，∴，而，∴四边形为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故答案为：．14．##34度详解：解：∵，，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∵是的直径，∴，∴．故答案为：．15．##详解：解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴点E为中点，∵F是的中点，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周长，故答案为：．16．详解：解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，．．．又绕点顺时针旋转至的位置，．．又点是的中点，．在中，，．，．又在上，．故答案为：．17．，原式详解：解：原式，当时，原式．18．(1)作图见解析(2)作图见解析详解：（1）如图，为所作．（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．19．(1)硬面笔记本的单价为16元，软面笔记本的单价为13元；(2)小华的最低费用是701元．详解：（1）解：设硬面笔记本的单价为元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：硬面笔记本的单价为16元，软面笔记本的单价为13元；（2）解：设购买硬面笔记本本，则购买软面笔记本本，由题意得：，解得：，为正整数，的最小值为17，设购买两种类型笔记本的费用为元，由题意得：，，随的增大而增大，当时，有最小值，答：小华的最低费用是701元．20．(1)，，图见解析(2)人(3)详解：（1）解：由图形知，则，补全图形如下：（2）解：(人)，答：估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有820人；（3）解：将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，画树形图如图所示：共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为．21．(1)证明见解析(2)3详解：（1）证明：∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴四边形AECD是平行四边形．（2）解：∵，，∴，∵四边形AECD是平行四边形，∴，，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，即，解得，∴，∴的长为3．22．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)详解：（1）解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的表达式为；∵一次函数的图象经过点，∴，∴，∴一次函数的表达式为；（2）解：∵，∴，∴直线的表达式为，∵时，，解得，则，∵时，，解得，则，∴，，．23．(1)见解析(2)详解：（1）证明：连接，如下图所示：以为直径作交于点，，，在中，，为斜边中线，，，，∴，，，又为半径，为的切线；（2）解：，，，，在中，，由勾股定理得：，为直径，，又∵，∴，，，，，又，，，即，．24．的长为．详解：解：过点作于点，作于点，由题易知四边形为矩形，，，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，，，高为4米，，，又太阳光线与地面的夹角为，，．25．(1)(2)，或(3)的最大值是，此时的P点坐标是详解：（1）解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴．把A，B两点坐标代入解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵

，

∴，∴，∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合），当时，，或；当时，，，；综上所述，，或；（3）解：∵在中，，∴．∵轴，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．设直线l的解析式为，把A，B两点